Tam metrik uzay

Matematiksel analizde, M metrik uzay olmak üzere, elemanları M 'de olan her Cauchy dizisinin yine M'de bir limiti varsa,veya alternatif olarak, M'deki her Cauchy dizisi yine M'de yakınsaksa M metrik uzayına tam (veya Cauchy uzayı) denir.

Sezgisel olarak, bir uzay içinde veya sınırlarında eksik bir nokta yoksa tamdır. Örneğin, rasyonel sayılar kümesi tam değildir, çünkü her ne kadar ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 'ye yakınsayan rasyonel sayılardan oluşan bir Cauchy dizisi oluşturulabilse de bu nokta uzayda eksiktir (aşağıdaki diğer örneklere bakınız). Aşağıda açıklandığı gibi verilen bir uzayı tamlaştırılmak için "tüm delikleri doldurmak" her zaman mümkündür.

Rasyonel sayılar uzayı ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$, farkın mutlak değeri olarak tanımlanan standart metrik ile tam değildir. Örneğin, ${\textstyle x_{1}=1}$ ve ${\textstyle x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}}$ şeklinde verilen dizi göz önüne alınsın. Bu rasyonel sayılardan oluşan bir Cauchy dizisidir, ancak herhangi bir rasyonel bir limite yakınsamaz: Eğer bu dizinin limiti var ve limit ${\displaystyle x}$ ise, o zaman ${\textstyle x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}}$ eşitliğinden ${\textstyle x^{2}=2}$ bulunur ki hiçbir rasyonel sayı bu özelliği taşımaz. Bununla birlikte, aynı dizi gerçek sayıların bir dizisi olarak kabul edilirse ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ irrasyonel sayısına yakınsar.

Yine mutlak değer metriğiyle ${\displaystyle (0,1)}$ açık aralığı da tam değildir.${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$ ile tanımlanan dizi Cauchy dizisidir, fakat verilen uzayda bir limiti yoktur. Ancak ${\displaystyle [0,1]}$ kapalı aralığı tamdır; örneğin, verilen dizinin bu aralıkta bir limiti vardır ve bu limit sıfırdır.

Reel sayılar uzayı ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ ve karmaşık sayılar uzayı ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$(mutlak değer yardımıyla oluşturulan metrikle) tamdır ve bu nedenle Öklit uzaklık metriği ile verilen Öklid uzayı ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ de tamdır. Buna karşılık, sonsuz boyutlu normlu vektör uzayları tam olabilir de olmayabilir de; tam olanları Banach uzaylarıdır. Kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli reel değerli fonksiyonların uzayı ${\displaystyle C[a,b]}$ bir Banach uzayıdır ve dolayısıyla supremum normuna göre tam bir metrik uzaydır. Ancak supremum normu ${\displaystyle (a,b)}$ aralığındaki sürekli fonksiyonlar uzayı ${\displaystyle C(a,b)}$ üzerinde bir norm oluşturmaz, çünkü sınırsız fonksiyonlar içerir. Bunun yerine, kompakt yakınsamanın topolojisi ile, ${\displaystyle C(a,b)}$ uzayına bir Fréchet uzayı yapısı verilebilir: bu uzay, üzerindeki topoloji öteleme dönüşümü altında değişmeyen tam bir metrik ile oluşturulabilen lokal konveks bir topolojik vektör uzayıdır.

P -sel sayıların uzayı ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{p}}$, herhangi bir ${\displaystyle p}$ asal sayısı için tamdır. Bu uzay, ${\displaystyle p}$-sel metriğiyle ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$'yu, tıpkı ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$'nin ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$'yu normal metrikle tamamladığı gibi tamamlar.

${\displaystyle S}$ keyfi bir küme olmak üzere, ${\displaystyle S}$ kümesi üzerindeki tüm dizilerin kümesi ${\displaystyle S^{N}}$ tam metrik uzaydır. Gerçekten ${\displaystyle (x_{n})}$ ve ${\displaystyle (y_{n})}$ dizileri arasındaki uzaklığı; ${\displaystyle x_{N}}$ ile ${\displaystyle y_{N}}$ yi farklı yapan en küçük indis ${\displaystyle N}$ olmak üzere 1/N, böyle bir indis yoksa ${\displaystyle 0}$ olarak tanımlanırsa görülebilir. Bu uzay, ${\displaystyle S}$ ayrık uzayının sayılabilir sayıda kopyasının çarpımı ile homeomorftur.

