İçeriğe atla

Temel aritmetik

Temel aritmetik sembolleri

Temel aritmetik, aritmetiğin en basit kısmıdır ve toplama, çıkarma, çarpma, bölme gibi işlemlerden oluşur.

Temel aritmetik, doğal sayılar ile başlar ve rakamlarla veya daha genel bir ifade ile sayılarla yazılır. Bu rakam çiftleri ile yapılan çarpma ve bölme işlemi sonucu, çarpım tablosu ezberlenerek kolayca elde edilebilir.

Ayrıca kesir ve sayı doğrusu üzerinde bulunan negatif sayılar da temel aritmetiğin konularındandır.

Basit toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri için önceleri abaküs kullanılıyordu. Şu an Asya'nın birçok ülkesinde hâlâ kullanılıyor. Hesap makinesi gibi modern hesaplama araçları temel aritmetik işlemleri gerçekleştirebilir.

Rakamlar

Rakam, sayıları yazılı olarak göstermeye yarayan semboldür. Sayısal sistemde tek bir rakam, farklı kültürlerdeki sembolleri her ne kadar farklı olsa bile, diğerlerinden farklı bir değere sahiptir. Modern kullanımda, sembollerde daha çok Arap rakamları tercih edilir. Bu rakamlar sırasıyla şunlardır:
0, sıfır. Bir niteliğin yokluğunu temsil eder. Örneğin; "burada hiç çubuk yok" ifadesi "buradaki çubuk sayısı 0'dır" anlamına gelir.
1, bir. Tek bir ögeyi ifade eder. Örneğin; burada bir çubuk var: I
2, iki. Bir öge çiftini ifade eder. Örneğin; burada iki çubuk var: I I
3, üç. Üç ögeyi ifade eder. Örneğin; burada üç çubuk var: I I I
4, dört. Dört ögeyi ifade eder. Örneğin; burada dört çubuk var: I I I  I
5, beş. Beş ögeyi ifade eder. Örneğin; burada beş çubuk var: I I I  I I
6, altı. Altı ögeyi ifade eder. Örneğin; burada altı çubuk var: I I I  I I I
7, yedi. Yedi ögeyi ifade eder. Örneğin; burada yedi çubuk var: I I I  I I I  I
8, sekiz. Sekiz ögeyi ifade eder. Örneğin; burada sekiz çubuk var: I I I  I I I  I I
9, dokuz. Dokuz ögeyi ifade eder. Örneğin; burada dokuz çubuk var: I I I  I I I  I I I

Herhangi bir sayısal sistem, birden fazla rakamın bulunduğu tüm sayıların değerini tanımlar.

Toplama

+0123456789
0 0123456789
1 12345678910
2 234567891011
3 3456789101112
4 45678910111213
5 567891011121314
6 6789101112131415
7 78910111213141516
8 891011121314151617
9 9101112131415161718

İki sayının toplanması işleminde artı işareti (+) kullanılır.

İki doğal sayıyı toplama ne anlama gelir?

Örneğin; üç sepetimiz olsun. Birinci sepette beş elma, ikinci üç elma bulunsun. Son sepet ise boş olsun (yukarıda bahsedilen örneğe göre 0 elma bulunsun). Birinci ve ikinci sepetteki elmaların tümünü üçüncü sepete koyalım. Şimdi üçüncü sepette 8 elma oldu. Bu, beş elma ile üç elmanın kombinasyonu sekiz elma eder. Bu, şöyle de ifade edilebilir: "beş artı üç sekiz eder" veya "üç artı beş sekiz eder" veya "beş artı üç sekize eşittir" ya da "sekiz, beş ile üçün toplamıdır".

Toplama sembolü "artı" (+) ile ifade edilir. Bu durumda, "beş artı üç sekize eşittir" ifadesi, sembolik olarak şöyle yazılabilir: 5 + 3 = 8. Toplanan iki sayının sırası önemli değildir. Yani, 3 + 5 = 5 + 3 = 8. Bu, toplama işleminin değişme özelliğidir.

Örnek

653 ile 274 sayılarının toplamının sonucunu bulalım. Basamakları aynı hizaya gelecek şekilde ikinci sayıyı birincisinin altına yazalım.

