Topoloji, matematiğin ana dallarından biridir. Yunancada yer, yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos sözcüklerinden türetilmiştir. Topoloji biliminin kuruluş aşamalarında yani 19. yüzyılın ortalarında, bu sözcük yerine aynı dalı ifade eden Latince analysis situs ür.
Grup teorisi veya Grup kuramı, simetrileri inceleyen matematik dalıdır. Simetri kuramı olarak da adlandırılabilir. Bir nesnenin simetrileri ile kast edilen, nesneye uygulandığında nesneye hiçbir etki olmamış gibi sonuç veren dönüşümlerdir. Her nesnenin en az bir simetrisi vardır: hiçbir şey yapmadan olduğu gibi bırakma dönüşümü. Bahsettiğimiz dönüşümlerin tersleri de vardır ve aradığımız özellikleri sağlarlar. Son olarak da dönüşümlerin art arda yapılması, birleşimli bir işlemdir. Bu üç koşula sırasıyla birim elemana sahip olma, elemenların tersi olma ve grup işleminin birleşmeli olması denir. Bu kavramların matematikte soyutlanması, üzerinde tersinebilir ve bileşme özelliğine sahip ikili bir işlemin tanımlı olduğu kümeler ile yapılır. Daha detaylı açıklamak gerekirse, grup nesnesi bir küme G ve onun üzerinde tanımlı bir 
işleminden oluşur. Bu operasyonun aşağıdaki şartları sağlaması gereklidir:
Topolojik uzaylar, matematiğin Topoloji dalının başlıca uğraş konularıdır. Bir X kümesi ve bu kümenin alt kümelerinin bir kısmını içeren ve aşağıdaki varsayımları sağlayan S kümesinden oluşurlar:
Yüzey, matematikte ve özellikle topolojide iki boyutlu çokkatlı. İki gerçel değişkenli ve gerçel değerli bir fonksiyonun üç boyutlu uzayda (R³) grafiği tipik yüzey örneğidir. Ayrıca Dünya yüzeyi, bir yumurtanın kabuğu, bir simit birer yüzeydir.
Sonsuz, eski Yunanca Lemniscate kelimesinden gelmektedir, çoğunlukla matematik ve fizikte herhangi bir sonu olmayan şeyleri ve sayıları tarif etmekte kullanılan soyut bir kavramdır.
Karmaşık analiz ya da başka bir deyişle kompleks analiz, bir karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır. Bir değişkenli karmaşık analize ya da çok değişkenli karmaşık analizle beraber tümüne karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi de denilir.
Gerçel analiz ya da bilinen diğer ismiyle reel analiz, matematiksel analizin bir dalıdır. Bu dal, gerçek sayılar ve bu sayılardan türetilen yapılarla ilgili temel kavramları ele alır. Ana konuları arasında diziler, seriler, limitler, süreklilik, türev, integral ve fonksiyon dizileri yer alır. Gerçek analizin incelenmesi, matematiğin diğer alanları için temel araçlar ve yöntemler sağlar.
Matematikte verilmiş bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu "girdi" değerlerinin oluşturduğu kümedir. Örneğin, kosinüsün tanım kümesi gerçel sayılar olurken karekök fonksiyonunun tanım kümesi 0 ve 0'dan büyük sayıların oluşturduğu negatif olmayan gerçel sayılar kümesidir. Fonksiyonun xy Kartezyen koordinat sistemindeki temsilinde, tanım kümesi x-ekseni (apsis) ile temsil edilir.
Topolojide tıkız-açık topoloji, bir topolojik uzaydan bir diğerine tüm sürekli gönderimlerin oluşturduğu küme üzerine konan bir topolojidir. Fonksiyonel analizde fonksiyon uzaylarına konan doğal bir topolojidir.
Matematikte deste, bir topolojik uzayın açık altkümelerine ilişkin yerel tanımlı verilerin sistematik olarak incelenmesini sağlayan bir araçtır.
Fonksiyonlar, sahip oldukları özelliklere göre sınıflandırılabilir.
Matematikte gerçel, karmaşık veya daha genel bir anlamda vektör değerli bir fonksiyonun kökü, fonksiyonun tanım kümesinde bulunan ve fonksiyonun 0 değerini aldığı noktalardır. Yani, eğer bir V kümesinden bir W vektör uzayına tanımlı bir fonksiyonu
Matematikte fonksiyon uzayı bir X kümesinden bir Y kümesine tanımlı fonksiyonların oluşturduğu kümeye verilen bir addır. Fonksiyonlar kümesi yerine fonksiyon uzayı denilmesinin nedeni matematiğin kendi içindeki uygulamalarında bu kümenin genellikle topolojik uzay veya vektör uzayı olarak ortaya çıkmasıdır.
