İçeriğe atla

Tek ve çift fonksiyonlar

Matematikte, tek fonksiyon ve çift fonksiyon, aralarında simetri ilişki bulunan ve toplamaya göre tersleri olan fonksiyonlardır. Matematiksel analizin birçok alanında, özellikle kuvvet serisi ve Fourier serisinde sıkça kullanılır. Kuvvet fonksiyonunun eş kuvvetlerine göre adlandırılır ve şu şartı şağlar: Eğer n çift tam sayı ise, f(x) = xn, çift fonksiyon; n tek tam sayı ise, fonksiyon tek fonksiyondur.

Tanım ve örnekler

Matematikte çiftlik ve teklik kavramları yalnızca, tanım ve değer kümelerinin her ikisinin de toplamaya göre tersleri olan fonksiyonlar için tanımlanır. Buna, abelian grup, tüm halkalar, tüm alanlar ve tüm vektör uzayları dahildir. Örneğin; bir reel değişkenin reel değerli fonksiyonu ve bir vektör değişkeninin karmaşık değerli fonksiyonu çift veya tek olabilir.

Çift fonksiyon

ƒ(x) = x2, bir çift fonksiyondur.

f(x), bir reel değişkenin reel değerli fonksiyonu olsun. Eğer aşağıdaki eşitlik, f tanım kümesindeki tüm x ve -x ler için sağlanıyorsa f, çifttir :

Geometriksel olarak ifade etmek gerekirse, bir çift fonksiyonun grafiği, y eksenine göre simetriktir. Yani y eksenine göre yansıtıldıktan sonra bile grafiği değişmez.

Çift fonksiyonlara örnek, |x|, x2, x4, cos(x) ve cosh(x). Mutlak degerli ifadelerin tamamı çift fonksiyondur.

Tek fonksiyon

ƒ(x) = x3, bir tek fonksiyondur.

f(x), bir reel değişkenin reel değerli fonksiyonu olsun. Eğer aşağıdaki eşitlik, f tanım kümesindeki tüm x ve -x ler için sağlanıyorsa f, tektir :

veya

Geometriksel olarak ifade etmek gerekirse, bir tek fonksiyonun grafiği, orijine göre simetriktir Yani orijine göre 180 derece döndürüldükten sonra bile grafiği değişmez.

Tek fonksiyonlara örnek; x, x3, sin(x), sinh(x) ve erf(x).

Bazı durumları

Tek veya çift fonksiyon, sürekli olsa bile diferansiyellenebilir anlamına gelmez. Örneğin her yerde ayrık fonksiyon çifttir. Fakat hiçbir yerde sürekli değildir. Çiftlik durumu her iki alandada farklı incelenir.

Temel özellikler

  • Tanım kümesi tüm reel sayılar için hem çift hem de tek olan fonksiyon sabit fonksiyondur ve aynı zamanda sıfırdır. (örneğin tüm x ler için, f(x) = 0).
  • İki çift fonksiyonun toplamı çifttir. Bir çift fonksiyonun bir sabit ile çarpımı çifttir.
  • İki tek fonksiyonun toplamı tektir. Bir tek fonksiyonun bir sabit ile çarpımı tektir.
  • İki tek fonksiyonun farkı tektir.
  • İki çift fonksiyonun farkı çifttir.
  • İki çift fonksiyonun çarpımı çift fonksiyondur.
  • İki tek fonksiyonun çarpımı çift fonksiyondur.
  • Çift fonksiyon ile tek fonksiyonun çarpımı tek fonksiyondur.
  • İki çift fonksiyonun bölümü çift fonksiyondur.
  • İki tek fonksiyonun bölümü, çift fonksiyondur.
  • Çift fonksiyon ile tek fonksiyonun bölümü tek fonksiyondur.
  • Çift fonksiyonun türevi tektir.
  • Tek fonksiyonun türevi çifttir.
  • İki çift fonksiyonun bileşkesi çifttir.
  • İki tek fonksiyonun bileşkesi tektir.
  • Çift fonksiyon ile tek fonksiyonun bileşkesi çifttir.
  • Ya tek ya da çift fonksiyon ile çift fonksiyonun bileşkesi çifttir (fakat tersi geçerli değildir).
  • Tek fonksiyonunun, −A dan +A ya integrali sıfırdır. (burada A, sonludur ve fonksiyonun −A danA ya, dikey asimptotu yoktur).
  • Çift fonksiyonun −A dan +A ya integrali, 0'dan +A ya iki kez integraline eşittir. (burada A, sonludur ve fonksiyonun −A dan A ya dikey asimptotu yoktur.) A sonsuz olduğunda, ancak ve ancak integral yakınsıyorsa bu doğrudur.

