Z-dönüşümü

Z dönüşümü, matematikte ve sinyal işlemede bir dönüşüm. Zaman tanım kümesinde gerçel ve sanal bileşenleri olan herhangi bir ayrık işareti, frekans tanım kümesindeki biçimine dönüştürür.

Dönüşüm şu şekildedir:

${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}$

Yukarıdaki bağıntıda, n'ler tam sayı ve küçük z'ler karmaşık sayıdır.

${\displaystyle z=Ae^{j\varphi }=A(\cos {\varphi }+j\sin {\varphi })}$

Bu ikinci bağıntıya göre ise A, z'nin genliği, φ de fazı ya da argümanı olarak tanımlanır. Faz, radyan'la ölçülür.

Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT)'in genelleştirilmesi olan z-dönüşümünün Fourier dönüşümü ile yakından ilgisi vardır. ${\displaystyle z=e^{j\omega }\ }$ gibi düşünülürse (DTFT) elde edilmektedir. Bunun sebebi şöyle açıklanmaktadır: z bir kompleks sayıdır ve kutupsal formda ${\displaystyle Ae^{j\varphi }}$ olarak gösterilmektedir. Eğer A = 1 ise z dönüşümü Fourier dönüşümü olmaktadır ama yarıçap 1'den farklı ise o zaman z dönüşümü olarak kalmaktadır.^[1]

ROC, z Dönüşümünün en önemli kavramıdır. ROC (region of convergence-yakınsama bölgesi) bir sinyalin z-dönüşümünün sonsuz olmayan bir sayıya yakınsadığı değerlerinin z-düzlemi üzerinde gösterildiği alandır. ROC sistem hakkında birçok bilgi almamızı sağlar. Çizimi ise aşağıdaki özelliklere bakılarak yapılır.

ROC bir halka ya da bir disktir ve merkezi orjindedir. H(z)'de z yerine ${\displaystyle z=e^{j\omega }\ }$ koyulunca Fourier dönüşümüne yakınsayabilmesi için ROC'un birim çemberi içermesi gerekir. Bu aynı zamanda sistemin kararlılık kriteridir. ROC kutup içeremez.

x[n] sınırlı dizi ise ROC bütün z-düzlemidir. Belki 0'ı ya da sonsuzu içermeyebilir.

Nedensel sistemlerde, x[n] sağa yaslıdır ve ROC en dıştaki kutbun dışına doğru olur. Nedensel olmayan sistemlerde, x[n] sola yaslı ve ROC en içteki kutbun içine doğru olur. x[n] hem nedensel hem de anti-nedensel terimler içeriyorsa, ROC en dıştaki kutuptan içeri en içteki kutuptan dışarı doğru olan bir halkadır.

Sistemin hem nedensel hem de kararlı olması durumunda, bütün kutuplar birim çemberin içinde olmalıdır. Çünkü eğer bir kutup bile birim çemberin dışında olsa, nedensel sistem özelliğinden dolayı ROC en sağdaki kutbun dışına doğru olur ve birim çemberi içeremez, bu durumda sistemin kararlılık kriteri de karşılanamaz.

ROC bağlantılı olmak zorundadır.

Aşağıdaki tabloda bazı sistemlerin z dönüşümleri verilmiştir.

Dirac delta fonksiyonu ve Heaviside birim basamak fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır:

• ${\displaystyle u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}$

	Sinyal, ${\displaystyle x[n]}$	Z-dönüşümü, ${\displaystyle X(z)}$	ROC
1	${\displaystyle \delta [n]\,}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\mbox{all }}z\,}$
2	${\displaystyle \delta [n-n_{0}]\,}$	${\displaystyle z^{-n_{0}}\,}$	${\displaystyle z\neq 0\,}$
3	${\displaystyle u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
4	${\displaystyle \,e^{-\alpha n}u[n]}$	${\displaystyle 1 \over 1-e^{-\alpha }z^{-1}}$	${\displaystyle |z|>|e^{-\alpha }|\,}$
5	${\displaystyle -u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<1\,}$
6	${\displaystyle nu[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
7	${\displaystyle -nu[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<1\,}$
8	${\displaystyle n^{2}u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
9	${\displaystyle -n^{2}u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|<1\,}$
10	${\displaystyle n^{3}u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
11	${\displaystyle -n^{3}u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}$	${\displaystyle |z|<1\,}$
12	${\displaystyle a^{n}u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$
13	${\displaystyle -a^{n}u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|\,}$
14	${\displaystyle na^{n}u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$
15	${\displaystyle -na^{n}u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|\,}$
16	${\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$
17	${\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|\,}$
18	${\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
19	${\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
20	${\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$
21	${\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$