Matematiğin vektör uzaylarıyla ve bu uzayların üzerinde tanımlı operatörlerle uğraşan bir alt dalı. Kökleri fonksiyon uzayları kuramının geliştirilmesine; hatta diferansiyel ve integral denklemlerinin çalışılmasına kadar gitmektedir. Özelde mesela Fourier dönüşümü gibi fonksiyon dönüşümlerinin çalışılmasında da kullanılmıştır. Fonksiyonel kelimesinin ilk kullanımı varyasyonlar hesabına kadar takip edilebilir. Ancak, genel anlamda kullanımı İtalyan matematikçi ve fizikçi Vito Volterra'ya atfedilmektedir. Yine de temeli büyük ölçüde Stefan Banach ve çevresindeki Polonyalı matematikçiler tarafından atılmış ve geliştirilmiştir. Çağdaş anlamda, fonksiyonel analiz bir topolojiye sahip vektör uzaylarının çalışılmasında, özellikle sonsuz boyutlu uzaylarda, gözükmektedir. Tanımdan yola çıkılarak fonksiyon analizinin sonlu boyutlu uzaylar kuramını da içerdiği düşünülebilir; ancak bu uzayları bir topolojisi olmadan inceleyen alan doğrusal cebirdir. Fonksiyonel analizin önemli bir işlevlerinden biri de ölçü, integral ve olasılık kuramı gibi genel kuramları sonsuz boyutlu uzaylara yaymaktır ki bu işlevin özelde adı sonsuz boyutlu analizdir.
Matematikte reel doğru veya reel sayı doğrusu, noktaları reel sayı olan bir doğrudur. Bu reel doğru, tüm R reel sayılarının kümesidir. Bu küme geometrik uzay olarak görülür ve bir boyutlu Öklid uzayı olarak adlandırılır. Bir vektör uzayı gibi düşünülebilinir.
Eşyapı ya da izomorfizma (ya da izomorfi), aynı kategoride(grupta) olan benzer iki matematiksel obje arasında bir gönderim olup matematiksel vücut tersi yapıda da muhafaza edilir. Aralarında bu şekilde eşyapı bulunan objelere eşyapısal ya da izomorf(ik) objeler denir. Örneğin iki küme arasında eşyapı, birebir, örten bir gönderimdir. Kümelerin üzerinde elemanlara sahip olma haricinde bir oluşum olmadığından, eşyapı gönderiminin koruyacağı başka bir yapı yoktur. Soyut cebirde iki grup arasında bir eşyapı, birebir, örten bir gönderimdir; dahası, iki gruptaki işleme saygı gösterir, bu iki işlemin birbirleriyle etkileşim halinde olmasını sağlar.
Tarih boyunca matematiğin konu çeşitliliği ve derinliği artmaktadır, matematiği kavrama, birçok konuyu matematiğin daha genel alanlarına göre sınıflandırma ve düzenleme için bir sistem gerektirir. Bir dizi farklı sınıflandırma şeması ortaya çıkmıştır ve bazı benzerlikleri paylaşsalar da, kısmen hizmet ettikleri farklı amaçlara bağlı olarak farklılıkları vardır. Ek olarak, matematik geliştirilmeye devam ettikçe, bu sınıflandırma şemaları da yeni oluşturulan alanları veya farklı alanlar arasında yeni keşfedilen bağlantıları dikkate alacak şekilde değişmelidir. Farklı alanlar arasındaki sınırı aşan, genellikle en aktif olan bazı konuların sınıflandırılması daha zor hale gelir.
Holomorf fonksiyonlar karmaşık analizin temel çalışma araçlarından biridir. Bu fonksiyonlar karmaşık düzlemin yani C'nin açık bir altkümesinde tanımlı, bu altkümedeki her noktada karmaşık anlamda türevli ve aldığı değerler yine C içinde olan fonksiyonlardır.
Matematiksel analizde, küme üzerindeki bir ölçü, bu kümenin her bir uygun alt kümesine bir sayı atamanın sistematik bir yoludur ve sezgisel olarak kümenin boyutu olarak yorumlanır. Bu anlamda ölçü, uzunluk, alan ve hacim kavramlarının bir genellemesidir. Özellikle önemli bir örnek, Öklid geometrisinin geleneksel uzunluğunu, alanını ve hacmini n-boyutlu Öklid uzayının Rn uygun alt kümelerine atayan bir Öklid uzayındaki Lebesgue ölçüsüdür. Örneğin, gerçek sayılardaki [0, 1] aralığının Lebesgue ölçüsü, kelimenin günlük anlamındaki uzunluğudur ve tam olarak 1'dir.
Matematikte, genel topoloji, topolojide kullanılan temel kümeler teorisi tanımları ve yapılarıyla ilgilenen topoloji dalıdır. Diferansiyel topoloji, geometrik topoloji ve cebirsel topoloji dahil diğer birçok topoloji dalının temelini oluşturur.