Trigonometri

Geometri
Bir düzleme, bir kürenin yansıtılması
Ana hatları Tarihi
Dalları Öklidsel Öklid dışı Eliptik Küresel Hiperbolik Tasarı Sentetik Analitik Cebirsel Aritmetik Diyofant Diferansiyel Riemannian Semplektik Ayrık diferansiyel Karmaşık Sonlu Ayrık/Kombinatoryal Dijital Konveks Hesaplamalı Fraktal
Kavramlar Özellikler Boyut Pergel ve çizgilik çizimleri Açı Eğri Köşegen Ortogonalite (Dik) Paralel Köşenokta Eşleşik Benzerlik Simetri
Sıfır boyutlu Nokta
Bir boyutlu Doğru parçası ışın Uzunluk
İki boyutlu Düzlem Alan Çokgen Üçgen Yükseklik Hipotenüs Pisagor teoremi Paralelkenar Kare Dikdörtgen Eşkenar dörtgen Romboid Dörtgen Yamuk Deltoid (geometri) Çember Çap Çevre Alan
Üç boyutlu Hacim Küp Küboid Silindir Piramit Küre
Dört ve üzeri boyutlu Tesseract Hiperküre
Geometriciler
İsme göre Aida Aryabhata Ahmes Apollonius Arşimet Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euler Gauss Gromov Hayyám Hilbert İbn-i Heysem el-İşbîlî Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Öklid Pascal Pisagor Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Siczi el-Tusi Veblen Virasena Yang Hui Zhang Geometricilerin listesi
Döneme göre Milattan önce Ahmes Baudhayana Manava Pisagor Öklid Arşimet Apollonius MS 1–1400'lar Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena İbn-i Heysem Siczi Hayyám el-İşbîlî el-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400'lar–1700'ler Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700'ler–1900'lar Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Günümüz Atiyah Gromov

Trigonometri (Yunanca trigōnon "üçgen" + metron "ölçmek"), üçgenlerin açıları ile kenarları arasındaki bağıntıları konu edinen matematik dalı. Trigonometri, sinüs ve kosinüs gibi trigonometrik işlevlerin (fonksiyon) üzerine kurulmuştur ve günümüzde fizik ve mühendislik branşlarında sık sık kullanılmaktadır.

Matematiğin doğrudan doğruya astronomiden çıkmış bir kolu olan trigonometrinin bazı ögeleri, daha Babilliler ve Eski Mısırlılar döneminde biliniyor, Sümerli astronomlar ilk kez bir çemberi 360 eşit parçaya bölerek açı ölçümünü yaptılar. Eski Yunanlar Menelaos’un küresel geometrisi aracılığıyla, bir daire içine çizilebilen dörtgenden yola çıkarak daire yaylarının kirişlerinin değerlerini veren çizgiler oluşturuyorlardı. Daha sonra Araplar, yay kirişlerinin yerine sinüsleri koyup; tanjant, kotanjant, sekant, kosekant kavramlarını geliştirdiler.^[].İlk kez Akdeniz'in çevresi trigonometre ile Abbasiler döneminde ölçülmüştür.^[]

Batıda Nasîrüddin Tûsî’den büyük ölçüde yararlanan Regiomontanus’un üçgen üstüne adlı eseriyle gerçek trigonometri doğmuş oldu. François Viète ve Simon Stevin, hesaplarda ondalık sayılardan yararlandılar. John Napier logaritmayı işe kattı. Isaac Newton ve öğrencileri trigonometri işlevlerinin ve logaritmalarının hesabına tam serileri uyguladılar. Daha sonra da Leonhard Euler, birim olarak trigonometrik cetvelin yarıçapını alarak, modern trigonometrinin temellerini attı.^[].

Trigonometrik işlevler bir dik üçgen ya da birim çember üzerinden tanımlanır. Temel olarak üç tane trigonometrik işlev ve bunların çarpma işlemine göre terslerinden oluşan üç tane daha işlev vardır. Yandaki ABC üçgeninde

• Sinüs işlevi (sin), karşı kenarın hipotenüse oranıdır.