X metrik uzayının tam olması için gerek ve yeter koşul, X’in boş olmayan kapalı alt kümelerinin, çapları 0'a yakınsayan, her azalan dizisinin arakesitinin boş kümeden farklı olmasıdır: F_n kapalı ve boş olmayan küme, her n için F_n+1 ⊆ F_n ve diam(F_n) → 0 ise o zaman tüm F_n kümelerinde ortak bir x ∈ X noktası vardır.

Her kompakt metrik uzay tamdır, ancak her tam uzay kompakt olmayabilir. Aslında, bir metrik uzayın kompakt olması için gerek ve yeter koşul tam ve tamamen sınırlı olmasıdır. Bu ifade, ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ nin herhangi bir kapalı ve sınırlı ${\displaystyle S}$ alt uzayı kompakt (dolayısıyla tam) olduğunu ifade eden Heine Borel teoreminin bir genellemesidir.^[1]

(X, d) tam bir metrik uzay olsun. A ⊆ X kapalı ise, A aynı zamanda tamdır.^[2] (X, d) metrik bir uzay olsun. A ⊆ X tam bir alt uzaysa, A kapalıdır.^[3]

X bir küme ve M bir tam metrik uzay olmak üzere, ${\displaystyle X}$'ten ${\displaystyle M}$'ye giden tüm sınırlı <i id="mwmg">f</i> fonksiyonların kümesi ${\displaystyle B(X,M)}$ bir tam metrik uzaydır. Burada ${\displaystyle B(X,M)}$'dek uzaklık fonksiyonunu supremum normu ile M'deki metrik cinsinden şöyledir:

${\displaystyle d(f,g)\equiv \sup \left\{d[f(x),g(x)]:x\in X\right\}.}$

X bir topolojik uzay ve M bir tam metrik uzay ise, '${\displaystyle X}$''ten '${\displaystyle M}$ye sürekli ve sınırlı f fonksiyonların kümesi ${\displaystyle C_{b}(X,M)}$, ${\displaystyle B(X,M)}$'nin kapalı bir alt uzayıdır ve böylece tamdır.

Baire kategori teoremi, her tam metrik uzayın bir Baire uzayı olduğunu ifade eder. Yani, bu uzayın hiçbir yerde yoğun olmayan alt kümeleri sayılabilir birleşiminin içi boştur.

Banach sabit nokta teoremi, tam metrik uzaydaki bir daraltan(büzülme) dönüşümün sadece ve sadece bir tek sabit noktaya sahip olduğunu belirtir. Bu sabit nokta teoremi genellikle Banach uzayları gibi tam metrik uzaylarda ters fonksiyon teoremini kanıtlamak için kullanılır.

Bir metrik uzayın genişleme sabiti, tüm ${\displaystyle \textstyle \mu }$ sabitlerin infimumudur öyle ki ${\displaystyle \textstyle \left\{{\overline {B}}(x_{\alpha },\,r_{\alpha })\right\}}$ ailesi ikişerli olarak kesiştiğinde,

${\displaystyle \bigcap _{\alpha }{\overline {B}}(x_{\alpha },\mu r_{\alpha })}$

kesişimi boştan farklı olur. Bir metrik uzay ancak ve ancak genişleme sabiti 2'den küçükse tamdır.^[4]

Herhangi bir ${\displaystyle M}$ metrik uzayı için, ${\displaystyle M}$'yi yoğun alt uzay olarak ihtiva eden bir ${\displaystyle M^{\prime }}$(veya ${\displaystyle {\overline {M}}}$ ile de gösterilir) tam metrik uzay elde edilebilir. Bu uzay aşağıdaki evrensel özelliğe sahiptir: N herhangi bir tam metrik alan ve ön herhangi biri olup olmadığını düzgün sürekli fonksiyon N M, daha sonra vardır benzersiz f uzanan N '''M'' düzgün sürekli fonksiyon f. M boşluğu, bu özellik tarafından izometriye kadar belirlenir (izometrik olarak M içeren tüm tam metrik uzaylar arasında) ve M'nin tamamlanması olarak adlandırılır.

• Kelley, John L. (1975). General Topology (İngilizce). Springer. ISBN 0-387-90125-6. 
• Kreyszig, Erwin, Introductory functional analysis with applications (Wiley, New York, 1978). 0-471-03729-X
• Lang, Serge, "Real and Functional Analysis" 0-387-94001-4
• Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997). Introduction to functional analysis. Ramanujan, M.S. (trans.). Oxford: Clarendon Press; New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-851485-9.