Taylor teoremi

Kalkülüste Taylor teoremi, türevi tanımlı bir işleve bir nokta çevresinde, katsayıları yalnızca işlevin o noktadaki türevine bağlı olan polinomlar cinsinden bir yaklaştırma dizisi üreten bir sonuçtur. Teorem, yaklaştırma hesaplamalarındaki hata payına ilişkin kesin sonuçlar da verebilmektedir. Brook Taylor adlı matematikçinin 1712 yılında yaptığı çalışmalarından^[1] ötürü ismi bu şekilde anılan teoremin aslında bundan 41 yıl önce (1671 yılında) James Gregory tarafından bulunduğu bilinmektedir.

Taylor teoremine göre k defa türevlenebilir bir fonksiyona, verilen bir noktada yakınsayan k derece polinoma Taylor polinomu denir. Birinci derece Taylor polinomu doğrusal yaklaşım (İngilizce: linear approximation) olarak, ikinci derece Taylor polinomuysa karesel yaklaşım (İngilizce: quadratic approximation) olarak da bilinir.^[2]

Eğer f(x) gerçel fonksiyonu x = a noktasında türevlenebilir ise, bu noktada doğrusal yaklaşımı var demektir. Dolayısıyla, aşağıdaki gibi bir h₁(x) fonksiyonu vardır:

${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+h_{1}(x)(x-a),\quad \lim _{x\to a}h_{1}(x)=0.}$

Burada

${\displaystyle P_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)}$

terimi, f(x)'in x = a noktasındaki doğrusal yaklaşımıdır ve grafiği f(x)'e teğettir. Yaklaşım hatası aşağıdaki gibi hesaplanır:

${\displaystyle R_{1}(x)=f(x)-P_{1}(x)=h_{1}(x)(x-a).}$

x değişkeni a değerine yaklaştıkça, bu hata ${\displaystyle f'(a)(x{-}a)}$'ten daha hızlı şekilde sıfıra yaklaşır, dolayısıyla ${\displaystyle f(x)\approx P_{1}(x)}$ yaklaşımı kullanışlıdır.

Daha iyi bir tahmin bulmak için f(x)'e bir karesel polinom yaklaştırabiliriz:

${\displaystyle P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}.}$

f(x)'in x = a'da yalnız bir türevini eşleştirmek yerine, hem birinci hem de ikinci türevlerini bu polinomla temsil edebiliriz.

Taylor teoremine göre, karesel yaklaşım x=a'nın yeterince küçük bir mahalinde doğrusal yaklaşımdan daha isabetli bir tahmin sunar. Aşağıdaki yaklaşıma göre

${\displaystyle f(x)=P_{2}(x)+h_{2}(x)(x-a)^{2},\quad \lim _{x\to a}h_{2}(x)=0.}$

Hata değeri

${\displaystyle R_{2}(x)=f(x)-P_{2}(x)=h_{2}(x)(x-a)^{2},}$

x değişkeni a değerine yaklaştıkça, ${\displaystyle (x-a)^{2}}$'den daha hızlı şekilde sıfıra yaklaşır.

Bu şekilde daha üst dereceden polinomlar kullanarak daha doğru bir yaklaşım elde edilebilir. Bunun sebebi, yaklaşım polinomunun verilen noktada f'nin daha üst dereceden türevleriyle eşleşmesidir.

Genel olarak, x a'ya yaklaşırken, k dereceden bir yaklaşım polinomunun hatasının sıfıra yaklaşma hızı, ${\displaystyle (x-a)^{k}}$'nin yaklaşma hızından daha fazladır. Ancak, sonsuz derecede türevlenebilir olsa dahi isabetli bir yaklaşımı bulunmayan fonksiyonlar da vardır. Bu fonksiyonların x = a'da analitik olmadığı söylenir. Yani fonksiyon bu nokta ve çevresinde türevleriyle belirlenemez.

Taylor teoreminin en basit halinin açık ifadesi şöyledir:^[3][4][5]

k ≥ 1 bir tam sayı ve f : R → R a ∈ R noktasında k defa türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Öyleyse aşağıdaki tanıma sahip bir h_k : R → R fonksiyonu vardır:

${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+h_{k}(x)(x-a)^{k},}$

ve

${\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.}$

Buna kalanın Peano biçimi denir.

Taylor teoremindeki polinom f fonksiyonunun a noktasındaki k dereceden Taylor polinomudur:

${\displaystyle P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}$

Taylor polinomu biricik "asimtotik en uygun" polinomdur. Yani, aşağıdaki gibi h_k : R → R fonksiyonu ve k dereceden polinom p varsa

${\displaystyle f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},\quad \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0,}$

o halde p = P_k'dir. Taylor teoremi kalan terim'in asimptotik davranışını ifade eder:

${\displaystyle R_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x),}$

Bu terim, f bir Taylor polinomuyla tahminlendiğindeki yaklaşım hatasıdır.

Kalkülüs
Temel Kalkülüsün temel teoremi Limit Süreklilik Rolle teoremi Ortalama değer teoremi Ters fonksiyon teoremi
Türev Çarpma kuralı Bölme kuralı Zincir kuralı Örtülü türev Taylor teoremi Bağımlı oranlar Türev listesi L'Hopital kuralı Diferansiyel denklemler
İntegral İntegral tablosu Has olmayan integral İntegralle hacim hesabı İntegral Alma Yöntemleri: Kısmi İntegrasyon değişken değiştirme
Çok değişkenli Kısmi türev Çokkatlı integral Çizgi integrali Yüzey integrali Hacim integrali
Vektör hesabı Matris Tensör Jacobi Hesse Gradyan

• Taylor dizisi
• Doğrusal yaklaştırma
• Üs dizisi
• Laurent dizisi – Taylor dizisinin tekil noktalara sahip işlevlere uyarlanmış biçimi

• Taylor Dizisinin Kosinüs Yaklaştırması 4 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Trigonometrik Taylor Açılımı10 Kasım 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. etkileşimli görsel sunum
• Taylor Dizisi, Yeniden5 Haziran 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Bütüncül Sayısal Yöntemler Enstitüsü6 Eylül 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.