653
274

İkinci sayının altına bir yatay çizgi çizelim ve üstüne artı işaretini koyalım. Toplama işlemi, birler basamağından (en sağdan) başlar. Birinci sayının birler basamağının sayı değeri 3, ikincisininki 4'tür. Üç ile dördün toplamı yedi eder. Böylece çizginin altına birler basamağına 7 yazılır:

653
+274
7

Sonra, onlar basamağı gelir. Birinci sayının onlar basamağının sayı değeri 5, ikincisininki 7'dir. Beş ile yedinin toplamı on iki eder. 12'de iki rakam vardır. Son rakamı (yani 2) çizginin altına onlar basamağına yazılır. Elde (yani 1), ilk sayının yüzler basamağının üstüne yazılır.

1
653
+274
27

Sonra, yüzler basamağı gelir. Birinci sayının yüzler basamağının sayı değeri 6, ikincisininki 2'dir. Altı ile ikinin toplamı sekiz eder. Elde 1 olduğundan dolayı, sekiz ile bir toplanır. Toplam (9) çizginin altına yüzler basamağına yazılır.

1
653
+274
927

Toplanacak basamak kalmadığından dolayı toplama algoritmesı tamamlanmış oldu ve toplama sonucu;

653 + 274 = 927.

Çıkarma

Matematikte çıkarma işlemi miktardaki azaltmayı ifade eder. Bu işlemin sonucu, iki sayı arasındaki farktır.

Çıkarma sembolü "eksi" (-) ile ifade edilir. Örneğin;, "beş eksi üç ikiye eşittir" ifadesi, sembolik olarak şöyle yazılabilir: 5 - 3 = 2.

Toplamanın aksine çıkarmada iki sayının sırası önemlidir. Yani, 5 - 3 Şablon:≠ 3 - 5. Çıkarma işleminde değişme özelliği yoktur.

36-5:

36
5
36
5
1
36
5
31
∴36-5=31.

Çarpma

×0123456789
0 0000000000
1 0123456789
2 024681012141618
3 0369121518212427
4 04812162024283236
5 051015202530354045
6 061218243036424854
7 071421283542495663
8 081624324048566472
9 091827364554637281

İki sayının çarpılmasının sonucu çarpım olarak adlandırılır. İki sayının çarpılması, 'faktör, çarpan, çarpılan olarak da adlandırılır.

Kolomi nokia jiloni

Bu, şöyle de ifade edilebilir: "beş kere üç onbeştir" veya "beş kere üç onbeşe eşittir" veya "onbeş, beş ile üçün çarpımıdır" Çarpma, toplamanın tekrarlanması formunda da görülebilir. İlk faktör, ikinci faktörün kaç kere kendisine ekleneceğini ifade eder.

Çarpma sembolü "çarpma işareti" (×) ile ifade edilir. Örneğin; "beş kere üç onbeşe eşittir" ifadesi, sembolik olarak şöyle yazılabilir:

Bazı ülkeler ve yüksek aritmetikte başka çarpma işaretleri kullanılır. Örneğin; 5 ⋅ 3. Bazı durumlarda, özellikle sayıların harflerle ifade edilebildiği cebirde, çarpma işareti kullanılmaz. Örneğin; xy, x × y anlamına gelir. Çarpılacak iki sayının sırası önemli değildir. Bu yüzden, örneğin, üç kere dört, dört kere üçe eşittir. Bu, çarpmanın değişme özelliğidir.

Örnek

3 ile 729 sayısının çarpımının sonucunu bulalım. Tek rakamdan oluşan çarpan, üç rakamdan oluşan çarpılanın, altına şöyle yazalım:

729
3

Çarpanın altına yatay bir çizgi çizelim ve çizginin üstüne çarpma işaretini koyalım. Çarpma, birler basamağından başlar. Çarpılanın birler basamağının sayı değeri 9, çarpanınki 3'dür. 3 ile 9 çarpımı 27'dir. Böylece çizginin altına birler basamağına 7 yazılır. Eldeyi (2 rakamını), çizginin altına, henüz yazılmamış onlar basamağına yazalım:

729
×3
27

Sonra onlar basamağı gelir. Çarpılanın onlar basamağının sayı değeri 2, çarpım 3'dür. Böylece üç kere iki altıdır. Eldeki 2, 6'ya eklenir. Sonuç 8 oldu. 8, çizgini altına onlar basamağına yazılır. 8 tek rakamdan oluştuğuna için elde yoktur.

