Türev alma kuralları

Kalkülüs
Temel Kalkülüsün temel teoremi Limit Süreklilik Rolle teoremi Ortalama değer teoremi Ters fonksiyon teoremi
Türev Çarpma kuralı Bölme kuralı Zincir kuralı Örtülü türev Taylor teoremi Bağımlı oranlar Türev listesi L'Hopital kuralı Diferansiyel denklemler
İntegral İntegral tablosu Has olmayan integral İntegralle hacim hesabı İntegral Alma Yöntemleri: Kısmi İntegrasyon değişken değiştirme
Çok değişkenli Kısmi türev Çokkatlı integral Çizgi integrali Yüzey integrali Hacim integrali
Vektör hesabı Matris Tensör Jacobi Hesse Gradyan

Türev, matematikteki ve özellikle diferansiyeldeki temel kavramlardan biridir. Aşağıda temel türev alma kuralları ve bazı fonksiyonların türev kuralları yer almaktadır.

Herhangi bir ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ için, eğer ${\displaystyle f(x)=c}$ ise, o zaman ${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=0}$ olur.

${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ olsun. O zaman, türevin tanımından yola çıkarak

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {(c)-(c)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}0\\&=0\end{aligned}}}$

elde edilir.

${\displaystyle f}$ ve ${\displaystyle g}$ iki fonksiyon, ${\displaystyle a}$ ve ${\displaystyle b}$ iki gerçel sayı olsun. O zaman, ${\displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)}$ fonksiyonunun ${\displaystyle x}$'e göre türevi

${\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).}$

Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır: $${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}$$ Türevin doğrusallığı şu özel halleri de verir:

• Sabitle çarpım kuralı

${\displaystyle \left({cf}\right)'=cf'}$

• Toplama kuralı

$${\displaystyle (f+g)'=f'+g'}$$

• Çıkarma kuralı

$${\displaystyle (f-g)'=f'-g'.}$$

${\displaystyle f}$ ve ${\displaystyle g}$ iki fonksiyon olsun. O zaman, ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$ fonksiyonunun ${\displaystyle x}$'e göre türevi

${\displaystyle h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)}$

şeklinde olmalıdır. Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır: $${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}=g{\frac {df}{dx}}+f{\frac {dg}{dx}}.}$$

${\displaystyle h(x)=f(g(x))}$ fonksiyonunun türevi şu şekilde verilir: $${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}$$ Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)=\left.{\frac {d}{dz}}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}$$ ve genelde şu şekilde kısaltılır: $${\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}$$

Eğer f fonksiyonunun ters fonksiyonu g ise; yani, ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ve ${\displaystyle f(g(y))=y}$ ise $${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}$$ Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır: $${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.}$$

${\displaystyle f(x)=x^{r}}$ ise her ${\displaystyle r\neq 0,}$ için

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}.}$

Eğer ${\displaystyle r=1}$ ise o zaman ${\displaystyle f(x)=x}$'tir ve ${\displaystyle f'(x)=1}$ olur. Kuvvet kuralını toplama ve sabit terimle çarpma kuralı ile birleştirerek polinomların türevi hesaplanabilir.

Eğer bir fonksiyon, başka bir fonksiyonun çarpmaya göre tersi ise; yani, ${\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}$ ile tanımlanmışşsa ve f sıfır değeri almıyorsa

${\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}}$ (f nin 0 olmadığı her yerde)

olur. Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:

${\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.}$

Çarpmaya göre tersin türevi böle kuralından ya da kuvvet luralı ve zincir kuralının peşpeşe kullanılmasında elde edilebilir.

f ve g iki fonksiyon olsun. O zaman, g nin 0 olmadığı her yerde

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}}$

olur. Bu kural, çarpma kuralı ve çarpmaya göre tersin türevi beraber kullanılarak gösterilebilir.

Kuvvet kuralı daha genel hale de uygulanabilir. Eğer ${\textstyle f(x)=x^{a}\!}$ ise, o zaman a 0 olmadığı ve x pozitif olduğu müddetçe,

${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$

olur. Bunun daha genel hali için f ve g iki fonksiyon olsun. O zaman,

${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }$

Bu halde, çarpmaya göre tersin türevi ${\textstyle g(x)=-1\!}$ alınarak bulunabilir.

${\displaystyle d/dx}$, fonksiyonun ${\displaystyle x}$'e göre türevinin alındığını gösterir.

${\displaystyle {d \over dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0}$

Eğer ${\textstyle c<0}$ olursa , o zaman karmaşık sayılar göz önüne alınmalıdır.

${\displaystyle {d \over dx}e^{ax}=ae^{ax}}$

${\displaystyle {d \over dx}\log _{c}x={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}$

Eğer ${\textstyle c<0}$ olursa , o zaman karmaşık sayılar göz önüne alınmalıdır.