Z-dönüşümünün özellikleri

	zaman bölgesi	Z- bölgesi	İspat	ROC
Notasyon	${\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}}$	${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}}$		ROC: ${\displaystyle r_{2}<|z|<r_{1}\ }$
Doğrusallık	${\displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]\ }$	${\displaystyle a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\ }$	${\displaystyle {\begin{array}{lcl}X(z)&=&\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{-n}\ \\&=&a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x_{1}(n))z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x_{2}(n))z^{-n}\ \\&=&a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{array}}}$	En azından ROC1 ve ROC2 bölgelerinin kesişimi
Zamanda genişleme	${\displaystyle x_{(k)}[n]={\begin{cases}x[r],&n=rk\\0,&n\not =rk\end{cases}}}$ ${\displaystyle r}$: tam sayı	${\displaystyle X(z^{k})\ }$		R^{1/k}
Zamanda kayma	${\displaystyle x[n-k]\ }$	${\displaystyle z^{-k}X(z)\ }$	${\displaystyle {\begin{array}{lcl}Z\{x[n-k]\}&=&\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}{\text{ , let }}j=n-k\\&=&\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}\\&=&\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=&z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=&z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}{\text{ , since }}x[\beta ]=0{\text{ if }}\beta <0\\&=&z^{-k}X(z)\\\end{array}}}$	ROC, eğer ${\displaystyle k>0\,}$ ise dışında ${\displaystyle z=0\ }$ ve eğer ${\displaystyle k<0\ }$ ise ${\displaystyle z=\infty }$ dışında
Scaling in the z-domain	${\displaystyle a^{n}x[n]\ }$	${\displaystyle X(a^{-1}z)\ }$	${\displaystyle {\begin{array}{lcl}Z\{a^{n}x[n]\}&=&\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}\\&=&\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\\&=&X(a^{-1}z)\end{array}}}$	${\displaystyle |a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}\ }$
Time reversal	${\displaystyle x[-n]\ }$	${\displaystyle X(z^{-1})\ }$	${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=&\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\ \\&=&\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\ \\&=&\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\ \\&=&X(z^{-1})\end{array}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}<|z|<{\frac {1}{r_{2}}}\ }$
Karmaşık eşlenik	${\displaystyle x^{*}[n]\ }$	${\displaystyle X^{*}(z^{*})\ }$	${\displaystyle {\begin{array}{lcl}Z\{x^{*}(n)\}&=&\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\ \\&=&\sum _{n=-\infty }^{\infty }[x(n)(z^{*})^{-n}]^{*}\ \\&=&[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\ ]^{*}\\&=&X^{*}(z^{*})\end{array}}}$	ROC
Reel kısım	${\displaystyle \operatorname {Re} \{x[n]\}\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]}$		ROC
Imajiner kısım	${\displaystyle \operatorname {Im} \{x[n]\}\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]}$		ROC
Türev	${\displaystyle nx[n]\ }$	${\displaystyle -z{\frac {dX(z)}{dz}}}$	${\displaystyle {\begin{array}{lcl}Z\{nx(n)\}&=&\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\ \\&=&z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\ \\&=&-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\ \\&=&-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\ \\&=&-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{array}}}$	ROC
Convolution	${\displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]\ }$	${\displaystyle X_{1}(z)X_{2}(z)\ }$	${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&=&{\mathcal {Z}}\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\}\ \\&=&\sum _{n=-\infty }^{\infty }[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)]z^{-n}\ \\&=&\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}]\ \\&=&[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}][\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}]\ \\&=&X_{1}(z)X_{2}(z)\end{array}}}$	en azından ROC1 ve ROC2 keşisim kümesi
Correlation	${\displaystyle r_{x_{1},x_{2}}(l)=x_{1}[l]*x_{2}[-l]\ }$	${\displaystyle R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}(z)X_{2}(z^{-1})\ }$		en azından X1(z)'e ait ROC ve X2(${\displaystyle z^{-1}}$)'e ait ROC'un keşisimi.
First Difference	${\displaystyle x[n]-x[n-1]\ }$	${\displaystyle (1-z^{-1})X(z)\ }$	${\displaystyle }$	En azından X1(z) ve ${\displaystyle |z|>0}$ keşisimi
Accumulation	${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{n}x[k]\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)}$	${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]\cdot z^{-n}\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+x[n-1]+x[n-2]\cdots x[-\infty ])z^{-n}\\=X[z](1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}\cdots )\\=X[z]\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\=X[z]{\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{array}}}$
Çarpma	${\displaystyle x_{1}[n]x_{2}[n]\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\frac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v\ }$		-
Parseval teoremi	${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\frac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v\ }$

• İlk değer teoremi

${\displaystyle x[0]=\lim _{z\rightarrow \infty }X(z)\ }$, Eğer ${\displaystyle x[n]\,}$ nedensel ise.

• Son değer teoremi

${\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\rightarrow 1}(z-1)X(z)\ }$, Sadece kutuplar ${\displaystyle (z-1)X(z)\ }$ birim çemberin içindeyse.

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Fourier dönüşümü
• Laplace dönüşümü
• Hankel dönüşümü