729
×3
87

Sonra yüzler basamağı gelir. Çarpılanın yüzler basamağının sayı değeri 7, çarpım 3'dür. Böylece üç kere yedi yirmibirdir. 2 rakamı çizginin altındaki yüzler basamağına yazılır. Elde 1 kalır. Çarpılacak başka basamak olmadığı için, eldeki 1, çizginin altındaki binler basamağına yazılır:

729
×3
2187

Böylece çarpma algoritması tamamlanır ve sonuç:

.

Bölme

Bölme, genellikle çarpma işleminin tersi olarak tanımlanır.

c kere b eşittir a ise, şöyle sembolize edilir:

burada b, olamayan herhangi bir sayı ve a nın b ye bölümü c ye eşittir. Bu şöyle sembolize edilir:

Buna sayısal örnek;

since

.

Yukarıdaki ifade de, a, bölünen, b the bölen ve c bölüm olarak adlandırılır.

Sıfıra bölme (yani bölen sıfırdır) tanımsızdır.

Bölme gösterimi

Bölme, çoğunlukla bölünenin altına bölen yazılır ve aralarına yatay çizgi çizilerek gösterilir. Örneğin a bölünen, b bölen olursa, bu şöyle sembolize edilir:

Bu, "a bölü b" veya "bde a" diye okunur. Tüm bölme işlemini tek bir satırda şöyle ifade edilir; bölünen ardından eğik çizgi son olarak da bölen. Bu ifade şöyle sembolize edilir:

Bu, çoğu programlama dilinde bölmeyi ifade etmenin genel yoludur.

Bu iki form arasındaki gösterim tipografik formdur. Burada, eğik çizginin üstünde bölünen, altında ise bölen yazılır ve şöyle sembolize edilir:

ab .

Bir kesri göstermesi için bu formlardan herhangi biri kullanılabilir. Bir bayağı kesir, hem bölünen hem de bölenin tam sayı olduğu bir bölme formudur.

Bölmeyi göstermenin daha basit yöntemi, obelus (başvurma işareti) kullanmaktır. Bu, şöyle sembolize edilir:

Bu form, temel aritmetik haricinde nadiren kullanılır. Bölme işlemini ifade etmesi için obelus tek başına kullanılır. Örneğin hesap makinesinde bir tuş ile ifade edilir.

Bazı kültürlerde "a bölü b" şöyle yazılır: a : b.

Bir sayısı bir kesre bölmek, kesrin alt ve üstündeki sayıların yerlerini değiştirerek, ilgili sayıyla çarpımına eşittir. Bu ifade, örneklerle şöyle sembolize edilir:

Ayrıca bakınız

İlgili Araştırma Makaleleri

Sayı, sayma, ölçme ve etiketleme için kullanılan bir matematiksel nesnedir. En temel örnek, doğal sayılardır. Sayılar, sayı adı (numeral) ile dilde temsil edilebilir. Daha evrensel olarak, tekil sayılar rakam adı verilen sembollerle temsil edilebilir; örneğin, "5" beş sayısını temsil eden bir rakamdır. Yalnızca nispeten az sayıda sembolün ezberlenebilmesi nedeniyle, temel rakamlar genellikle bir rakam sisteminde organize edilir, bu da herhangi bir sayıyı temsil etmenin organize bir yoludur. En yaygın rakam sistemi Hint-Arap rakam sistemidir, bu sistem on temel sayısal sembol, yani rakam kullanılarak herhangi bir negatif olmayan tam sayının temsil edilmesine olanak tanır. Sayılar sayma ve ölçme dışında, etiketlerde, sıralamada ve kodlarda kullanılmak için de sıklıkla kullanılır. Yaygın kullanımda, bir rakam ile temsil ettiği sayı net bir şekilde ayrılmaz.

