Topoloji, matematiğin ana dallarından biridir. Yunancada yer, yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos sözcüklerinden türetilmiştir. Topoloji biliminin kuruluş aşamalarında yani 19. yüzyılın ortalarında, bu sözcük yerine aynı dalı ifade eden Latince analysis situs ür.
Grup teorisi veya Grup kuramı, simetrileri inceleyen matematik dalıdır. Simetri kuramı olarak da adlandırılabilir. Bir nesnenin simetrileri ile kast edilen, nesneye uygulandığında nesneye hiçbir etki olmamış gibi sonuç veren dönüşümlerdir. Her nesnenin en az bir simetrisi vardır: hiçbir şey yapmadan olduğu gibi bırakma dönüşümü. Bahsettiğimiz dönüşümlerin tersleri de vardır ve aradığımız özellikleri sağlarlar. Son olarak da dönüşümlerin art arda yapılması, birleşimli bir işlemdir. Bu üç koşula sırasıyla birim elemana sahip olma, elemenların tersi olma ve grup işleminin birleşmeli olması denir. Bu kavramların matematikte soyutlanması, üzerinde tersinebilir ve bileşme özelliğine sahip ikili bir işlemin tanımlı olduğu kümeler ile yapılır. Daha detaylı açıklamak gerekirse, grup nesnesi bir küme G ve onun üzerinde tanımlı bir 
işleminden oluşur. Bu operasyonun aşağıdaki şartları sağlaması gereklidir:
Tıkızlık, topolojik uzayların sahip olabileceği başlıca özelliklerden biridir. Bir X uzayı ve birleşimleri X uzayını kaplayan herhangi bir açık kümeler topluluğu verildiğinde, bu topluluğun içinden sonlu sayıda açık küme hala X uzayını kaplayabiliyorsa, X uzayına tıkız (kompakt) denir. Gerçel sayılar kümesi (ℜ), üzerindeki standart topolojiye göre tıkız değildir, ancak ℜ’nin her kapalı ve sınırlı alt kümesi altuzay topolojisine göre tıkızdır. Matematiğin diğer pek çok alanında olduğu gibi, sonsuz bir nesnenin sonlu bir nesneye indirgenebilmesi çok önemli avantajlar sağladığı için topoloji alanında ve topolojik yöntemler kullanan diğer alanlarda vazgeçilmez bir kavramdır.
Fonksiyon, matematikte değişken sayıları girdi olarak kabul edip bunlardan bir çıktı sayısı oluşmasını sağlayan kurallardır. Fonksiyon, 17. yüzyılda matematiğin kavramlarından biri olmuştur. Fizik, mühendislik, mimarlık ve birçok alanda kullanılmaktadır. Galile, Kepler ve Newton hareketlerin araştırılmasında, zaman ve mesafe arasındaki durumu incelemek için fonksiyonlardan faydalanmıştır. Dört işlemden sonra gelen bir işlem türüdür.
Grup, soyut cebirin en temel matematiksel yapısıdır. Grup, ayrıca bir ikili işlemin tanımlı olduğu bir kümedir. Bir grubun grup olabilmesi için aynı zamanda bu işlemin birleşmeli, birim elemanlı ve ters elemanlı olması gerekir. Soyut cebirin halka, cisim, modül gibi diğer yapılarının temelini oluşturur.
Vektör uzayı veya Yöney uzayı, matematikte ölçeklenebilir ve eklenebilir bir nesnelerin (vektörlerin) uzayına verilen isimdir. Daha resmî bir tanımla, bir vektör uzayı, iki elemanı arasında vektör toplamasının ve skaler denilen sayılarla çarpımın tanımlı olduğu ve bunların bazı aksiyomları sağladığı kümedir. Skalerler, rasyonal veya reel sayılar kümesinden gelebilir, ama herhangi bir cisim üzerinden bir vektör uzayı oluşturmak mümkündür. Vektör uzayları, skalerlerin geldiği cisime göre reel vektör uzayı, kompleks vektör uzayı veya genel bir cisim üzerinden K vektör uzayı şeklinde adlandırılır.
Küme, matematikte farklı nesnelerin topluluğu veya yığını olarak tanımlanmaktadır. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir. Fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade etmektedir. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıkça ifade edilmektedir. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif etmektedir. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin topluluğuna küme denir." biçiminde bir tanımlama yapılmaktadır.
Sonsuz, eski Yunanca Lemniscate kelimesinden gelmektedir, çoğunlukla matematik ve fizikte herhangi bir sonu olmayan şeyleri ve sayıları tarif etmekte kullanılan soyut bir kavramdır.
Bölüm topolojisi, bir topolojik uzaydan başka bir topolojik uzay elde etmenin klasik yollarından biridir. Bir topolojik uzayda kimi noktaların birbirine yapıştırılmasıyla (özdeşleştirilmesiyle) elde edilen yeni kümenin üzerine konacak bölüm topolojisi, bu yeni kümeyi yeni bir topolojik uzaya dönüştürür. Bu yeni uzaya bölüm uzayı denir. Örneğin [0,1] kapalı aralığı bir topolojik uzaydır. Bu uzayda 0 ve 1 noktaları özdeşleştirilir ve bu yeni kümeye bölüm topolojisi verilirse oluşturulan topolojik uzay düzlemde birim çember olur. Başka bir örnek: düzlemde yatan birim yarıçaplı dairenin kenarının üst tarafındaki her bir nokta kenarın alt tarafında karşılık gelen noktaya yapıştırılır ve bu yeni kümenin üzerine bölüm topolojisi konursa, bu topolojik uzay 3 boyutlu Öklit uzayında birim yarıçaplı küre olur.
