Yineleme aralığı

Yineleme aralığı veya tekrar aralığı; depremler, seller, heyelanlar veya nehir deşarjları gibi olayların meydana gelmesi arasındaki ortalama süre veya tahmini ortalama süredir.^[1][2]

Tipik olarak uzun bir süre boyunca geçmiş verilere dayanan istatistiksel bir ölçümdür ve genellikle risk analizi için kullanılır. Örnekler arasında, bir projenin belirli bir risk bölgesinde ilerlemesine izin verilip verilmeyeceğine karar verilmesi veya belirli bir yineleme aralığı olan olaylara dayanacak yapıların tasarlanması yer alır. Aşağıdaki analiz, olayın meydana gelme olasılığının zaman içinde değişmediğini ve geçmiş olaylardan bağımsız olduğunu varsayar.

Yineleme aralığı ${\displaystyle ={n+1 \over m}}$

n kayıttaki yıl sayısı;

m, azalan düzende düzenlendiğinde gözlemlenen olayların sırasıdır^[3]

Seller için olay m³/s veya fırtına dalgaları ve benzer şekilde diğer olaylar için dalgalanmanın yüksekliği açısından yükseklik cinsinden ölçülebilir. Bu Weibull'un Formülüdür.^[4]

Olaylar arasındaki teorik yineleme süresi, ortalama oluşum sıklığının tersidir. Örneğin, 10 yıllık bir selin herhangi bir yılda 1/10 = 0,1 veya %10 sapma şansı vardır ve 50 yıllık bir selin herhangi bir yılda sapma şansı 0,02 veya %2'dir.

Adın "yineleme aralığı" olmasına rağmen 100 yıllık bir tufanın düzenli olarak her 100 yılda bir veya yalnızca 100 yılda bir olacağı anlamına gelmez. Herhangi bir 100 yıllık dönemde bir olay bir, iki, daha fazla veya hiç meydana gelmeyebilir ve her sonucun aşağıdaki gibi hesaplanabilecek bir olasılığı vardır.

Ayrıca aşağıdaki tahmini geri dönüş süresi bir istatistiktir: idealleştirilmiş bir dağılımdaki teorik değerden farklı olarak bir dizi veriden (gözlemler) hesaplanır. Belli bir büyüklüğün ya da daha büyük bir büyüklüğün %1 olasılıkla gerçekleşip gerçekleşmediği aslında bilinmez, sadece 100 yılda bir tam olarak gözlemlenmiş olur.

Bu ayrım önemlidir, çünkü nadir olaylara ilişkin çok az gözlem vardır: örneğin, gözlemler 400 yıl öncesine giderse, en aşırı olay (istatistiksel tanıma göre 400 yıllık bir olay) daha sonra, daha uzun gözlemlerde 200 yıllık olay olarak veya 500 yıllık bir olay olarak sınıflandırılabilir.

Olasılıksal modellerde yineleme aralığı yorumlayabilmek istenir. Bunun en mantıklı yorumu, gerçekleşme oranının beklenen değeri olduğu için Poisson dağılımında geri dönüş periyodunu sayma oranı olarak almaktır. Alternatif bir yorum, onu binom dağılımında yıllık bir Bernoulli denemesinin olasılığı olarak almaktır.

Poisson dağılımının olasılık kütle fonksiyonu şu şekildedir:

${\displaystyle P_{t}(r)={(\mu t)^{r} \over r!}e^{-\mu t}={(t/T)^{r} \over r!}e^{-t/T}}$

${\displaystyle r}$ olasılığın hesaplandığı oluşum sayısıdır,

${\displaystyle t}$ ilgi süresi,

${\displaystyle T}$ dönüş süresi,

${\displaystyle \mu =1/T}$ sayım oranıdır.

Olmama olasılığı, basitçe şu durum dikkate alınarak elde edilebilir: ${\displaystyle r=0}$.

