Vektör alanı

Yöney alan (vektör alanı), Öklid uzayının seçilen bir alt kümesinin her bir noktasında yöneyin belirlenmesidir. Düzlemdeki bir yöney alanı, her biri düzlemdeki bir noktaya ilişik, yönü ve büyüklüğü olan oklar topluluğu olarak düşünülebilir.

Yöney alanları genellikle modellemede kullanılır. Buna örnek olarak hareket eden bir akışkanın uzaydaki hızı ve yönü ya da manyetik kuvvet veya yer çekimi kuvveti gibi farklı noktalarda değişen kuvvetlerin gücü ve yönü verilebilir.

Diferansiyel ya da tümlev hesaplamasındaki elemanlar Yöney alanında doğal olarak genişler. Yöney alanı bir kuvveti gösterdiğinde, bu alanın tümlev çizgisi bir çizgi doğrultusunda ilerleyen kuvvetin yaptığı işi gösterir ve bu yoruma dayanarak enerjinin korumu hesaplamanın esas kuramı'nın özel bir vakası olarak karşımıza çıkar. Yöney alanları boşlukta hareket eden bir akış hızını temsil eden düşünülebilir ve bu fiziksel sezgi bizi uzaklaşma(akış hacminin değişim oranını temsil eden) gibi kıvrılma(akış dönüşünü temsil eder) gibi sapma kavramlarına götürür.

Koordinatlarda, n-boyutlu bir Öklid uzayında tanımlanmış bir Yöney alanı olarak düşünülebilir ve de bu alan alanın her noktasına reel sayıların n-tuple ile ilişkilendirilen bir Yöney değerli işlev olarak değerlendirilebilir.

Bu Yöney alanlarının koordinat sistemindeki gösterimi koordinat sistemine göre değişir ve bir koordinat sisteminden diğerine geçişlerde çok önemli bir değişim kanunu vardır.

Yöney alanları öklit uzayının açık alt kümeleri olarak tartışılır ancak aynı zamanda yüzeyler gibi (her noktasında yüzeye teğeti bir ok gibi düşünebiliriz yukarıdaki resim gibi) başka alt kümelerde anlam kazanır. Daha genel olarak, Yöney alanları türevlenebilir manifoldlar(küçük ölçeklerde Öklid uzayına benzer ama büyük ölçeklerde daha komplike yapılar olan uzaylar) olarak tanımlanabilir. Bu ortamda, bir Yöney alanı manifoldun her noktasında teğet Yöneyi bize verir. Yöney alanları bir nevi gergi (gergi) alanlarıdır.

Öklid uzayının alt kümesi olan Yöney alanları

Rn de bir S alt kümesi verildiğinde, Yöney alanı yöney-değerlenmiş işlev olarak gösterilir.

V: S → Rn standart kartezyen koordinatlarda(x1, x2, ..., xn). Eğer V nin her bir değişkeni sürekliyse, V devamlı bir Yöney alanıdır.

Daha genel olarak, V k katı kadar devamlı değişen ise bir Ck Yöney alanı olur.

Two representations of the same vector field: v(x, y) = −r. The arrows depict the field at discrete points, however, the field exists everywhere.

Yöney alanı, n-dimensional uzayda her bir bağımsız noktayı bağlayan bir Yöney olarak görülür.

İki adet Ck Yöney alanı verildiğinde Yöney alanı V, W S'de tanımlanır ve gerçek değerli Ck işlevi f S'de tanımlanır, sayıl çarpım ve Yöney ekleme operasyonları;

${\displaystyle (fV)(p):=f(p)V(p)\,}$

${\displaystyle (V+W)(p):=V(p)+W(p)\,}$

Ck işlevinin halkasının üzerindeki Ck Yöney alanının modülü olarak tanımlanır.

Fizikte, bir Yöney koordinatlarının başka bir arka plan koordinatında ölçüldüğünde nasıl değiştiğine göre ayırt edilir. Yöneylerin dönüşüm özellikleri göz önünde bulundurularak, basit bir sayıl listesinden farklı olarak, geometrik ifadelerle veya bir koyöney (kovektör) yardımıyla Yöneylerin ayırt edilmesi mümkündür.

Böyle bir değişim kanunu contravariant olarak isimlendirilir. Buna benzer bir değişim kanunu fizikteki Yöney alanlarını karakterize eder. Yöney alanları farklı koordinat sistemlerine göre değişen değiştirme kanununa bağlı kalan n işlevlarını belirtir.

${\displaystyle V_{x}=(V_{1,x},\dots ,V_{n,x})}$

Burada (x1,...,xn) V'nin bileşenleri cinsinden kartezyen koordinat sistemi seçimidir.

