Zeta dağılımı

zeta

Olasılık kütle fonksiyonu log-log ölcekli olarak Zeta OKF. (Bu fonksiyon sadece k'nin tamsayıları icin tanımlanmaktadır; noktaları bağlayan çizgiler görüs kolaylıgı sağlamak için verilmiştir; süreklilik ifade etmezler.)
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	${\displaystyle s\in (1,\infty )}$
Destek	${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots \}}$
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF)	${\displaystyle {\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}}$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)	${\displaystyle {\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}}}$
Ortalama	${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}~{\textrm {for}}~s>2}$
Medyan
Mod	${\displaystyle 1\,}$
Varyans	${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-2)-\zeta (s-1)^{2}}{\zeta (s)^{2}}}~{\textrm {for}}~s>3}$
Çarpıklık
Fazladan basıklık
Entropi	${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1/k^{s}}{\zeta (s)}}\log(k^{s}\zeta (s)).\,\!}$
Moment üreten fonksiyon (mf)	${\displaystyle {\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}}$
Karakteristik fonksiyon	${\displaystyle {\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{it})}{\zeta (s)}}}$

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, zeta dağılımı bir ayrık olasılık dağılımıdır.^[1][2] Eğer X s parametresi ile zeta dağılımı gösteren bir bir rassal değişken ise, Xin k tam sayısı değerini almasının olasılığı şu olasılık kütle fonksiyonu ile belirtilir:

${\displaystyle f_{s}(k)=k^{-s}/\zeta (s)\,}$

Burada ζ(s) Riemann zeta fonksiyonu olur (ama bu fonksiyon s = 1 tanımlanamaz.).

Sonsuz değerde N için zeta dağılımı Zipf dağılımına eşit değerdedir. O zaman Zipf dağılımı ve zeta dağılım aynı anlamı verdikleri için birbiriyle kavram farkı vermeden değiştirilebilip kullanılırlar.

Genel olarak, ninci ham moment Xⁿin beklenen değeri olarak şöyle tanımlanır:

${\displaystyle m_{n}=E(X^{n})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s-n}}}}$

Bu ifadenin sağ tarafında bulunan seri bir Rieman zeta funksiyonu temsil eden seridir. Ancak bu serinin yakınsaması sadece s-n değeri birden büyük ise mümkün olmaktadır. Böylece zeta dağılımı için moment

${\displaystyle m_{n}=\left\{{\begin{matrix}\zeta (s-n)/\zeta (s)&{\textrm {for}}~n<s-1\\\infty &{\textrm {for}}~n\geq s-1\end{matrix}}\right.}$

olur. Hatırlamak gerekir ki iki zeta fonksiyonunun oranı, n ≥ s - 1 ifadesi için bile, çok kesin olarak tanımlanmıştır. Ama bu yine de, momentlerin seri için tanımlandığı ve bu nedenle büyük bir n değeri için tanımlanamadığı gerçeğini değiştirmez'

Genel olarak, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:

${\displaystyle M(t;s)=E(e^{tX})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{tk}}{k^{s}}}.}$

Bu seri gerçekte yalnızca bir polilogaritma'nin tanımlanmasıdır ve ${\displaystyle e^{t}<1}$ için geçerlidir ve bu halde

${\displaystyle M(t;s)={\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}{\text{ for }}t<0.}$

Bu fonksiyonun bir Taylor serisi yöntemi kullanılarak genişletilmesi mutlaka bir dağılım için momentleri vermez. Genellikle, moment üreten fonksiyonlara dayanarak elde edilen momentleri kullanan Taylor serileri şu ifedeyi ortaya çıkartır:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m_{n}t^{n}}{n!}},}$

Bu ifade, büyük n değerleri icin momentlerin sonsuz olduğu gerçeği göz önüne getirilirse, besbellidir ki herhangi bir s 'nin sonsuz olmayan değeri için kesin olarak tanımlanamaz. Momentler yerine analitik olarak sürekli terimleri kullanırsak, polilogaritmayi temsil eden seriden

${\displaystyle \scriptstyle |t|\,<\,2\pi }$

için şu ifadeyi elde ederiz:

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{n=0,n\neq s-1}^{\infty }{\frac {\zeta (s-n)}{n!}}\,t^{n}={\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})-\Phi (s,t)}{\zeta (s)}}}$

${\displaystyle \scriptstyle \Phi (s,t)}$ değeri şöyle verilir

${\displaystyle \Phi (s,t)=\Gamma (1-s)(-t)^{s-1}{\text{ for }}s\neq 1,2,3\ldots }$

${\displaystyle \Phi (s,t)={\frac {t^{s-1}}{(s-1)!}}\left[H_{s}-\ln(-t)\right]{\text{ for }}s=2,3,4\ldots }$

${\displaystyle \Phi (s,t)=-\ln(-t){\text{ for }}s=1,\,}$

burada H_s bir harmonik sayı olur.

Harmonik seri olduğu için ζ(1) sonsuz değerdedir ve bu nedenle s=1 olma hali anlamlı değildir. Ama eğer A yoğunluğu bulunan herhangi bir pozitif tam sayılar seti ise yani

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {N(A,n)}{n}}}$

var olmakta ise ve burada N(A, n) A seti içinde bulunan ve n değerine eşit veya bu değerden daha küçük set elemanlarının sayısı ise, şu ifade

${\displaystyle \lim _{s\rightarrow 1+}P(X\in A)\,}$

bu yoğunluğa eşittir.

Bazı hallerde A için yoğunluk yok olması nedeniyle verilen ikinci sınır geçerli olur. Örnegin, eğer A birinci tam sayısı ;d olan bütün pozitif tam sayıların bir seti ise, A için bir yoğunluk bulunmaz. Ancak bu halde bile yukarıda verilen ikinci sınırlama geçerli olur ve bu sınırlama şu ifadeye oranlıdır:

${\displaystyle \log(d+1)-\log(d),\,}$

Buna benzer yöntem aynen Benford'un savının geliştirilmesi için de kullanılır.

Diğer güç-savı dağılımları şunlardır:

• Benford'un savı
• Cauchy dağılımı
• Pareto dağılımı

• Allan Gut'un "Reieman zeta dağılımı" olarak andığı X bir rassal değişken olarak -log X, ifadesinin dağılımıdır. Bu kavram genellikle ve bu maddede zeta dağılımı olarak anılmaktadır