Trilineer interpolasyon

Trilineer interpolasyon, 3-boyutlu bir grid üzerinde çok-değişkenli bir interpolasyon metodudur. Trilineer interpolasyon, sıklıkla, nümerik analiz, veri analizi ve bilgisayar grafiklerinde kullanılır.

Trilineer interpolasyon, ${\displaystyle D=1}$ boyuttaki lineer interpolasyon ve ${\displaystyle D=2}$ boyuttaki bilineer interpolasyonun, ${\displaystyle D=3}$ boyutundaki uzantısıdır. Bu interpolasyon metotlarının doğruluk seviyesi (order of accuracy) 1'dir. Yanı sıra, bu metot, interpole edilecek noktanın çevresinden ${\displaystyle (1+n)^{D}=8}$ nokta değerine ihtiyaç duyar.

Birçok yöntemle, trilineer interpolasyon denklemini türetmek mümkündür. Trilineer interpolasyon, 3-boyutlu 1.seviye B-spline interpolasyon tensörüne denktir. Ayrıca, interpolasyon operatörü, 3 lineer interpolasyon operatörünün tensörel çarpımına eşittir.

Periyodik ve kübik bir latis üzerinde, ${\displaystyle x_{d}}$, ${\displaystyle y_{d}}$ ve ${\displaystyle z_{d}}$'nin, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$'in her biri ile daha küçük bir koordinatın arasındaki fark olduğunu düşünelim:

${\displaystyle \ x_{d}=(x-x_{0})/(x_{1}-x_{0})}$

${\displaystyle \ y_{d}=(y-y_{0})/(y_{1}-y_{0})}$

${\displaystyle \ z_{d}=(z-z_{0})/(z_{1}-z_{0})}$

${\displaystyle x_{0}}$, latis üzerinde ${\displaystyle x}$'den küçük bir nokta ve ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x}$'den büyük bir noktadır. Aynı durum, ${\displaystyle y_{0},y_{1},z_{0}}$ ve ${\displaystyle z_{1}}$ için geçerlidir.

İlk olarak, ${\displaystyle x}$-doğrultusunda interpolasyon yapılır (kübün ön yüzünün arka yüze doğru itildiğini düşünün). Sonucunda:

${\displaystyle \ c_{00}=V[x_{0},y_{0},z_{0}](1-x_{d})+V[x_{1},y_{0},z_{0}]x_{d}}$

${\displaystyle \ c_{01}=V[x_{0},y_{0},z_{1}](1-x_{d})+V[x_{1},y_{0},z_{1}]x_{d}}$

${\displaystyle \ c_{10}=V[x_{0},y_{1},z_{0}](1-x_{d})+V[x_{1},y_{1},z_{0}]x_{d}}$

${\displaystyle \ c_{11}=V[x_{0},y_{1},z_{1}](1-x_{d})+V[x_{1},y_{1},z_{1}]x_{d}}$

${\displaystyle V[x_{0},y_{0},z_{0}]}$, ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0}).}$ noktasındaki fonksiyon değeridir. İkinci olarak, ${\displaystyle y}$-doğrultusunda interpolasyon yapılır (kübün üst kenarının alt kenarına doğru itildiğini düşünün). Sonuçta:

${\displaystyle \ c_{0}=c_{00}(1-y_{d})+c_{10}y_{d}}$

${\displaystyle \ c_{1}=c_{01}(1-y_{d})+c_{11}y_{d}}$

Son olarak, denklem ${\displaystyle z}$-doğrultusunda interpole edilir (geride kalan çizgi boyunca ilerlendiğini düşünün):

${\displaystyle \ c=c_{0}(1-z_{d})+c_{1}z_{d}.}$

Bu ifade, interpole edilen noktadaki fonksiyon değerini vermektedir.

Trilineer interpolasyonun sonucu, üç farklı eksende yapılan üç lineer interpolasyonun işlem sırasından bağımsızdır. Örneğin, işlem sırası ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ olan bir trilineer interpolasyonunun sonucu, işlem sırası ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle x}$ olan interpolasyon ile aynıdır.

Yukarıdaki işlemler şu şekilde de görselleştirilebilir: İlk önce, interpole edilecek noktayı kapsayan bir kübün sekiz köşe noktasının koordinatları bulunur. Bu köşe noktaları, varsayılsın ki, şu değerlere sahiptir: C000, C100, C010, C110, C001, C101, C011, C111.

Akabinde, C00'ı bulmak için C000 ve C100 ile lineer interpolasyon yapılır. Lineer interpolasyon, aynı şekilde, C01 için C001 ve C101 arasında; C11 için C011 ve C111 arasında; ve C10 için C010 ve C110 arasında uygulanır.

Ardından, C0 için C00 ve C10 arası; ve C1 için C01 ve C11 arası lineer interpolasyon uygulanır.

Son adımda, C değeri, C0 ve C1 arasında lineer interpolasyonla elde edilir.

Tüm bunlara ek olarak, trilineer interpolasyon, iki bilineer interpolasyon ve bir lineer interpolasyonun kombinasyonu ile de ulaşılabilir:

${\displaystyle C\approx \ l(b(C_{000},C_{010},C_{100},C_{110}),b(C_{001},C_{011},C_{101},C_{111}))}$

• Lineer interpolasyon
• Bilineer interpolasyon
• Trikübik interpolasyon
• Radyal interpolasyon
• Tetrahedral interpolasyon

• İnvers iteratif trilineer interpolasyon için NASA'nın yayımladığı bir kodsu10 Ekim 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..
• Paul Bourke, Interpolation methods26 Ağustos 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., 1999. Yayın, trilineer interpolasyon için ikili mantık sistemine dayanan basit ve etkili bir yöntem sunmaktadır. Ayrıca, metot, n-boyuta genişletilebilir (ör. tetralineer, pentalineer vb.).