Theodorus sarmalı

Geometride, Theodorus Sarmalı (karekök sarmalı, Einstein sarmalı veya Pisagor sarmalı olarak da adlandırılır),^[1] uç uca yerleştirilmiş dik üçgenlerden oluşan bir spiraldir. Adını, Cyreneli Theodorus'tan almıştır.

Sarmal bir ikizkenar dik üçgenle başlar ve her kenar birim uzunluğa sahiptir. Başka bir dik üçgen oluşturulur, bir kenarı önceki üçgenin hipotenüsü (uzunluğu √2 olan) ve diğer kenarının uzunluğu 1 olan otomatik bir dik üçgen oluşturulur. Bu ikinci üçgenin hipotenüsünün uzunluğu √3'tür. İşlem daha sonra benzer adımlarla tekrar eder. Dizideki nci üçgen, kenar uzunlukları √n ve 1 olan ve hipotenüs √n+1 olan bir dik üçgendir. Örneğin, 16. üçgenin kenarları 4 (= √16), 1 ve hipotenüs √17'dir.

Theodorus'un tüm çalışmaları kaybolmuş olsa da, Platon, Theodorus'a, çalışmalarını anlattığı Theaetetus'un diyaloğunda yer vermiştir. Theodorus'un Theodorus Sarmalı aracılığıyla 3'ten 17'ye kadar karesel olmayan tam sayıların tüm kareköklerinin irrasyonel olduğunu kanıtladığı varsayılmaktadır.^[2]

Platon, 2'nin karekökünün irrasyonelliğini Theodorus'a atfetmez, çünkü ondan önce de iyi biliniyordu. Theodorus ve Theaetetus, rasyonel sayıları ve irrasyonel sayıları farklı kategorilere ayırır.^[3]

Üçgenlerin hipotenüsleri, ${\displaystyle h_{n}}$, ${\displaystyle h_{1}={\sqrt {2}}}$'ye karşılık gelen doğal sayı'nın karekök'ünü verir.

Theodorus tarafından eğitilen Platon, Theodorus'un neden √17'de durduğunu sorguladı. Bunun nedeninin, √17 hipotenüsünün şekil ile üst üste gelmeyen son üçgene ait olduğu düşünülmektedir.^[4]

1958'de Erich Teuffel, sarmal ne kadar devam ettirilirse ettirilsin, iki hipotenüsün asla çakışmayacağını kanıtladı. Ayrıca, birim uzunluğunun kenarları bir çizgiyle uzatılırsa, bunlar hiçbir zaman şeklin diğer köşelerinden biriyle kesişmez.^[4][5]

Theodorus sarmalını hipotenüsü √17 olan üçgende durdurdu. Sarmal, sonsuz sayıda üçgenle devam ederse, daha birçok ilginç özellik bulunur.

Eğer φ_n, nci üçgenin (veya spiral segmentinin) açısı ise, o zaman:

${\displaystyle \tan \left(\varphi _{n}\right)={\frac {1}{\sqrt {n}}}.}$

Bu nedenle, bir sonraki n üçgenin φ_n açısının büyümesi:^[1]${\displaystyle \varphi _{n}=\arctan \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right).}$

olur. İlk k üçgenin açılarının toplamına, kıncı üçgen için toplam açı φ(k) denir. Sınırlı bir düzeltme terimi olan c₂ ve knin karekökü ile orantılı olarak büyür:^[1]${\displaystyle \varphi \left(k\right)=\sum _{n=1}^{k}\varphi _{n}=2{\sqrt {k}}+c_{2}(k)}$

burada

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }c_{2}(k)=-2.157782996659\ldots }$'dir.

( A105459).

Sarmal yarıçapının belirli bir n üçgeninde büyümesi;

${\displaystyle \Delta r={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}.}$'dir.

Theodorus Sarmalı, Arşimet Sarmalı'na yakınsar.^[1] Nasıl Arşimet sarmalının iki sargısı arasındaki mesafe, matematiksel sabit π'ye eşitse, Theodorus sarmalının dönüş sayısı sonsuza yaklaştıkça, ardışık iki sargı arasındaki mesafe hızla π'ye yaklaşır.^[6]

Aşağıda, π'ye yaklaşan sarmalın iki sargısını gösteren bir tablo yer almaktadır:

Görülebileceği gibi, yalnızca beşinci sargıdan sonra, mesafenin π'ye göre yaklaşıklığı %99,97'dir.^[1]

Theodorus sarmalının ayrık noktalarının düzgün bir eğri ile nasıl interpolasyon yapılacağı sorusu öne sürülmüş ve faktöriyel fonksiyonu için bir interpolant olarak gama fonksiyonu için Euler Formülüne benzetilerek Davis 2001, ss. 37–38'de cevaplanmıştır. Philip J. Davis, öğrencisi Jeffery J. Leader^[7] ve Arieh Iserles (ek olarak Davis 2001) tarafından daha ayrıntılı incelenen aşağıdaki fonksiyonu buldu;

${\displaystyle T(x)=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+i/{\sqrt {k}}}{1+i/{\sqrt {x+k}}}}\qquad (-1<x<\infty )}$

Bu fonksiyonun aksiyomatik bir karakterizasyonu, Gronau 2004'te fonksiyonel denklemi karşılayan benzersiz fonksiyon olarak verilmiştir.

${\displaystyle f(x+1)=\left(1+{\frac {i}{\sqrt {x+1}}}\right)\cdot f(x),}$

başlangıç koşulu ${\displaystyle f(0)=1,}$ ve hem bağımsız değişken (argüman) hem de modülde monotonluk; alternatif koşullar ve zayıflamalar da burada incelenir. Alternatif bir türetme, Heuvers, Moak & Boursaw 2000'de verilmiştir.

Davis'in orjine zıt yönde uzanan Theodorus Sarmalının sürekli formunun çözümsel uzanımı Waldvogel 2009'de verilmiştir.

Şekilde, orijinal (ayrık) Theodorus spiralinin düğümleri küçük yeşil daireler olarak gösterilmiştir. Mavi olanlar, spiralin ters yönünde eklenenlerdir.

Şekilde yalnızca ${\displaystyle r_{n}=\pm {\sqrt {|n|}}}$ kutupsal (polar) yarıçapının tam sayı değerine sahip ${\displaystyle n}$ düğümleri numaralandırılmıştır. Koordinat başlangıcındaki ${\displaystyle O}$ kesikli çizgi ile gösterilen çember, ${\displaystyle O}$ noktasındaki eğrilik çemberidir.

• Fermat sarmalı
• Spiraller listesi

• Davis, P. J. (2001), Spirals from Theodorus to Chaos, A K Peters/CRC Press 
• Gronau, Detlef (March 2004), "The Spiral of Theodorus", The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 111 (3), ss. 230-237, doi:10.2307/4145130, JSTOR 4145130 
• Heuvers, J.; Moak, D. S.; Boursaw, B (2000), "The functional equation of the square root spiral", T. M. Rassias (Ed.), Functional Equations and Inequalities, ss. 111-117 
• Waldvogel, Jörg (2009), Analytic Continuation of the Theodorus Spiral (PDF), 23 Şubat 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 11 Eylül 2020