Tek ve çift fonksiyonların toplamı

  • Her fonksiyon, çift ve tek fonksiyonu toplamı ile ifade edilebilir. İspat:

, tüm reel sayılarda tanımlı herhangi bir fonksiyon olsun. Bunu, şöyle de sembolize edebiliriz:

.

Tekrar şöyle yazılabilir: .

, ve , olsun.

Burada, şu eşitlik elde edilir: .

Şimdi, , çifttir. .

, tektir. . Q.E.D.

  • Çift ile tek fonksiyonun toplamı, fonksiyonlardan biri tanım kümesi üzerinde verilen sıfıra eşit olmadığı müddetçe, ne çifttir ne de tektir.

Seriler

  • Çift fonksiyonun Maclaurin serisinde yalnızca çift kuvvetler bulunur.
  • Tek fonksiyonun Maclaurin serisinde yalnızca tek kuvvetler bulunur.
  • Periyodik çift fonksiyonun Fourier serisinde yalnızca kosinüs terimi bulunur.
  • Periyodik tek fonksiyonun Fourier serisinde yalnızca sinüs terimi bulunur.

Cebirsel yapı

  • Çift fonksiyonun herhangi bir doğrusal kombinasyonu çifttir ve çift fonksiyonlar reel sayılar üzerindeki vektör uzayında bulunur. Benzer şekilde tek fonksiyonun herhangi bir doğrusal kombinasyonu tektir ve tek fonksiyonlar da reel sayılar üzerinde vektör uzayında bulunur. Tüm reel değerli fonksiyonların vektör uzayı, tek ve çift fonksiyonların alt uzaylarının doğrudan toplamıdır. Başka bir ifade ile her f(x) fonksiyonu, çift fonksiyon ve tek fonksiyonun toplamı olarak eşsiz biçinde yazılabilir:
burada
çifttir ve
tektir. Örneğin; eğer f üstel ise, fe, cosh vefo  sinh olur.

Ayrıca bakınız

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Türev</span> Fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir.

Matematikte türev, bir fonksiyonun tanımlı olduğu herhangi bir noktada değişim yönünü veya hızını veren temel bir kavramdır. Tek değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesinin belli bir noktasında türevi, fonksiyonun grafiğine bu noktada karşılık gelen değerde çizilen teğet doğrunun eğimidir. Teğet doğru, tanım kümesinin bu noktasında fonksiyonun en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Bu nedenle türev genellikle anlık değişim oranı ya da daha açık bir ifadeyle, bağımlı değişkendeki anlık değişimin bağımsız değişkendeki anlık değişime oranı olarak tanımlanır. Bir fonksiyonun türevini teorik olarak bulmaya türev alma denilir. Eğer bir fonksiyonun tanım kümesindeki her değerinde hesaplanan türev değerlerini veren başka bir fonksiyon varsa, bu fonksiyona eldeki fonksiyonun türevi denir.

