Yaygın koordinat dönüşümleri listesi

Burada, en yaygın olarak kullanılan koordinat dönüşümü bazılarının bir listesi verilmiştir. Kısmi türevler alınırken çarpımın türevi gibi davranıldığı akıldan çıkarılmamalıdır. Bir örnek olarak ${\displaystyle y=x.e^{x}.sin(x)}$ fonksiyonunda üç çarpım vardır

${\displaystyle y'=(x)'.e^{x}.sin(x)+x.(e^{x})'.sin(x)+x.e^{x}.(sin(x))'}$ ve

${\displaystyle y'=e^{x}.sin(x)+x.e^{x}.sin(x)+x.e^{x}.cos(x)}$ olur. veya;

${\displaystyle (x.y.z)'=y.z+x.z+x.y}$ toplamı tam türevi sağlar. Her parça türevin bir bileşenidir. İlk örnekte çarpım türevi tek değişkene uygulanırken ikincide 3 değişkene uygulandı Aşağıdaki örneklerin tümü yine çarpım türevi omurgası üzerine oturmuştur. Matrisin her satırı üstten alta sırasıyla x, y, z fonksiyonlarının karşılıkları olan kutupsal, küresel, silindirik vs nin türevleridir. 2 veya 3 bilinmeyenli bir denklemi çözerken bu determinant karşımıza çıkar. Bir diğer örnek olarak şunu kastediyoruz:

${\displaystyle x=r\,\cos \theta \quad }$

${\displaystyle y=r\,\sin \theta \quad }$

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\,\sin \theta \\\sin \theta &r\,\cos \theta \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}=r}$

Matrisin üst satırı x in türevi x' ve Alt satırı y nin türevi y' dür. Matristeki değerler çarpım türevi alındıktan sonra aradaki işaretle iki bilinmeyenli bir denkleme dönüşen eşitliğin sağındaki kutupsal değerlerin matrisel gösterimidir. 3 değişkenli fonksiyonlarda ise benzer şekilde 3x3 matris olacaktır.

(x, y) standart kartezyen koordinat ve r ve θ standart kutupsal koordinatlar olsun.

${\displaystyle x=r\,\cos \theta \quad }$

${\displaystyle y=r\,\sin \theta \quad }$

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\,\sin \theta \\\sin \theta &r\,\cos \theta \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}=r}$

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \theta ^{\prime }=\arctan \left|{\frac {y}{x}}\right|}$

${\displaystyle \theta ^{\prime }}$'yi çözmek için ilk kadran bileşke açı ile döner(${\displaystyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$). ve ${\displaystyle \theta }$ bulunur.Bunun için orijinal kartezyen koordinat başvurmalıdır, ${\displaystyle \theta }$'nın kadranını belirlemek ve çözmek için aşağıdakileri kullanın;

${\displaystyle \theta }$

eğer ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ QI'in içindeyse:

${\displaystyle \theta =\theta ^{\prime }}$

eğer ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ QII'nin içindeyse:

${\displaystyle \theta =\pi -\theta ^{\prime }}$

eğer ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ in QIII'ün içindeyse:

${\displaystyle \theta =\pi +\theta ^{\prime }}$

eğer ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ in QIV'ün içindeyse:

${\displaystyle \theta =2\pi -\theta ^{\prime }}$

${\displaystyle \theta }$ değeri için çünkü ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle \tan \theta }$ tüm değerlerinin bu şekilde çözülmesi için gereken yalnızca ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <+{\frac {\pi }{2}}}$ aralığında tanımlı olmalıdır ve periyodik (${\displaystyle \pi }$ periodu ile) olmalıdır. Bu ters fonksiyon, sadece fonksiyon etki değerleri vermek anlamına gelir, ancak tek bir periyod ile sınırlı. Dolayısıyla, ters fonksiyonunu aralığında bir tam yarım daire.

Bir de aklınızda bulunsun

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {y}{x+r}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x=e^{\rho }\cos \theta ,\\y=e^{\rho }\sin \theta .\end{cases}}}$

Karmaşık sayılar kullanılarak ${\displaystyle (x,y)=x+iy'}$, dönüşümü gibi yazılabilir.

${\displaystyle x+iy=e^{\rho +i\theta }\,}$

Bu karmaşık üstel fonksiyonu ile verilir yani.