<span class="mw-page-title-main">Tam sayı</span> sıfırın sağında bulunan sayılar büyükken solunda bulunan sayılar küçüktür

Tam sayılar, sayılar kümesinde yer alan sıfır (0), pozitif yönde yer alan doğal sayılar ve bunların negatif değerlerinden oluşan negatif sayılardan oluşan sayı kümesidir.

<span class="mw-page-title-main">Doğal sayılar</span> sayma sayıları kümesine 0ın eklenmesiyle oluşan sayılar kümesi

Doğal sayılar, şeklinde sıralanan tam sayılardır ve kimi tanımlamalara göre 0 sayısı da bu kümeye dâhil edilebilir. Aralarında standart ISO 80000-2'nin de bulunduğu bazı tanımlar doğal sayıları 0 ile başlatır ve bu durum negatif olmayan tam sayılar için 0, 1, 2, 3, ... şeklinde bir karşılık bulurken, bazı tanımlamalar 1 ile başlamakta ve bu da pozitif tam sayılar için 1, 2, 3, ... şeklinde bir eşlenik oluşturur. Doğal sayıları sıfır olmadan ele alan metinlerde, sıfırın da dahil edildiği doğal sayılar bazen tam sayılar olarak adlandırılırken diğer bazı metinlerde bu terim, negatif tam sayılar da dahil olmak üzere tam sayılar için kullanılmaktadır. Özellikle ilkokul seviyesindeki eğitimde, doğal sayılar, negatif tam sayıları ve sıfırı dışlamak ve saymanın ayrık yapısını, gerçek sayıların bir karakteristiği olan ölçümün sürekliliğiyle karşıtlık oluşturmak amacıyla sayma sayıları olarak adlandırılabilir.

<span class="mw-page-title-main">Aritmetik</span> temel matematik dalı

Aritmetik; matematiğin sayılar arasındaki ilişkiler ile sayıların problem çözmede kullanımı ile ilgilenen dalı. Aritmetik kavramı ile genellikle sayılar teorisi, ölçme ve hesaplama kastedilir. Bununla birlikte bazı matematikçiler daha karmaşık çeşitli işlemleri de aritmetik başlığı altında değerlendirirler.

<span class="mw-page-title-main">Roma rakamları</span> Roma rakam sisteminde kullanılan sayılar

Roma rakamları veya Romen rakamları sayısal sistemi, antik Roma kaynaklıdır. Orta Çağ'ın son dönemlerine dek, Avrupa'da yaygın olarak kullanılmıştır.

<span class="mw-page-title-main">Rakam</span>

Rakam, sayıları yazılı olarak göstermeye yarayan sembollerden her biri. Pek çok dil ve kültürde kullanılan Arap kökenli rakamlar şunlardır:

<span class="mw-page-title-main">Çarpma</span>

Çarpma, temel aritmetik işlemlerden biridir. Sayılarda çarpma, çarpılan sayının çarpan sayı kadar adedinin toplamının alınması işlemidir.

<span class="mw-page-title-main">Bölme</span> Matematik işlemi

Bölme, aritmetiğin temelini oluşturan dört ana işlemden biri olarak kabul edilir. Diğer üç ana işlem ise toplama, çıkarma ve çarpma olarak sıralanır. İşlem sırasında bölünen miktar bölünen olarak adlandırılırken, bu miktarın bölündüğü sayıya bölen denir ve işlemin sonucunda elde edilen değer bölüm olarak tanımlanır.

<span class="mw-page-title-main">Toplama</span> aritmetik işlem

Toplama işlemi dört ana aritmetik işlemden biridir. Diğer aritmetik işlemler çıkarma, çarpma ve bölmedir. İki doğal sayının toplaması sayı değerlerinin toplamını üretir. Yandaki resimdeki örnek, toplamda beş elma oluşturan üç elma ve iki elmanın toplamasını göstermektedir. Bu gözlem, matematik ifadesi ile "3 + 2 = 5" olarak ifade edilir

Taban aritmetiğinde iki basamaklı bir (ab) sayısı 10a+b şeklinde, üç basamaklı bir (abc) sayısı 100a + 10b + c şeklinde, dört basamaklı bir (abcd) sayısı 1000a + 100b + 10c + d şeklinde çözümlenir ve basamak sayısı arttıkça bu durum benzer şekilde devam eder.