<span class="mw-page-title-main">Türev alma kuralları</span> Vikimedya liste maddesi

Türev, matematikteki ve özellikle diferansiyeldeki temel kavramlardan biridir. Aşağıda temel türev alma kuralları ve bazı fonksiyonların türev kuralları yer almaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Taylor serisi</span>

Taylor serisi matematikte, bir fonksiyonun, o fonksiyonun terimlerinin tek bir noktadaki türev değerlerinden hesaplanan sonsuz toplamı şeklinde yazılması şeklindeki gösterimi/açılımıdır. Adını İngiliz matematikçi Brook Taylor'dan almıştır. Eğer seri sıfır merkezli ise, Taylor serisi daha basit bir biçime girer ve bu özel seriye İskoç matematikçi Colin Maclaurin'e istinaden Maclaurin serisi denir. Bir serinin terimlerinden sonlu bir sayı kadarını kullanmak, bu seriyi bir fonksiyona yakınsamak için genel bir yöntemdir. Taylor serisi, Taylor polinomunun limiti olarak da görülebilir.

<span class="mw-page-title-main">Dalga fonksiyonu</span>

Kuantum fiziğinde dalga fonksiyonu izole bir kuantum sistemindeki kuantum durumunu betimler. Dalga fonksiyonu karmaşık değerli bir olasılık genliğidir ve sistem üzerindeki olası ölçümlerin olasılıklarının bulunmasını sağlar. Dalga fonksiyonu için en sık kullanılan sembol Yunan psi harfidir ψ ve Ψ.

Fourier dönüşümü, fizik, mühendislik ve matematikte, bir fonksiyonu, içerdiği frekansların belirtildiği bir biçime dönüştüren bir integral dönüşümüdür. Dönüşümün çıktısı, frekansa bağlı karmaşık değerli bir fonksiyondur. "Fourier dönüşümü" terimi, hem bu karmaşık değerli fonksiyon için hem de buna karşılık gelen matematiksel operasyon için kullanılmaktadır. Bu ayrımın netleştirilmesi gerektiğinde, Fourier dönüşümü bazen orijinal fonksiyonun frekans uzayında temsili olarak adlandırılır. Fourier dönüşümü, bir müzik akorunun sesini, onu oluşturan tonlara ayrıştırmaya benzer.

<span class="mw-page-title-main">İş (fizik)</span>

Fizikte, bir kuvvet bir cisim üzerine etki ettiğinde ve kuvvetin uygulama yönünde konum değişikliği olduğunda iş yaptığı söylenir. Örneğin, bir valizi yerden kaldırdığınızda, valiz üzerine yapılan iş kaldırıldığı yükseklik süresince ağırlığını kaldırmak için aldığı kuvvettir.

<span class="mw-page-title-main">Kalkülüs</span>

Başlangıçta sonsuz küçük hesap veya "sonsuz küçüklerin hesabı" olarak adlandırılan kalkülüs, geometrinin şekillerle çalışması ve cebirin aritmetik işlemlerin genellemelerinin incelenmesi gibi, kalkülüs sürekli değişimin matematiksel çalışmasıdır.

Rassal değişken kavramının geliştirilmesi ile, sezgi yoluyla anlaşılan şans kavramı, soyutlaştırarak teorik matematik analiz alanına sokulmuş ve bu geliştirilen matematik kavram ile olasılık kuramı ve matematiksel istatistiğin temeli kurulmuştur.

<span class="mw-page-title-main">Karmaşık analiz</span>

Karmaşık analiz ya da başka bir deyişle kompleks analiz, bir karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır. Bir değişkenli karmaşık analize ya da çok değişkenli karmaşık analizle beraber tümüne karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi de denilir.

<span class="mw-page-title-main">Laplace denklemi</span>

Matematikte Laplace denklemi, özellikleri ilk defa Pierre-Simon Laplace tarafından çalışılmış bir kısmi diferansiyel denklemdir. Laplace denkleminin çözümleri, elektromanyetizma, astronomi ve akışkanlar dinamiği gibi birçok bilim alanında önemlidir çünkü çözümler bilhassa elektrik ve yerçekim potansiyeli ile akışkan potansiyelinin davranışını açıklar. Laplace denkleminin çözümlerinin genel teorisi aynı zamanda potansiyel teorisi olarak da bilinmektedir.

