Tobit modeli

Tobit modeli negatif olmayan bağımlı bir değişken ${\displaystyle y_{i}}$ ile bağımsız bir değişken veya vektör ${\displaystyle x_{i}}$ arasındaki ilişkiyi tanımlamak için James Tobin tarafından öne sürülen bir ekonometrik yöntemdir.

Model ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ gibi bir gizli (yani gözlemlenemeyen) değişkenin varlığını varsayar. Bu değişken ${\displaystyle x_{i}}$ değişkenine doğrusal olarak ${\displaystyle \beta }$ parametresi veya vektörü ile bağlıdır. ${\displaystyle \beta }$ parametresi veya vektörü lineer modelde olduğu gibi ${\displaystyle x_{i}}$ ve ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ arasındaki ilişkiyi belirler. Ek olarak bu ilişkideki rassal etkileri kapsayacak normal dağılıma sahip bir hata terimi ${\displaystyle u_{i}}$ vardır. Gözlemlenebilen ${\displaystyle y_{i}}$, eğer gözlemlenemeyen ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ sıfırdan büyükse ${\displaystyle y_{i}^{*}}$’a, gözlemlenemeyen ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ sıfırdan küçük veya sıfıra eşitse ${\displaystyle y_{i}}$ sıfıra eşittir.

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\textrm {if}}\;y_{i}^{*}>0\\0&{\textrm {if}}\;y_{i}^{*}\leq 0\end{cases}}}$

Burada ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ gözlemlenemeyen değişkendir.

${\displaystyle y_{i}^{*}=\beta x_{i}+u_{i},u_{i}\sim N(0,\sigma ^{2})}$

Eğer ilişki parametresi ${\displaystyle \beta }$ gözlemlenen ${\displaystyle y_{i}}$lerin ${\displaystyle x_{i}}$ler üzerine regresyonu ile elde edilirse ortaya çıkan en küçük kareler regresyonu tutarsızdır. Çünkü sıfır değere sahip değişkenler için hata teriminin ortalaması sıfır olmayacaktır ve normal dağılım varsayımı ihlal edilmiş olacaktır. Eğer gözlenemeyen ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ normal dağılıma sahip olduğu varsayılır ise en çok olabilirlik metodu kullanılarak Tobit tahmini yapılabilir ve tutarlı parametre tahminleri elde edilebilir.

Ekonometrik analiz yapılırken bağımlı değişken değerinin alttan veya üstten sınırlandırılmak zorunda olunması veri kaybına neden olmaktadır. Bağımlı değişkenin değişim aralığının herhangi bir şekilde sınırlandırıldığı regresyon modellerinde eğer belirli bir aralığın dışındaki gözlemler tamamen kaybedilmekte ise kesikli model, ancak en azından bağımsız değişkenler gözlenebiliyorsa sansürlü model söz konusu olur. Tobit modeli sansüre uğramış regresyon modelinin özel bir şeklidir çünkü gizli ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ değişkeni her zaman gözlemlenemezken ${\displaystyle x_{i}}$ değişkeni gözlemlenebilirdir. Tobit modelinin genel bir varyasyonu ${\displaystyle y_{L}^{*}}$ gibi sıfırdan farklı bir değerde sansür olması halidir.

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\textrm {if}}\;y_{i}^{*}>y_{L}\\y_{L}&{\textrm {if}}\;y_{i}^{*}\leq y_{L}.\end{cases}}}$

Diğer bir varyasyon ise ${\displaystyle y_{U}}$ gibi bir değerin üzerindekilerin sansüre uğramasıdır..

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\textrm {if}}\;y_{i}^{*}<y_{U}\\y_{U}&{\textrm {if}}\;y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}}$

Başka bir varyasyon da ${\displaystyle y_{i}}$ nin aynı anda hem alttan hem de üstten sansüre uğramasıdır.

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\textrm {if}}\;y_{L}<y_{i}^{*}<y_{U}\\y_{L}&{\textrm {if}}\;y_{i}^{*}\leq y_{L}\\y_{U}&{\textrm {if}}\;y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}}$

Bu tür genelleştirmeler Tobit modeli olarak anılır sansürlemenin nerede ve ne zaman olacağına bağlı olarak farklı Tobit modelleri yazılabilir. Amemiya bunları 5 kategoriye ayırmıştır(Tobit I - Tobit V)

• Kesik regresyon modeli

• Amemiya, Takeshi (1973). "Regression analysis when the dependent variable is truncated normal". Econometrica 41 (6), 997–1016.
• Amemiya, Takeshi (1984). "Tobit models: A survey". Journal of Econometrics 24 (1-2), 3-61.
• Amemiya, Takeshi (1985). "Advanced Econometrics". Basil Blackwell. Oxford.
• Schnedler, Wendelin (2005). "Likelihood estimation for censored random vectors". Econometric Reviews 24 (2),195–217.
• Tobin, James (1958). "Estimation for relationships with limited dependent variables". Econometrica 26 (1), 24–36.

• Tobit Modelleri için bir tur (İngilizce)