${\displaystyle {\begin{cases}\rho =\log {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\theta =\arctan {\frac {y}{x}}.\end{cases}}}$

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

${\displaystyle x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{4c}}}$

${\displaystyle y=\pm {\frac {1}{4c}}{\sqrt {16c^{2}r_{1}^{2}-(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2})^{2}}}}$

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}}}$

${\displaystyle \theta =\arctan \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]}$

Burada 2c kutuplar arasındaki mesafedir.

${\displaystyle x=\int \cos \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds}$

${\displaystyle y=\int \sin \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {x'y''-y'x''}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}}$

${\displaystyle s=\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2r'^{2}-rr''}{(r^{2}+r'^{2})^{3/2}}}}$${\displaystyle s=\int _{a}^{\phi }{\sqrt {1+y'^{2}}}\,d\phi }$

(x, y, z) standart kartezyen koordinatlar ve (ρ, θ, φ) küresel koordinatlar olsun,ölçülen açı ise +Z axisinden θ iledir. Φ 360° alındığında polar ile aynı düşüncelerle (2 boyutlu) bunun bir arctan'ı alındığında geçerli koordinatlara sahiptir. θ nın sınırı 180°'dir, 0°dan 180°'ye dönen bir arccos'un hesaplanması herhangi bir sorun teşkil etmez, ancak arctanjantı için dikkatli olunur. Alternatif tanım için, θ −90°den +90°'ye döner şeklinde seçilmiştir, daha önceki tanımla ters yönde, o bir arcsin'e eşit bulunmayabilir, ancak arccotanjanta dikkat. Aşağıdaki tüm formüllerde bu durumdaki tüm θ açıları sinüs ve kosinüse değişebilir ve türevi olarak da artı ve eksiye değişebilir. Ana eksenlerden biri boyunca aynı yönde olan özel durumlarında tüm sıfıra bölünmeme sonuçlarının ve gözlemlerin pratikte çok kolay çözümleri vardır.

${\displaystyle {x}=\rho \,\sin \theta \,\cos \phi \quad }$

${\displaystyle {y}=\rho \,\sin \theta \,\sin \phi \quad }$

${\displaystyle {z}=\rho \,\cos \theta \quad }$

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\rho \cos \theta \cos \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}}$

Böylece hacim ögesi için:

${\displaystyle dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}d\rho \;d\theta \;d\phi =\rho ^{2}\sin \theta \;d\rho \;d\theta \;d\phi \;}$

${\displaystyle {x}={r}\,\cos \theta }$

${\displaystyle {y}={r}\,\sin \theta }$

${\displaystyle {z}={h}\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,h)}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Böylece hacim ögesi için:

${\displaystyle dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,h)}}dr\;d\theta \;dh={r}\;dr\;d\theta \;dh\;}$

${\displaystyle {\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

${\displaystyle {\phi }=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}$

${\displaystyle {\theta }=\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)=\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\rho }}&{\frac {y}{\rho }}&{\frac {z}{\rho }}\\{\frac {xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\rho ^{2}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\rho }={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

${\displaystyle {\phi }=\phi \quad }$

${\displaystyle {\theta }=\arctan {\frac {r}{h}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (r,\phi ,h)}}={\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&0&{\frac {h}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}\\{\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}&0&{\frac {-r}{r^{2}+h^{2}}}\\0&1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (r,\theta ,h)}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}}$

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \theta =\arctan {\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y}$

${\displaystyle h=z\quad }$

${\displaystyle {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Not: Bu bölümün isimlendirme ile tutarlılık için güncellenmesi gerekir. Bir diyagramda her bir değişkenin neyi temsil ettiğini gösteren bu makale içine dahil edilmelidir. Genellikle ${\displaystyle \theta \,}$ küresel koordinatlar ve ${\displaystyle \phi \,}$ silindirik koordinatlar için düzlem açısı için polar açıyı temsil eder. Burada iki karışık ve karışıklığa neden olabilir.

${\displaystyle r=\rho \sin \phi \,}$

${\displaystyle \theta =\theta \,}$

${\displaystyle h=\rho \cos \phi \,}$

${\displaystyle {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{pmatrix}\sin \phi &0&\rho \cos \phi \\0&1&0\\\cos \phi &0&-\rho \sin \phi \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}=-\rho }$

${\displaystyle s=\int _{0}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}\,dt}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}}$

${\displaystyle \tau ={\frac {z'''(x'y''-y'x'')+z''(x'''y'-x'y''')+z'(x''y'''-x'''y'')}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})(x''^{2}+y''^{2}+z''^{2})}}}$