   

${\displaystyle V_{i,y}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial y_{j}}{\partial x_{i}}}V_{j,x}.}$

(1)

Burada (y1,...,yn) seçilen değişik koordinat sistemleri için var olan xi'nin n işlevleridir. Seçilen V bileşenleri denklemi tatmin etmek zorundadır.

Yöney alanları sayıl alanlarla ve basit sayıl alanları listesiyle çelirler. Sayıl alanlar uzaydaki her bir noktaya bir sayı ya da sayıl olarak ilişkilendirirler. Basit sayıl alanlar listesi koordinat değişiklikleriyle değişmezler.

Türevlenebilir manifold M olarak verildiğinde, M’deki Yöney alanında Mdeki her bir noktadaki tanjant Yöneyünü gösterir.

Daha açık olarak F Yöney alanı M’den tanjant demetinin TM içine bir eşlemedir. Yöney alanı tanjant demetinin bir parçasıdır.

Manifold M pürüzsüz ya da analitik ise – koordinatın değişimi pürüzsüz(analitik)- analitik Yöney alanı kavramı anlam kazanır.

Bütün pürüzsüz Yöney alanlarının pürüzsüz manifoldda yan yana dizilimi Γ(TM), ${\displaystyle \scriptstyle {\mathfrak {X}}(M)}$ (a fraktur "X") ya da C∞(M, TM)olarak ifade edilir (özellikle Yöney alanlarını parça parça düşündüğümüzde).

Dünyadaki havanın hareketinin Yöney alanı Dünya yüzeyindeki noktalardaki bütün rüzgar hızı ve yönü olan Yöneylerle bağlantılıdır. Bu rüzgarı temsil eden oklar kullanılarak çizilebilir. Okun uzunluğu(büyüklüğü) rüzgarın hızını gösterir. Hava yüksek basınçlı alanlardan alçak basınçlı alanlara gitmeye meyilli olduğu için barometrik basınç haritasında ‘yüksek’ kaynak olarak rol oynar. Yüksel kaynak (barometrik basınç olarak) kaynak gibi davranır (oklar kaynaktan dışarısını gösterir) ve alçak kaynak (barometrik basınç bakımından) batmayı simgeler.

Hareket eden bir sıvının hız alanında hız Yöneyü sıvının her bir noktasıyla bağlantılıdır.

Akış çizgileri, streaklines ve pathlines Yöney alanlarında yapılabilen üç çizgi türüdür.

Streaklines: duman kullanılarak rüzgar tünellerinde

Streamlines veya fieldlines: belirli bir anda anlık alanını gösteren bir çizgi olarak.

Pathlines: verilen bir taneciğin izleyeceği yolu gösterir

Manyetik Alanlar: Alan çizgileri, küçük demir talaşı kullanılarak ortaya çıkabilmektedir.

Maxwell denklemleri sonuç olarak önceden verilen durumları kullanmamıza olanak verir. Öklid uzayında her bir nokta için kuvvetin büyüklüğü ve doğrultusu tespit edilen parçacığın sonuç Yöneyü elektromanyetik alanı verir

Herhangi büyük bir obje tarafından üretilen yerçekimi alanı da Yöney alanlarına örnektir.

Yöney alanları sayıl alanlar tarafından yöntürevi operator kullanarak oluşturulabilirler. Belirli bir S de tanımlı Yöney alanı V yöntürevi alanı ya da conservative(koruyucu /korunan) alan olarak adlandırılır. Gerçek değerli bir işlev f S de bulunuyorsa

${\displaystyle V=\nabla f={\bigg (}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}{\bigg )}.}$

bu akış yöntürevi akış olarak adlandırılır.

Bağlantılı Akış yöntürevi Akış olarak adlandırılır ve yöntürevi descent yöntemunda kullanılır.

Kapalı bir eğrinin yol türevi eğer yöntürevi alanı 0 ise γ (γ(0) = γ(1))

${\displaystyle \int _{\gamma }\langle V(x),\mathrm {d} x\rangle =\int _{\gamma }\langle \nabla f(x),\mathrm {d} x\rangle =f(\gamma (1))-f(\gamma (0)).}$

Bir C∞ Yöney alanı Rn\{0} 'dan faha büyük ise buna merkezi alan adı verilir ve

${\displaystyle V(T(p))=T(V(p))\qquad (T\in \mathrm {O} (n,\mathbf {R} ))}$

olarak ifade edilir.

Burada O(n, R) ortogonal gruptur. Biz ortogonal grup dönüşümleri 0 civarında olduğu durumlarda merkezi alanların değişmez olduğunu kabul ediyoruz. 0 noktası alanın merkezi olarak ifade edilir.