Mandelbrot kümesi, Benoit Mandelbrot'un ikinci derece kompleks değişkenli polinomların dinamiklerini açıklamak için geliştirdiği ve incelediği kümedir. Mandelbrot kümesi, karmaşık düzlemin bir fraktal altkümesidir.
Topolojide tıkız-açık topoloji, bir topolojik uzaydan bir diğerine tüm sürekli gönderimlerin oluşturduğu küme üzerine konan bir topolojidir. Fonksiyonel analizde fonksiyon uzaylarına konan doğal bir topolojidir.
Pürüzsüz (gıcır) çokkatlı, türevli topolojide bir çeşit topolojik çokkatlı. Tanımı sayesinde, üzerinde türev alınabilir bir uzaydır. Örneğin türev ve integralin ilk tanımlandığı gerçel sayılar kümesi, 1 boyutlu pürüzsüz bir çokkatlıdır.
Topolojide altuzay topolojisi ya da tetiklenmiş topoloji, topolojik bir uzay içinde bir altkümeye konulabilecek en doğal topolojidir. Bu topoloji verilmiş altkümeyeyse (topolojik) altuzay denir.
Matematikte deste, bir topolojik uzayın açık altkümelerine ilişkin yerel tanımlı verilerin sistematik olarak incelenmesini sağlayan bir araçtır.
Cebirsel topoloji, topolojik uzayları cebirsel gereç ve yöntemlerle inceleyen matematik dalı. Matematikte bir kümenin üzerine döşenecek yapı, yönelinen matematik dalını belirler. Bir kümeye bir ya da birkaç işlem konarak sayılar kuramı ya da cebir yapmaya başlanabilir. Kümenin üzerine bir topoloji koyaraksa topoloji ve, ayrıca uzunluk koyarsak, geometri yapmaya başlanır. Üzerine topoloji konmuş bir uzayı incelemek için kimi cebirsel, aritmetik veya topolojik değişmezler tanımlanır; bunlar aracılığıyla topolojik uzayın özellikleri ayırdedilir. Örneğin tıkızlık, bağlantılılık, sayılabilirlik bu tür değişmezlerdir. Topolojik eşyapısal iki uzaydan biri bu değişmeze sahipse diğeri de buna sahip olmalıdır. Yani, eğer iki uzay için ayrı ayrı bakılan bir değişmez aynı değilse, bu iki uzay eşyapısal olmayacaktır. Yukarıda anılan en eski değişmezlerin hemen ardından inşa edilen klasik değişmezler cebirsel olanlardır.
Olasılık kuramında olay, kendisine bir olasılık değeri atanan sonuç kümesine verilen addır. Örnek uzayın sonlu olması durumunda bu kümenin herhangi bir altkümesi bir olay oluşturmaktadır. Ne var ki, bu yaklaşım örnek uzayın sonsuza uzandığı durumlarda işe yaramamaktadır. Bu nedenle, olasılık uzayı tanımlamalarında örnek uzayın bazı altkümeleri göz önüne alınmaz.
Bilgisayar bilimlerinde, alt küme toplamı problemi karmaşıklık kuramında ve kriptografide önemli yeri olan bir problemdir.
Ayrılma belitleri bir topolojik uzayın üzerine konan ve noktaların ve altkümelerin birbirilerinden ne kadar ayrı olduğunu belirten belitler ailesi. Bir topolojik uzayın bu belitlerden birini sağladığı söylendiğinde, topolojisi hakkında global bir bilgi verilmiş ve topolojinin cinsi daraltılmış olur. Örneğin, topolojinin sahip olduğu açık kümelere bakmaksızın o topolojinin T0 olduğunu söylemek, topolojik uzayda seçilmiş herhangi iki noktanın birbirlerinden ayırt edilebilir olduğunu garanti eder.
Pro sonlu gruplar, Matematikte ilk olarak sayılar kuramında görülmüştür. 19. yüzyılın sonlarına doğru kongurans sistemlerini çalışmak için Alman matematikçi Hensel tarafından bulunan p-sel tamsayılar halkası Zp, pro-sonlu grupların en temel örneklerinden birisidir. Alman matematikçi Krull herhangi bir sonsuz Galois genişlemesinin Galois grubunun aslında doğal bir şekilde pro-sonlu grup yapısına sahip olduğunu gördü. Bu yapının sonlu Galois genişlemelerinin Galois gruplarıyla belirlendiğini gösterdi. Daha sonra, cebirsel geometri alanında Grothendieck, şemaların temel gruplarını birer pro-sonlu grup olarak tanıttı.
Matematiksel analizde, küme üzerindeki bir ölçü, bu kümenin her bir uygun alt kümesine bir sayı atamanın sistematik bir yoludur ve sezgisel olarak kümenin boyutu olarak yorumlanır. Bu anlamda ölçü, uzunluk, alan ve hacim kavramlarının bir genellemesidir. Özellikle önemli bir örnek, Öklid geometrisinin geleneksel uzunluğunu, alanını ve hacmini n-boyutlu Öklid uzayının Rn uygun alt kümelerine atayan bir Öklid uzayındaki Lebesgue ölçüsüdür. Örneğin, gerçek sayılardaki [0, 1] aralığının Lebesgue ölçüsü, kelimenin günlük anlamındaki uzunluğudur ve tam olarak 1'dir.