Formül de şu şekildedir:

${\displaystyle P_{\text{no-occurrence}}(t)=e^{-\mu t}=e^{-t/T}}$

Sonuç olarak sapma olasılığı (yineleme süresi olan olaydan "daha güçlü" bir olayın olasılığı) ${\displaystyle T}$ ilgilenilen süre içinde en az bir kez meydana gelmesi):

${\displaystyle P_{\text{exceedance}}(t)=1-P_{\text{no-occurrence}}(t)=1-e^{-\mu t}=1-e^{-t/T}}$

Dönüş süresi olan herhangi bir olay için ${\displaystyle T}$, dönüş süresine eşit bir aralıkta (yani ${\displaystyle t=T}$) yineleme süresinden bağımsızdır ve şuna eşittir: ${\displaystyle 1-\exp(-1)\approx 63.2\%}$. Bu durum, örneğin 50 yıllık herhangi bir süre içinde meydana gelen 50 yılda bir yenilenen selden daha büyük bir sel gerçekleşme olasılığının %63,2 olduğu anlamına gelir.

Oluşumun yineleme süresi ${\textstyle T}$ 234 yıldır (${\textstyle \mu =0.0043}$). Bunun on yılda tam olarak bir meydana gelme olasılığı

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{t}(r)&={\frac {(\mu t)^{r}}{r!}}e^{-\mu t}\\[6pt]P_{10}(1)&={\frac {(10/234)^{1}}{1!}}e^{-10/234}\approx 4.1\%\end{aligned}}}$

Belirli bir n yıllık dönemde, yineleme dönemindeki belirli sayıda olayın olasılığı ${\displaystyle \mu }$ aşağıdaki gibi binom dağılımı ile verilir.

${\displaystyle P(X=r)={n \choose r}\mu ^{r}(1-\mu )^{n-r}.}$

Bu işlemler yalnızca yılda birden fazla oluşum olasılığının sıfır olması durumunda geçerlidir. Genellikle bu yakın bir tahmindir, bu durumda bu formül tarafından verilen olasılıklar yaklaşık olarak geçerlidir.

Eğer ${\displaystyle n\rightarrow \infty ,\mu \rightarrow 0}$ olsaydı i ${\displaystyle n\mu \rightarrow \lambda }$

${\displaystyle {\frac {n!}{(n-r)!r!}}\mu ^{r}(1-\mu )^{n-r}\rightarrow e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{r}}{r!}}.}$

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{T}}={m \over n+1}}$

T dönüş aralığıdır

n, kaydedilen yıl sayısıdır;

m, dikkate alınan olayın kaydedilen oluşumlarının sayısıdır.

Bir olayın yineleme süresi 100 yıl olduğunu varsayarsak eğer,

${\displaystyle p={1 \over 100}=0.01.}$

Dolayısıyla böyle bir olayın birbirini izleyen 10 yılda tam olarak bir kez meydana gelme olasılığı:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X=1)&={\binom {10}{1}}\times 0.01^{1}\times 0.99^{9}\\[4pt]&\approx 10\times 0.01\times 0.914\\[4pt]&\approx 0.0914\end{aligned}}}$

Yineleme süresi risk analizi için kullanışlıdır. Yapı tasarımı yapılırken yineleme süresi yapının riskinin hesaplanmasında faydalıdır.^[5]

Yapının beklenen ömrü boyunca tasarım limitlerini aşan en az bir olayın olasılığı, tasarım limitlerini aşan hiçbir olayın olmama olasılığının tamamlayıcısıdır.

Bu parametreyi değerlendirmek için denklem:

${\displaystyle {\overline {R}}=1-\left(1-{1 \over T}\right)^{n}=1-(1-P(X\geq x_{T}))^{n}}$

${\displaystyle {1 \over T}=P(X\geq x_{T})}$ söz konusu olayın bir yıl içinde gerçekleşme olasılığının ifadesi;

n, yapının beklenen ömrüdür.