Ortogonal dönüşümler aslında döndürme ve yansıtma işlemleri olduğundan, değişmezlik koşulları, merkezi alan Yöneyleri her zaman için ya merkezi ya da merkezden dışarıyı (0 noktasını veya 0 noktasından dışarıyı) gösterir anlamına gelir.

a) Çizgi İntegrali (line tümlev)

Fizikte çok kullanılan bir teknik olan çizgi tümlevi, bir eğri boyunca Yöney alanını hesaplamakta kullanılır.

Yer çekimsel Yöney alanında verilen ve belirli bir yolu izleyen bir parçacık için çizgi tümlevi, bize yapılan iş miktarını verir (bu işlemde her bir Yöney parçacığa etki eden kuvvetleri simgeler).

Çizgi tümlevi Riemann tümlevi üzerinden yapılandırılmakla beraber, eğer eğri doğrultulabilir ise (sınırlı uzunluğa sahipse) vardır ve de Yöney alanı süreklidir.

Verilen Yöney alanı V ve eğri y parametresine göre ise [a, b] tümlev;

${\displaystyle \int _{\gamma }\langle V(x),\mathrm {d} x\rangle =\int _{a}^{b}\langle V(\gamma (t)),\gamma '(t)\;\mathrm {d} t\rangle .}$

olarak yazılır.

b) Uzaklaşma

Bir Yöney alanının Öklid uzayında uzaklaşması bir işlevdir.

3 boyutta uzaklaşma;

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}},}$

olarak rastgele boyutlara belirgin genelleme şeklinde tanımlanır. Bir noktadaki uzaklaşma, kaynak noktası etrafındakı küçük hacimli Yöney akışının derecesini temsil eder ve bu sonuç uzaklaşma teoremi (divergence theorem) uyumludur.

Uzaklaşma ayrıca Riemann manifoldu olarak da tanımlanabilir. bu manifold Riemann metrik ile Yöneylerin uzunluklarının ölçüldüğü bir manifolddur.

c) Burkulum

Büküm, bir Yöney alanını alıp başka bir Yöney alanı üretme işlemidir.

Büküm sadece 3 boyutlu uzayda tanımlıdır. Ancak bükümün bazı özellikleri daha yüksek boyutlarda da dış türevle beraber kullanılabilmektedir.

3 boyutta kullanımı

${\displaystyle \operatorname {curl} \,\mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}-\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}.}$

şeklindedir.

Büküm Yöney akışının bir noktadaki açısal momentumunun yoğunluğunu ölçer.

Bu ölçüm Stoke'un teoremiyle (Stoke's Theorem) uyumludur.

Bir Yöney alanının indeksi daima Yöney alanının izole edilmiş 0 etrafında nasıl davrandığıyla yapılır. 0'ın yakınlarında ufak bir küre alın. Böylece başka 0'lar dahil olmamış olacaktır. Bu küreden birim küreye bir harita düşünürsek boyutları n-1 olacaktır ve de her bir Yöneyü kendi uzunluğuna bölerek birim Yöney haline getirmekle haritalama mümkün olabilecektir. Bu noktada Yöney alanının indeksi bu haritanın derecesi olacaktır. Yöney alanının toplam indeksi her bir 0 için endekslerin toplanması ile bulunacaktır. İndeks tekil olmayan noktalar etrafında 0 değerini, kaynak etrafında +1 değerini ve eyer(saddle) etrafında -1 değerini almaktadır. iki boyutta indeks, sarma sayısına (winding number) eşit olacaktır. 3 boyutlu uzayda sıradan bir küre için herhangi bir Yöney alanının indeksi iki olmalıdır bu da bizi tüylü top kuramına (hairy ball theorem) götürüyor. Bu kuram bize bu tip bütün Yöney alanlarının 0 olması gerektiğini söylüyor. Bu kuram Euler uzay karakteristiği ile alakalı olan Poincaré - Hopf kuramını genelleştiriyor.

Uzayın bir bölümünde bir sıvı akışı düşünün. Herhangi verilern bir zamanda, sıvının herhangi bir noktasının hızı olmalıdır bu nedenle bütün akışlarda bir Yöney alanı mevcuttur.

V olarak verilen bir Yöney alanı S olarak tanımlı, eğriler y(t) olarak S üzerinde tanımlı aralıkta verilen het t değeri için

${\displaystyle \gamma '(t)=V(\gamma (t))\,.}$

yazılabilir.