${\displaystyle \sin A={\frac {\text{karşı}}{\text{hipotenüs}}}={\frac {a}{\,c\,}}\,.}$

• Kosinüs işlevi (cos), komşu kenarın hipotenüse oranıdır.

${\displaystyle \cos A={\frac {\text{komşu}}{\text{hipotenüs}}}={\frac {b}{\,c\,}}\,.}$

• Tanjant işlevi (tan), karşı kenarın komşu kenarı oranıdır.

${\displaystyle \tan A={\frac {\text{karşı}}{\text{komşu}}}={\frac {a}{\,b\,}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.}$

Bir de bu işlevlerin çarpmaya göre tersi vardır. kosekant, sekant ve kotanjant:

${\displaystyle \csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {c}{a}},}$

${\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {c}{b}},}$

${\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.}$

Bu işlevler geometrinin dolayısıyla fiziğin ve mühendisliğin pek çok alanında kullanılır. Sinüs ve kosinüs teoremleri bir üçgenin açıları ve kenarlarını hesaplamakta kullanılır ki herhangi bir çokgen üçgenlerin birleşimi olduğundan çokgenleri incelemede de yararlıdır.

Yukarıda dik üçgen üzerinden yapılan tanım sadece 0-90 derece aralığını kapsar (0-π/2 radyan).

90-360 derece arasındaki açıların trigonometrik değerleri birim çember üzerinden hesaplanır. 360 dereceden büyük açılar 360 üzerinden devrettirilerek 0-360 arasındaki esas ölçüsü bulunur.

• 0° ≤x <360° ve k bir tam sayı olmak üzere ölçüsü (x + 360k) olan açıların esas ölçüsü x derecedir.
• 0 ≤ x< 2π ve k bir tam sayı olmak üzere, ölçüsü (x + 2πk) olan açıların esas ölçüsü x radyandır.

Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember veya trigonometrik çember denir. Birim çemberin denklemi x²+y²=1 şeklindedir.

Gerçel sayılar kümesinden birim çember üzerindeki noktalara tanımlanan işleve sarma işlevi denir.

Sarma işlevini s ile, birim çemberi de C ile gösterirsek işlev

${\displaystyle \ s:\mathbb {R} \to C}$

şeklinde yazılabilir ve ${\displaystyle \ s(x)=P}$ oldugunda ${\displaystyle \ s(x+2k\pi )=P}$ olur. Başka bir deyişle, sarma işlevi, gerçel sayılar üzerinde dönemi (periyodu) ${\displaystyle 2\pi }$ olan bir işlevdir.

Yukarıdaki tanımlardan görülebileceği gibi, bu işlevler arasında

${\displaystyle {\cos ^{2}\ x}+{\sin ^{2}\ x}=1}$ (Pisagor teoremi)

${\displaystyle \sec ^{2}A-\tan ^{2}A=1\ }$

${\displaystyle \csc ^{2}A-\cot ^{2}A=1\ }$

ilişkileri vardır.

	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 30^{\circ }={\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle 45^{\circ }={\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle 60^{\circ }={\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 180^{\circ }=\pi }$	${\displaystyle 270^{\circ }={\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 360^{\circ }=2\pi }$
${\displaystyle sin(x)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle cos(x)}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle tan(x)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\tilde {\infty }}}$[1]	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\tilde {\infty }}}$[2]	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle cot(x)}$	${\displaystyle {\tilde {\infty }}}$[3]	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\tilde {\infty }}}$[4]	${\displaystyle \ 0}$	${\displaystyle {\tilde {\infty }}}$[5]
${\displaystyle \sec(x)}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tilde {\infty }}}$[6]	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle {\tilde {\infty }}}$[7]	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle csc(x)}$	${\displaystyle {\tilde {\infty }}}$[8]	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tilde {\infty }}}$[9]	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle {\tilde {\infty }}}$[10]

6 ana trigonometrik fonksiyonun özelliklerini özetleyen diyagramlar:^[11][12]