<span class="mw-page-title-main">Harmonik fonksiyon</span>

Matematiğin matematiksel fizik alanında ve rassal süreçler teorisinde bir harmonik fonksiyon, Rn'nin U gibi açık bir kümesi üzerinde f : UR şeklinde tanımlı, Laplace denklemini, yani

<span class="mw-page-title-main">Laurent serisi</span>

Matematikte karmaşık bir fonksiyonun Laurent serisi bu fonksiyonun negatif dereceli terimler de içeren kuvvet serisi temsilidir. Karmaşık fonksiyonların Taylor serileri açılımının mümkün olmadığı durumlarda bu fonksiyonları açıklamak için de kullanılabilir. Laurent serisi ilk defa 1843'te Pierre Alphonse Laurent tarafından yayınlanmış ve bu matematikçinin adını almıştır. Karl Weierstrass 1841'de bu seriyi bulmuş olabilir ancak o zamanda ilk yayınlayan olamamıştır.

<span class="mw-page-title-main">Çizgi integrali</span>

Matematikte bir çizgi integrali, integrali alınan fonksiyonun bir eğri boyunca değerlendirildiği integraldir. Çeşitli farklı çizgi integralleri kullanılmaktadır. Kapalı eğrinin kullanıldığı durumlarda integrale kontür integrali denildiği de olmaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Fourier serisi</span>

Matematikte, Fourier serileri bir periyodik fonksiyonu basit dalgalı fonksiyonların toplamına çevirir.

<span class="mw-page-title-main">Kuvvet serisi</span>

Matematikte kuvvet serisi

<span class="mw-page-title-main">Kök (matematik)</span>

Matematikte gerçel, karmaşık veya daha genel bir anlamda vektör değerli bir fonksiyonun kökü, fonksiyonun tanım kümesinde bulunan ve fonksiyonun 0 değerini aldığı noktalardır. Yani, eğer bir V kümesinden bir W vektör uzayına tanımlı bir fonksiyonu

<span class="mw-page-title-main">Hilbert uzayı</span>

Matematikte Hilbert uzayı, sonlu boyutlu Öklit uzayında uygulanabilen lineer cebir yöntemlerinin genelleştirilebildiği ve sonsuz boyutlu da olabilen bir vektör uzayıdır. Daha kesin olarak, bir Hilbert uzayı, uzayın tam metrik uzay olmasını sağlayan bir uzaklık fonksiyonu üreten bir iç çarpımla donatılmış bir vektör uzayıdır. Bir Hilbert uzayı, bir Banach uzayının özel bir durumudur. Matematik, fizik ve mühendislikte sıkça kullanılmaktadır. Kuantum mekaniğiyle uyumludur. Adını David Hilbert'ten almaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Gauss fonksiyonu</span>

Matematikte Gauss fonksiyonu, bir fonksiyon biçimidir ve şöyle ifade edilir:

Matematik'te Lp uzayı, sonlu boyutlu vektör uzayı için p-norm'un doğal bir genelleme kullanarak tanımlı fonksiyon uzayı'dır.Bazen Lebesque uzayı denir.İlk Frigyes Riesz tarafından Bourbaki grubu Bourbaki 1987 olarak tanıtılmasına rağmen,Henri Lebesgue Dunford & Schwartz 1958, III.3, adına ithaf edilmiştir. fonksiyonal analiz'de Banach uzayı'nın ve topolojik vektör uzaylarının önemli bir sınıfını Lp uzayı formu oluşturur.Lebesgue uzayının fizik, istatistik, finans, mühendislik ve diğer disiplinlerde uygulamaları var.

<span class="mw-page-title-main">Vektör-değerli fonksiyon</span>

Vektör değerli fonksiyon ya da vektör fonksiyonu, bir ya da daha fazla değişkeni sonlu ya da sonsuz boyutlu vektör olan fonksiyondur. Bir vektör fonksiyonunun girdisi skaler ya da vektör olabilir. Fonksiyonun tanım kümesi ve değer kümesi farklı cinste olabilir.