Zeta sabiti

Matematikte zeta sabiti, bir tam sayının Riemann zeta fonksiyonunda yerine yazılmasıyla elde edilen sayıdır. Bu madde farklı tam sayı değerleri için zeta fonksiyonu özdeşlikleri içermektedir.

Sıfırda

${\displaystyle \zeta (0)=B_{1}=-{\frac {1}{2}}.}$

eşitliği geçerlidir. 1 noktasında bir kutup bulunur.

${\displaystyle \zeta (1)=\infty .\,}$

Pozitif çift tam sayılar kümesi Euler tarafından bulunan ve Bernoulli sayılarıyla ilintilendirilen şu özdeşliği içerir:

${\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$

${\displaystyle n\geq 1}$ koşulunu sağlayan birkaç değer aşağıda verilmiştir.

${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}=1.6449\dots }$; Bu eşitliğin gösterimi Basel problemi olarak da bilinir.

${\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}=1.0823\dots }$; Fizikteki Stefan–Boltzmann yasası ve Wien yaklaştırması.

${\displaystyle \zeta (6)=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}=1.0173...\dots }$

${\displaystyle \zeta (8)=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}=1.00407...\dots }$

${\displaystyle \zeta (10)=1+{\frac {1}{2^{10}}}+{\frac {1}{3^{10}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{10}}{93555}}=1.000994...\dots }$

${\displaystyle \zeta (12)=1+{\frac {1}{2^{12}}}+{\frac {1}{3^{12}}}+\cdots ={\frac {691\pi ^{12}}{638512875}}=1.000246\dots }$

${\displaystyle \zeta (14)=1+{\frac {1}{2^{14}}}+{\frac {1}{3^{14}}}+\cdots ={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}=1.0000612\dots }$

Pozitif çift tam sayılardaki zeta ile Bernoulli sayıları arasındaki ilişki şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle 0=A_{n}\zeta (n)-B_{n}\pi ^{n}\,}$

Burada ${\displaystyle A_{n}}$ ve ${\displaystyle B_{n}}$ tüm çift n değerlerine karşılık gelen tam sayılardır. Bu değerlerin bir bölümü aşağıdaki tabloda verilmiştir.

${\displaystyle \eta _{n}}$'nin yukarıda gösterildiği gibi ${\displaystyle B/A}$ katsayısı olması durumunda

${\displaystyle \zeta (2n)=\sum _{\ell =1}^{\infty }{\frac {1}{\ell ^{2n}}}=\eta _{n}\pi ^{2n},}$

eşitliği sağlanır ve özyinelemeli çözümle

${\displaystyle \eta _{1}={\frac {1}{6}};}$

${\displaystyle \eta _{n}=\sum _{\ell =1}^{n-1}(-1)^{\ell -1}{\frac {\eta _{n-\ell }}{(2\ell +1)!}}+(-1)^{n+1}{\frac {n}{(2n+1)!}}.}$

ifadesine ulaşılır.

Bu özyinelemeli ilişki Bernoulli sayılarından da bulunabilir.

Çift sayılarda geçerli olan dizi, 0 noktası yakınında kotanjant fonksiyonunun Laurent açılımı yardımıyla da elde edilebilir.

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\cot(\pi x)={\frac {1}{2}}x^{-1}-{\frac {\pi ^{2}}{6}}x-{\frac {\pi ^{4}}{90}}x^{3}-{\frac {\pi ^{6}}{945}}x^{5}+...}$

İlk birkaç tek doğal sayı için

${\displaystyle \zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty }$; Harmonik seri.

${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots =1.20205\dots }$; Apéry sabiti

${\displaystyle \zeta (5)=1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots =1.03692\dots }$

${\displaystyle \zeta (7)=1+{\frac {1}{2^{7}}}+{\frac {1}{3^{7}}}+\cdots =1.00834\dots }$

${\displaystyle \zeta (9)=1+{\frac {1}{2^{9}}}+{\frac {1}{3^{9}}}+\cdots =1.002008\dots }$

eşitlikleri sağlanır.