Fonksiyon	Periyot	Alan	Aralık	Diyagram
sinüs	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
cosinüs	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
tanjant	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$
sekant	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$
cosekant	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle x\neq n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$
cotanjant	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

6 ana trigonometrik fonksiyon periyodik olduğu için birebir değillerdir yani ters çevrilemezler, ancak trigonometrik bir fonksiyonun alanını kısıtlayarak ters çevrilebilirler.^[13]:48ff

Trigonometri birçok fen biliminde, matematiğin diğer alanlarında ve çeşitli sanatlarda yaygın bir biçimde kullanılmaktadır. Trigonometriyi kullanan bazı dallar şunlardır:

jeofizik, kristalografi, ekonomi (özellikle de finansal pazarların analizinde), elektrik mühendisliği, inşaat mühendisliği, elektronik, jeodezi, makine mühendisliği, meteoroloji, müzik kuramı, sayı kuramı (ve dolayısıyla kriptografi), oşinografi (okyanus bilimi), farmakoloji (eczacılık), optik, fonetik, olasılık kuramı, psikoloji, sismoloji...

Trigonometri yukarıda örneklendiği gibi birçok farklı alana farklı katkılarda bulunmuştur. Örneğin Pisagor kuramının isim babası Pisagor matematiksel müzik kuramına ilk katkıda bulunan isimlerdendir. Oşinografide bazı dalgaların sinüs dalgalarına benzerliği ilgili incelemelerde trigonometrinin kullanımına olanak tanımıştır. Bunun dışında Fourier serileri sayesinde trigonometrik işlevler farklı fonksiyonları temsil etmekte kullanılırlar ve bu sayede trigonometri birçok yararlanılan dallarda kullanım olanağı bulmuştur.

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \,}$

Bu bağıntıyla iki matematiksel ifade olan i ve ${\displaystyle \pi }$ birbirine bağlanmış olur.

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\,}$

Trigonometrik değerleri bilinen iki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerlerini hesaplamak için kullanılan formüllerdir.

sin(α+β) = sin α.cos β + cos α.sin β

sin(α-β) = sin α.cos β - cos α.sin β

cos(α+β) = cos α.cos β - sin α.sin β

cos(α-β) = cos α.cos β + sin α.sin β

tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α . tan β)

tan(α-β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α . tan β)

cot(α+β) = (cot α . cot β - 1) / (cot α + cot β)

cot(α-β) = (cot α . cot β + 1) / (cot β - cot α)

Yarım açı formülleri ya da iki kat açı formülleri, trigonometrik değerleri bilinen bir açının iki katının veya yarısının trigonometrik değerlerini hesaplamak için kullanılan formüllerdir.

sin2α = 2sin α.cos α

cos2α = cos² α - sin² α

cos2α = 2cos² α - 1

cos2α = 1- 2sin² α

tan2α = 2tan α / 1-tan² α

tan2α = 2 / cot α - tan α

cot2α = cot² α - 1 / 2cot α

Dönüşüm formülleri, toplam durumundaki iki trigonometrik ifadeyi çarpım haline getirmeye yarar. Bu işlemin amacı bazı özel durumlarda işlem kolaylığı sağlamaktır.

${\displaystyle \sin a+\sin b=2\sin {a+b \over 2}\cos {a-b \over 2}}$

${\displaystyle \sin a-\sin b=2\cos {a+b \over 2}\sin {a-b \over 2}}$

${\displaystyle \cos a+\cos b=2\cos {a+b \over 2}\cos {a-b \over 2}}$

${\displaystyle \cos a-\cos b=-2\sin {a+b \over 2}\sin {a-b \over 2}}$

${\displaystyle \tan a+\tan b={\frac {\sin(a+b)}{\cos a\cos b}}}$

${\displaystyle \tan a-\tan b={\frac {\sin(a-b)}{\cos a\cos b}}}$

${\displaystyle \cot a+\cot b={\frac {\sin(a+b)}{\sin a\sin b}}}$

${\displaystyle \cot a-\cot b=-{\frac {\sin(a-b)}{\sin a\sin b}}}$

• Trigonometrinin ana hatları