Vektör hesabı özdeşlikleri

Bu madde Vektör Analizi'ndeki önemli özdeşlikleri içermektedir.

Ana madde:Gradyan

3 boyutlu kartezyen koordinatlarında verilen 3 değişkenli ${\displaystyle f(x,y,z)}$ fonksiyonunun gradyanı bir vektör alanı verecektir.Notasyon olarak;

${\displaystyle grad(f)}$ veya ${\displaystyle \nabla f}$ ile gösterilir.

${\displaystyle \nabla f=({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z})f=}$${\displaystyle {\partial f \over \partial x}{\widehat {i}}+{\partial f \over \partial y}{\widehat {j}}}$${\displaystyle +{\partial f \over \partial z}{\widehat {k}}}$ olarak ifade edilir.Görüldüğü üzere elde artık 3 boyutlu bir vektör alanı vardır.

Burada ${\displaystyle {\widehat {i}},{\widehat {j}},{\widehat {k}}}$ x,y ve z eksenlerini temsil eden birim baz vektörlerdir.Genel bir biçimde düşündüğümüzde n değişkenli bir ${\displaystyle \xi (x_{1},x_{2}...x_{n})}$ skaler fonksiyonu ele alırsak bu fonksiyonun gradyanı bize bir n boyutlu bir vektör alanı verecektir:

${\displaystyle \nabla \xi =({\partial \over \partial x_{1}},{\partial \over \partial x_{2}},...{\partial \over \partial x_{n}}}$${\displaystyle )\xi }$${\displaystyle ={\partial \xi \over \partial x_{1}}.{\widehat {e}}_{1}+{\partial \xi \over \partial x_{2}}.{\widehat {e}}_{2}}$${\displaystyle +...+{\partial \xi \over \partial x_{n}}.{\widehat {e}}_{n}.}$

${\displaystyle 1\times n}$ satır matris formunda yazılan ya da rankı 1 olan tensör yani vektör ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle =(A_{1},A_{2},...,A_{n})}$ gibi bir vektör alanı için gradyan ya da kovaryant türevi ${\displaystyle n\times n}$ Jacobian matrisi ile temsil edilir:

${\displaystyle \nabla {\vec {A}}=J_{\vec {A}}=({\partial A_{i} \over \partial x_{j}})_{ij}}$

Genellersek herhangi bir k ranklı bir ${\displaystyle A}$ tensörünün gradyanı k+1 değerinde bir tensör alanı verir.

Ana madde:Diverjans

Kartezyen koordinatlarında sürekli ve türevlenebilir bir ${\displaystyle F}$ vektör alanının diverjansı bir skaler değerli fonksiyon verecektir. Notasyon olarak;

${\displaystyle div(F)}$ veya ${\displaystyle \nabla \cdot F}$ ile temsil edilir.

${\displaystyle \nabla \cdot F}$ ${\displaystyle =div(F)=({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z})\cdot }$${\displaystyle (F_{x},F_{y},F_{z})={\partial F_{x} \over \partial x}+{\partial F_{y} \over \partial y}+}$${\displaystyle {\partial F_{z} \over \partial z}}$ olarak ifade edilir.

Gradyanda olan mantık burada da geçerlidir.Yani k boyutlu bir ${\displaystyle A}$ tensör alanının diverjansı (${\displaystyle \nabla \cdot A}$), k-1 boyutlu bir tensör alanı verir.

Ana madde;Rotasyonel

Kartezyen koordinat sisteminde bir ${\displaystyle F}$ vektör alanının rotasyoneli yine bir vektör alanı verir. Notasyon olarak;

${\displaystyle rot(F)}$ ya da ${\displaystyle \nabla \times F}$ ile temsil edilir.

${\displaystyle rot(F)=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$=${\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} }$ olarak ifade edilir.Burada ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$ x,y ve z koordinat eksenlerini temsil eden birim baz vektörlerdir.

Vektör ya da daha genel anlamda tensörlerin rotasyoneli Einstein toplama kuralı esas alınarak tensör dili ile yazılabilir;

${\displaystyle F}$ vektör alanının rotasyoneli;

${\displaystyle \nabla \times F}$${\displaystyle =\varepsilon ^{ijk}e_{i}{\partial F_{k} \over \partial x^{j}}}$

Burada ${\displaystyle \varepsilon }$ Levi-Civita Permütasyon Sembolü'dür.

Ana Madde:Laplace Operatörü

Kartezyen koordinatlarında skaler değerli bir ${\displaystyle f(x,y,z)}$ fonksiyonunun laplasyeni;

${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=(\nabla \cdot \nabla )f={\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}}$${\displaystyle +{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}}$

Genel anlamda ${\displaystyle T}$ tensörünün laplasyeni şöyle yazılabilir;

${\displaystyle \Delta T=\nabla ^{2}T=(\nabla \cdot \nabla )T}$

Rank bakımından tensöre bu operatör uygulandığında tensörün rankı değişmeyecektir. Fonksiyonun laplasyeni 0'a eşit ise fonksiyon özel bir fonksiyon olan harmonik fonksiyon niteliğine sahip olur.

Notasyon bakımından skaler alanlar için ${\displaystyle \phi }$ ve ${\displaystyle \psi }$ vektör alanları için ${\displaystyle A}$ ve ${\displaystyle B}$ kullanacağız.

• ${\displaystyle \nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla (A+B)=\nabla A+\nabla B}$
• ${\displaystyle \nabla \cdot (A+B)}$${\displaystyle =\nabla \cdot A+\nabla \cdot B}$
• ${\displaystyle \nabla \times (A+B)=\nabla \times A+\nabla \times B}$

Tek değişkenli klasik kalkülüsten bildiğimiz çarpım kuralını burada da genelleştirebiliriz.