${\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x}\qquad x>0}$

${\displaystyle {d \over dx}\ln |x|={1 \over x}\qquad x\neq 0}$

${\displaystyle {d \over dx}x^{x}=x^{x}(1+\ln x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{ eğer }}f(x)>0{\text{ ise ve}}{\frac {df}{dx}}{\text{ ve }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ varsa.}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ eğer }}f_{i<n}(x)>0{\text{ ve }}}$ ${\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ varsa. }}}$

Logaritmik türev bir fonksiyonun logaritmasının türevini ifade etmenin bir başka yoludur

${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }$ (f pozitif olduğu müddetçe).

Logaritma ile türev alma özellikle karmaşık fonksiyonlar için kullanılır. Logaritma ile türev alınırken ilk önce fonksiyon yazılır ve fonksiyonun doğal logaritması alınır. Sonra da iki tarafında türevi alınır. Son olarakta fonksiyonun türevi izole edilir. Örnek olarak ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$ fonksiyonunun logaritma ile türevini alalım:

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=f(x)g(x)\\ln(h(x))&=ln(f(x)g(x))\\ln(h(x))&=ln(f(x))+ln(g(x))\\{\frac {h'(x)}{h(x)}}&={\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\\h'(x)&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\\end{aligned}}}$

Türevin çarpma kuralını özel bir durumda, yani ${\displaystyle f(x)>0}$ ve ${\displaystyle g(x)>0}$ iken elde etmiş olduk.

Trigonometrik fonksiyonların türevi, temel prensipler kullanılarak, yani eğrinin eğimini veren cebirsel bir ifade bulunarak elde edilir:^[1]

${\displaystyle {d \over dx}\sin x=\cos x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan x={\frac {1}{1+x^{2}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\csc x=-\csc {x}\cot {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec x=\sec {x}\tan {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot x=-\csc ^{2}x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-1-\cot ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x=-{1 \over 1+x^{2}}}$

Yukarıdaki ters fonksiyonların bazıları için tanımları gereği şart koymak gerektir. Burada, ters sekant fonksiyonun görüntü kümesi ${\displaystyle [0,\pi ]\!}$ ve ters kosekant fonksiyonunun görüntğ kümesi ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ olarak değerlendirilmiştir. Ayrıca, ter tanjant fonksiyonu da bazen ${\displaystyle \arctan(y,x)}$ olarak gösterilebilir. Görüntü kümesi ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ve ${\displaystyle (x,y)}$ hangi kuadrantta yer aldığını yansıtır. Birinci ve dördüncü kuadrantta (yani ${\displaystyle x>0}$ iken ) ${\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)}$ olur. O zaman kısmi türevler

${\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\qquad {\text{ve}}\qquad {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}}$

halinde hesaplanır.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x={\operatorname {sech} ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x={\frac {1}{1-x^{2}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x=-\operatorname {csch} {x}\coth {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x=-\operatorname {sech} {x}\tanh {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=-\operatorname {csch} ^{2}x=1-\coth ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{1-x^{2}}}}$

BU türevlerin üzerindeki sınırlandırmaları görmek için Hiperbolik fonksiyonlar'a bakınız.

Gama fonksiyonu

${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma '(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt\\&=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)\\&=\Gamma (x)\psi (x)\end{aligned}}}$

Burada, ${\displaystyle \psi (x)}$ digama fonksiyonudur.

Riemann zeta fonksiyonu

${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta '(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \\&=-\sum _{p{\text{ asal}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ asal}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\end{aligned}}}$

Diyelim ki

${\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)dt}$

biçiminde verilen bir fonksiyonun xe göre türevini almak istiyoruz. Diyelim ki şu koşullar sağlanıyor:

• ${\displaystyle (t,x)}$ düzleminin ${\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$ koşullarını da sağlayacak belli bir bölgesinde ${\displaystyle f(x,t)}$ ve ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)}$ fonksiyonları hem ${\displaystyle t}$ hem de ${\displaystyle x}$ değişkeninde sürekliler
• ${\displaystyle a(x)}$ ve ${\displaystyle b(x)}$ fonksiyonlarının ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$ için hem kendileri hem de türevleri sürekli.

O zaman, ${\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}}$ için

${\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.}$

Bu formüle Leibniz integral kuralı denir ve Kalkülüsün temel teoremi ile çıkarılabilir.

Eğer n pozitif tam sayı ise fonksiyonların ninci türevini hesaplamak için bazı kurallar da vardır.

Eğer f ve g, n kere türevlenebilir fonksiyon olsun. O zaman, $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}.}$$ Burada, ${\textstyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$ ve ${\displaystyle \{k_{m}\}}$ kümesi ise Diyofant denklemi ${\textstyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$ nin negatif olmayan bütün çözümlerinden oluşmaktadır.

Eğer f ve g, n kere türevlenebilir fonksiyon olsun. O zaman, $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x).}$$