Picard - Lindelöf theoremine göre, eğer V Lipschitz Sürekli ise burada nadir bir durum olan C1 -eğri yx her Siçerisindeki x noktası için. Böylece;

${\displaystyle \gamma _{x}(0)=x\,}$

${\displaystyle \gamma '_{x}(t)=V(\gamma _{x}(t))\qquad (t\in (-\epsilon ,+\epsilon )\subset \mathbf {R} ).}$

yx eğrileri V Yöney alanının S de tanımlı akış eğrileri olarak adlandırılır. Her zaman aralığı (−ε, +ε) ye genişletmek mümkün değildir (bütün reel sayılara). Bu akış Sınırlı bir sürede S'in sınırlarına ulaşabilmeye bir örnek olarak gösterilebilir.

Yöney alan eğrileri her zaman için var olan bir akış içerisinde ise Yöney alanı tamamlanmış sayılır. Özellikle bir manifold üzerinde kompakt olarak desteklenen Yöney alanları tamamlanmıştır.

Eğer X M üzerinde tanımlanmış tam bir Yöney alanı ise, bir-parametre grubunun diffeomorphism'leri Xin sonsuza dek var olmasıyla beraber akışla oluşturulur.

Sayıl ve Yöney alanı arasındaki fark sadece sayılin bir sayı olması, Yöneyün ise birkaç bileşenden oluşması değildir. Fark ikisinin de koordinatlarının koordinat değişimine nasıl tepki verdiklerine nasıl değiştiklerine bağlıdır. Bir sayıl koordinattır Yöney gibi koordinatlarla ifade edilebilir ancak Yöney gibi 2 veya daha fazla koordinatın birleşimi değildir.

Örnek 1:

Bu örnek 2-boyutlu Öklid uzayı hakkında (R²). Burada Öklid geometrisine ait (x, y) ve polar koordinat sistemine ait (r, θ) kullanıcaz.

x=rcosθ ve y= rsinθ ve ayrıca r² = x² + y² ise

cosθ = x/(x2 + y2)1/2 ve sinθ = y/(x2 + y2)1/2

${\displaystyle s_{\mathrm {polar} }:(r,\theta )\mapsto 1,\quad v_{\mathrm {polar} }:(r,\theta )\mapsto (1,0).}$

şimdi bu polar bileşenleri Öklid geometrisi cinsinden yazalım.

1 uzunluğundaki bir Yöney, x koordinatı olarak cosθ ve y koordinatı olarak sinθ sahiptir.

${\displaystyle s_{\mathrm {Euclidean} }:(x,y)\mapsto 1,}$

önceki eşitlerden yararlanarak " x=rcosθ ve y= rsinθ ve ayrıca r² = x² + y² ise

cosθ = x/(x2 + y2)1/2 ve sinθ = y/(x2 + y2)1/2 "

${\displaystyle v_{\mathrm {Euclidean} }:(x,y)\mapsto (\cos \theta ,\sin \theta )=\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right).}$

elde ederiz. Ayrıca aynı durum, 1 - boyutlu durumlarda da geçerliliğini korumaya devam eder.

Örnek 2:

Bu sefer 1 boyutlu Öklid uzayını düşünelim (R) standart olarak sadece x koordinatımız var. Elimizde bir sayıl alan bir de Yöneyel alanımız var olduğunu düşünerek ikisinde de verilen x koordinatı sabit bir işlevdur ve de 1'e eşittir.

${\displaystyle s_{\mathrm {Euclidean} }:x\mapsto 1,\quad v_{\mathrm {Euclidean} }:x\mapsto 1.}$

Böylece elimizde bir sklaer alanımız var ve bunun değeri her yerde 1 ayrıca Yöney alanımız da var bu alan x yönünde ve her x değeri için 1 büyüklüğe sahip.

Şimdi ξ := 2x koordinatını düşünelim. Eğer x bir birim değişirse ξ 2 birim değişmek zorundadır.Böylece Yöney alanıın büyüklüğü 2 birim ξ olarak ifade edilebilir. Bu nedenle bu koordinatta işlevumuz

${\displaystyle s_{\mathrm {unusual} }:\xi \mapsto 1,\quad v_{\mathrm {unusual} }:\xi \mapsto 2}$

olarak tanımlanır. Dikkat edilirse farklı oldukları rahatca gözlemlenebilir.

Belirli manifoldlar arasında verilen düzgün bir işlevda f. M ¬-> N, burada türev uyarılmış bir teğet demetleri haritasıdır. f. TM -> TN. Verilen Yöney alanları V:M -> TM ve W:N -> TN.

Burada W, V ile F-işikilidir diyebiliriz tabi eğer verilen eşitlik

${\displaystyle W\circ f^{*}=f_{*}\circ V}$

sağlarsa.