• ${\displaystyle \nabla (\psi \phi )=\phi \nabla \psi +\psi \nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla (\psi A)=(\nabla \psi )^{T}A+\psi \nabla A=\nabla \psi \otimes A+\psi \nabla A}$
• ${\displaystyle \nabla \cdot (\psi \mathbf {A} )=\psi \ (\nabla \cdot \mathbf {A} )\ +\ \mathbf {A} \cdot (\nabla \psi )}$
• ${\displaystyle \nabla \times (\psi \mathbf {A} )=\psi \ (\nabla \times \mathbf {A} )\ +\ (\nabla \psi )\times \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\psi \phi )=\psi \nabla ^{2}\phi +2\nabla \psi \cdot \nabla \phi +\phi \nabla ^{2}\psi }$

• ${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\nabla f-(\nabla g)f}{g^{2}}}}$
• ${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {A} }{g}}\right)={\frac {g\nabla \cdot \mathbf {A} -(\nabla g)\cdot \mathbf {A} }{g^{2}}}}$
• ${\displaystyle \nabla \times \left({\frac {\mathbf {A} }{g}}\right)={\frac {g\nabla \times \mathbf {A} -(\nabla g)\times \mathbf {A} }{g^{2}}}}$

Bir ${\displaystyle \phi }$ vektörün rotasyonelinin diverjansı sıfırdır:

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \phi )=0}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )}$

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \psi )}$=Tanımsız

Sebebi diverjansı alınan vektör skaler olacağı için tekrar diverjans alınamaz.

Not=Bu durum sadece vektörler için geçerlidir.

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A} }$

Sebebi diverjansı alınan vektörün skalere dönüştüğünü düşündüğümüzde yeni skalerin rotasyonelinin alınamayacağıdır.

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \cdot A)}$=Tanımsız

• ${\displaystyle \nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla (\psi \,\phi )=\phi \,\nabla \psi +\psi \,\nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} +\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} +\mathbf {A} \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)+\mathbf {B} \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)}$

• ${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\ =\ \nabla \cdot \mathbf {A} \,+\,\nabla \cdot \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\psi \mathbf {A} \right)\ =\ \psi \,\nabla \cdot \mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} \cdot \nabla \psi }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\ =\ \mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )\,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )}$

• ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\ =\ \nabla \times \mathbf {A} \,+\,\nabla \times \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\psi \mathbf {A} \right)\ =\ \psi \,\nabla \times \mathbf {A} \,+\,\nabla \psi \times \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\ =\ \mathbf {A} \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)\,-\,\mathbf {B} \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)\,+\,\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \,-\,\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} }$

• ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$
• ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi }$ (skaler laplasyen)
• ${\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla ^{2}\mathbf {A} }$ (vektör laplasyen)
• ${\displaystyle \nabla \cdot (\phi \nabla \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi }$
• ${\displaystyle \psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot \left(\psi \nabla \phi -\phi \nabla \psi \right)}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\phi \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +2\nabla \phi \cdot \nabla \psi +\psi \nabla ^{2}\phi }$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\psi \mathbf {A} )=\mathbf {A} \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \psi \cdot \nabla )\mathbf {A} +\psi \nabla ^{2}\mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\mathbf {A} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {B} -\mathbf {B} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {A} +2\nabla \cdot ((\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {B} \times \nabla \times \mathbf {A} )}$ (Green vektör özdeşliği)

• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \psi )=\nabla (\nabla \cdot (\nabla \psi ))=\nabla (\nabla ^{2}\psi )}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \cdot \mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} ))=\nabla \cdot (\nabla ^{2}\mathbf {A} )}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ))=\nabla \times (\nabla ^{2}\mathbf {A} )}$

''${\displaystyle \partial }$'' sembolü burada bir yüzeyin sınırlarını ifade eder.

Yüzey-Hacim İntegral teoremlerini takip ettiğinizde genelde ${\displaystyle \partial A}$ sembolü görürsünüz.Bunun anlamı eğer A, 3 boyutlu bir çokkatlı ise ${\displaystyle \partial A}$ sınırlarını yani 2 boyutlu bir yüzeyi temsil eder.

• ${\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,}$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} =\iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)dV}$ (Diverjans teoremi)
• ${\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,}$${\displaystyle \psi d\mathbf {S} =\iiint _{V}\nabla \psi \,dV}$
• ${\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,}$${\displaystyle \left({\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {A} \right)dS=\iiint _{V}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)dV}$
• ${\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,}$${\displaystyle \psi \left(\nabla \varphi \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)dS=\iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\varphi +\nabla \varphi \cdot \nabla \psi \right)dV}$ (ilk Green özdeşliği)
• ${\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,}$${\displaystyle \left[\left(\psi \nabla \varphi -\varphi \nabla \psi \right)\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right]dS=G}$
• ${\displaystyle G=\int \!\!\!\!\int _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc \,\,}$${\displaystyle \left[\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}-\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}\right]dS}$${\displaystyle \displaystyle =\iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\varphi -\varphi \nabla ^{2}\psi \right)dV}$ (ikinci Green özdeşliği)

• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot d\mathbf {s} }$ (Stokes Teoremi)
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\psi d{\boldsymbol {\ell }}=\iint _{S}\left({\hat {\mathbf {n} }}\times \nabla \psi \right)dS}$

Burada şu anlaşılmalıdır ki saat yönü negatif taraftır ve saat yönünün tersi üzerinde alınan integral saat yönünde alınan integralin negatifine eşittir.