ζ(3) (Apéry teoremi) ve ζ(2n+1) (n ∈ N) kümesinin sonsuz çoklukta elemanının irrasyonel olduğu bilinmektedir. Riemann zeta fonksiyonunun da pozitif tek sayılar kümesinin kimi alt kümeleri için irrasyonel elemanlara sahip olduğu gözlenmiştir. Örneğin; ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den en az birinin irrasyonel olduğu kesindir.

Bir bölümü aşağıda verilen özdeşliklerin çoğu Simon Plouffe tarafından bulunmuştur. Bu özdeşliklerin kayda değer yanı çok hızlı yakınsamaları ve üç basamağa varan kesinlik oranına ulaşmalarıdır.

Plouffe

${\displaystyle \zeta (5)={\frac {1}{294}}\pi ^{5}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}}$

ve

${\displaystyle \zeta (5)=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\sinh(\pi n)}}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}}$

özdeşliklerini bulmuştur.

${\displaystyle \zeta (7)={\frac {19}{56700}}\pi ^{7}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{7}(e^{2\pi n}-1)}}}$

Toplam, Lambert serisi biçiminde verilmiştir.

${\displaystyle S_{\pm }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}(e^{2\pi n}\pm 1)}}}$

şeklinde tanımlanan büyüklükler

${\displaystyle 0=A_{n}\zeta (n)-B_{n}\pi ^{n}+C_{n}S_{-}(n)+D_{n}S_{+}(n)\,}$

biçiminde ilişki dizileri verir. Burada ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n}}$ ve ${\displaystyle D_{n}}$ pozitif tam sayılardır. Plouffe aşağıdaki değerleri de bulmuştur.

Bu sabitler Bernoulli sayıları toplamı biçiminde de yazılabilir.

Negatif tam sayılar için

${\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$

eşitliği sağlanır.

${\displaystyle n\geq 1}$ için

"açık sıfırlar" olarak adlandırılan değerlere negatif çift tam sayılarda rastlanır.

${\displaystyle \zeta (-2n)=0.\,}$

Negatif tek tam sayıların ilk birkaç değeri aşağıda verilmiştir.

${\displaystyle \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}}$

${\displaystyle \zeta (-3)={\frac {1}{120}}}$

${\displaystyle \zeta (-5)=-{\frac {1}{252}}}$

${\displaystyle \zeta (-7)={\frac {1}{240}}.}$

Bu sayılar Bernoulli sayılarına benzer biçimde çok büyük negatif tek tam sayı değerleri için küçük değerlere sahip değillerdir. Bu değerlerin ilki için 1 + 2 + 3 + 4 + · · · maddesine bakılabilir.

Zeta fonksiyonunun negatif çift tam sayılardaki türevi aşağıdaki gibidir.

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-2n)=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{2(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n+1).}$

Bu türevin ilk birkaç değeri şu şekildedir:

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-2)=-{\frac {\zeta (3)}{4\pi ^{2}}}}$

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-4)={\frac {3}{4\pi ^{4}}}\zeta (5)}$

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-6)=-{\frac {45}{8\pi ^{6}}}\zeta (7)}$

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-8)={\frac {315}{4\pi ^{8}}}\zeta (9).}$

Aşağıdaki eşitlikler de sağlanır.

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(0)=-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )\approx -0.918938533\ldots }$

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{12}}-\log A\approx -0.165421137\ldots }$

Burada ${\displaystyle A}$ Glaisher-Kinkelin sabitine karşılık gelmektedir.

${\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }(\zeta (k)-1)=1}$

• Simon Plouffe, "Ramanujan'ın Not Defterinden Esinlenen Özdeşlikler30 Ocak 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.", (1998).
• Simon Plouffe, "Ramanujan'ın Not Defterinden Esinlenen Özdeşlikler (2. Bölüm)4 Nisan 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. PDF26 Eylül 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi." (2006).
• Linas Vepstas, "Plouffe'nin Ramanujan Özdeşlikleri Üzerine9 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.", ArXiv Math.NT/0609775 (2006).
• Wadim Zudilin, "ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11)'den Biri İrrasyonel." Uspekhi Mat. Nauk 56, 149-150, 2001. PDF24 Ağustos 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. PS24 Ağustos 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (Rusça) PDF16 Mart 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (Rusça) PS11 Mart 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.