Cebirde polinom bölme, bir polinomu, eşit ya da daha düşük dereceli bir polinoma bölme algoritmasıdır. Uzun bölme olarak adlandırılan aritmetik yöntemin genellemesi olan algoritma, karmaşık bir bölme işlemini basite indirgediğinden elle yapılabilmektedir.

<span class="mw-page-title-main">Kesir</span>

Kesir, bir birimin bölündüğü parçalardan birinin veya birkaçının bütüne oranını ifade eden sayı. Kesir kavramı, ondalık sayılardan ve yüzdelerden ayırmak amacıyla sıklıkla sadece "bayağı kesirleri" tanımlamak için kullanılır.

<span class="mw-page-title-main">Napier'in kemikleri</span> John Napier tarafından icat edilmiş matematiksel aygıt

Napier'in kemikleri, John Napier tarafından oluşturulan bir abaküstür. Pratik olarak çarpma, bölme ve karekök alma işlemleri için kullanılabilir. Napier, bu eserini Rabdology adıyla 1617'nin sonunda, İskoçya Edinburgh'da yayımlamıştır. Napier'in kemikleri, Napier'in adıyla ilişkili olan logaritma ile aynı şey değildir.

<span class="mw-page-title-main">Temel cebir</span>

Basit cebir, matematik dersinde öğretilen cebirin en temel kısmıdır. Normalde liselerde öğretilir ve öğrencilerin işlem ve belirli sayılar üzerine kurulu olan aritmetiği anlamalarını sağlar. Cebir, değişken olarak bilinen sabit olmayan değerlerin büyüklüklerini açıklar. Soyut cebir aksine temel cebir, cebirsel yapı ile ilgilenmez, reel sayı ve karmaşık sayılarla ilgilenir.

Matematikte cebirsel ifade, sabitler ve değişkenlerden oluşan bir ifadedir ve toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve bir rasyonel sayının üssünü alma gibi sonlu sayıda cebirsel işlemlerden oluşur. Örneğin, ifadesi bir cebirsel ifadedir. Karekök alma kuvveti oranında yükseltir. Cebirsel ifadeye başka bir örnek aşağıdaki kareköklü ifade verilebilir:

Soyut cebirde, bir halka üzerindeki modül kavramı, alandaki vektör uzayının genelleştirilmiş gösterimidir. Buradaki ilgili skalerler, bir keyfi halkanın ögeleridir (elemanlarıdır). Tamsayılar halkasındaki modüller de Abelian gruplarının genel gösterimidir.

Soyut cebir ve mantıkta, ikili işlemlerin dağılma özelliği, temel cebirdeki dağılma kuralının genelleştirilmesidir.

Basamak veya hane, matematikte bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birinin o sayı içerisindeki konumunu ifade eder.

<span class="mw-page-title-main">Bölüm</span>

Aritmetik disiplininde, 'bölüm' terimi, iki rakamın bölme işlemi neticesinde ortaya çıkan nicelik olarak tanımlanır. Matematiğin çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılan bu terim, iki farklı şekilde ifade edilebilir: bir bölme işleminin tam sayı kısmı veya genel bir bölme işleminde elde edilen bir kesir ya da oran olarak. Mesela, 20 (bölünen) değeri 3 (bölen) ile bölündüğünde, ilk tanım çerçevesinde elde edilen bölüm 6'dır ve ikinci tanımda şeklinde belirtilir.

<span class="mw-page-title-main">Piero Borgi</span> İtalyan matematikçi (1424-1494)

Piero Borgi, çok yönlü bir İtalyan matematikçiydi. Borgi, 15. yüzyılda matematik üzerine yazılmış en iyi İtalyanca kitaplardan birkaçının yazarıdır. Borgi'nin kitapları arasında 1483'te yazdığı Latince: Addiones in quibus etiam sunt replicae Mathei Boringii; 1484'te aritmetik üzerine yazdığı bir kitap olan Arithmetica; ve Il Libro de Abacho de Arithmetica e De Arte Mathematiche bulunmaktadır. Son kitap o kadar başarılı oldu ki 17 baskı yaptı.