Taksi Sayılar

Matematikte n. taksi sayılar, Ta(n) olarak gösterilir, n farklı şekilde iki farklı pozitif tam sayının toplamı şeklinde gösterilen sayılardır. İlk olarak 1657 yılında Bernard Frénicle de Bessy tarafından ortaya atılmış, 20. yüzyılda Srinivasa Ramanujan ile ilgili bir hikâye ile meşhur olmuştur. 1938 yılında G. H. Hardy ve E. M. Wright bütün n tamsayıları için geçerli olduğunu ıspatlamışlar, bu ıspat kolayca bu sayıları üretecek formule dönüştürülmüştür. Bu yöntemle üretilen sayıların en küçük değer olup olmadıkları kesin olmadığından gercek Ta(n) değeri olup olmadıklarını kesin olarak söylemek mümkün değildir.

Sadece pozitif sayılarla kısıtlanmış olmasının sebebi n değerinin negatif sayılar kullanılarak farklı şekillerde gösterilmesine neden olunmamasıdır. Taksi sayılar konsept olarak çok kısıtlayıcı olmayan bir yapıya işaret etmesi açısından kullanılmaktadır. Bu açılan ikiden fazla sayının toplamına da genelleştirilmiş taksi numarası denilmektedir.

Bilinen Taksi Numaraları

Şu ana kadar bilinen 6 taksi sayısı vardır.

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=2&=1^{3}+1^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (2)=1729&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (3)=87539319&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (4)=6963472309248&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&=10200^{3}+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (5)=48988659276962496&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (6)=24153319581254312065344&=582162^{3}+28906206^{3}\\&=3064173^{3}+28894803^{3}\\&=8519281^{3}+28657487^{3}\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\\&=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}

Bulunuş Hikâyesi

Aynı zamanda Hardy–Ramanujan sayısı olarak da bilinen Ta(2) ilk olarak Bernard Frénicle de Bessy tarafından 1657 yılında yayınlandı ancak G. H. Hardy ve Srinivasa Ramanujan tarafından ölümsüzleştirildi. Hardy hikâyeyi şöyle anlatır [1]:

“	Puntey'de hasta yatarken bir keresinde onu ziyarete gittiğimi hatırlarım. '1729' plakalı bir taksi kullanmışım, sayının sıradan bir sayı olduğunu söyledim ve bunun kötü bir işaret olup olmadığına dikkat çektim. "Hayır" diye karşılık verdi, "çok enteresan bir sayı; bu iki farklı şekilde gösterilebilen iki küpler toplamına karşılık gelen en küçük sayı"	„

Diğer taksi sayıları daha sonraları bilgisayarlar tarafından hesaplanmıştır.John Leech Ta(3) ü 1957'de bulmuştur. E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel Ta(4) ü 1991'de buldu. A Dardis'in 1994'te bulduğu Ta(5) 1999'da doğrulandı.^[1]^[2] Calude et al. tarafından %99 ihtimalle bulunduğu ile ilgili makale üzerine Uwe Hollerbach tarafından NMBRTHRY mail listesinde 9.3.208'de doğrulandı.^[3] Christian Boyer Ta(7) ve Ta(12) arası sayılar için üst sınır değerleri 2006'da duyurdu.^[4]

Küp Kısıtlı Taksi Sayılar

Daha kısıtlanmış taksi problemi aynı zamanda taksi sayıların küpsüz olmasını gerektirir, yani taksi sayı 1³ dışında hiçbir sayının kübüne tam olarak bölünemez. Bu durumda T küpsiz taksi sayısı T = x³ + y³, olarak ifade edildiğinde x ve y sayıları tüm (x, y) değerleri için birbirine göre asaldır. Yukarıda listelenmiş olan taksi sayıları arasında sadece Ta(1) ve Ta(2) küp kıstılı taksi sayıdırlar. Üç değerine sahip en küçük küpsiz taksi sayısı Paul Vojta tarafından 1981'de yüksek lisans öğrencisiyken bulunmuştur. Bu sayı:

15170835645

= 517³ + 2468³

= 709³ + 2456³

= 1733³ + 2152³

Dört değerine sahip en küçük küpli taksi sayısı Stuart Gascoigne ve bağımsız olarak Duncan Moore tarafından 2003'te bulunmuştur:

1801049058342701083

= 92227³ + 1216500³

= 136635³ + 1216102³

= 341995³ + 1207602³

= 600259³ + 1165884³

.

Notlar

^ Numbers Count column of Personal Computer World, page 610, Feb 1995
^ ""The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496" by David W. Wilson". 15 Şubat 2005 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 15 Şubat 2005.
^ Ta(6) C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), pp. 1196–1203
^ ""'New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi Numbers" Christian Boyer, France, 2006–2008". 21 Aralık 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 8 Ocak 2014.

Kaynakça

G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 3rd ed., Oxford University Press, London & NY, 1954, Thm. 412.
J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations, Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 778–780, 1957.
E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equations = x³ + y³ = z³ + w³ = u³ + v³ = m³ + n³, Bull. Inst. Math. Appl., 27(1991) 155–157; MR 92i:11134, online2 Mart 2005 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..
Numbers Count column, Personal Computer World, November 1989.
David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496, Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), online22 Nisan 2004 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. (Wilson was unaware of J. A. Dardis' prior discovery of Ta(5) in 1994 when he wrote this.)
D. J. Bernstein, Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d), Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389–394.
C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196–1203