Türev

Kalkülüs
Temel Kalkülüsün temel teoremi Limit Süreklilik Rolle teoremi Ortalama değer teoremi Ters fonksiyon teoremi
Türev Çarpma kuralı Bölme kuralı Zincir kuralı Örtülü türev Taylor teoremi Bağımlı oranlar Türev listesi L'Hopital kuralı Diferansiyel denklemler
İntegral İntegral tablosu Has olmayan integral İntegralle hacim hesabı İntegral Alma Yöntemleri: Kısmi İntegrasyon değişken değiştirme
Çok değişkenli Kısmi türev Çokkatlı integral Çizgi integrali Yüzey integrali Hacim integrali
Vektör hesabı Matris Tensör Jacobi Hesse Gradyan

Matematikte türev, bir fonksiyonun tanımlı olduğu herhangi bir noktada değişim yönünü veya hızını veren temel bir kavramdır. Tek değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesinin belli bir noktasında türevi (eğer varsa), fonksiyonun grafiğine bu noktada karşılık gelen değerde çizilen teğet doğrunun eğimidir. Teğet doğru, tanım kümesinin bu noktasında fonksiyonun en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Bu nedenle türev genellikle anlık değişim oranı ya da daha açık bir ifadeyle, bağımlı değişkendeki anlık değişimin bağımsız değişkendeki anlık değişime oranı olarak tanımlanır. Bir fonksiyonun türevini teorik olarak bulmaya türev alma denilir. Eğer bir fonksiyonun tanım kümesindeki her değerinde hesaplanan türev değerlerini veren başka bir fonksiyon varsa, bu fonksiyona eldeki fonksiyonun (yani türevi alınan fonksiyonun) türevi denir.

Türev için birden fazla farklı gösterim vardır. En yaygın kullanılan ikisi Lagrange gösterimi olan türev işareti ve Leibniz gösterimidir. Fizikçiler arasında Newton gösterimi de yaygındır. Gottfried Wilhelm Leibniz'in adını taşıyan Leibniz gösterimi, iki diferansiyelin oranı olarak gösterilirken, türev işareti için (′) kullanılır. Daha yüksek mertebeden gösterimler tekrarlanan türeve işaret eder ve bunlar genellikle Leibniz gösteriminde diferansiyellere üst simgeler eklenerek, türev işaretinde ise işaret sayısı artırılarak gösterilir. Daha yüksek mertebeden türevlerin fizikte uygulamaları yaygındır. Örneğin, hareket eden bir cismin zamana göre konumunun birinci türevi cismin hızı iken, konumun zaman ilerledikçe nasıl değiştiğini gösteren ikinci türev cismin ivmesidir. Diğer deyişle, ivme, hızın zaman ilerledikçe nasıl değiştiğini gösteren ikinci türevdir.

Türevler, birden fazla gerçek değişken üzerinden tanımlı fonksiyonlar için de genelleştirilebilir. Bu genellemede, türev, grafiği (uygun bir çevirme veya döndürmeden sonra) orijinal fonksiyonun grafiğine en iyi doğrusal yaklaşım olan doğrusal bir dönüşüm olarak yeniden yorumlanır. Jacobi matrisi, bağımsız ve bağımlı değişkenlerin seçimiyle verilen bir baza göre bu doğrusal dönüşümü temsil eden matristir ve bağımsız değişkenlerin her birine göre kısmi türevler alarak hesaplanabilir. Birden fazla değişkenin gerçel değerli bir fonksiyonu için, Jacobi matrisi gradyan vektörüne indirgenir.

Bir gerçel değişkenli ${\displaystyle f}$ fonksiyonun tanım kümesindeki bir ${\displaystyle a}$ noktasındaki türevini hesaplamak için tanım kümesinde bu ${\displaystyle a}$ noktasını içeren bir açık aralık olmalıdır. Bu koşulda, eğer

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

varsa; yani, limit bir gerçel sayıya eşitse, o zaman ${\displaystyle f}$ fonksiyonuna ${\displaystyle a}$ noktasında türevlenebilir ya da ${\displaystyle f}$'nin ${\displaystyle a}$ noktasında türevi vardır denir. O halde,

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\quad {\text{ veya }}\quad {\frac {df}{dx}}(a)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

yazılır. Eğer limitin değeri ${\displaystyle L}$ ise, o zaman, ${\displaystyle L}$'ye ${\displaystyle f}$'nin ${\displaystyle a}$ noktasındaki türevi denir ve kısa bir gösterimle

${\displaystyle f'(a)=L\quad {\text{ veya }}\quad {\frac {df}{dx}}(a)=L}$

olarak yazılır.

Limitin sonsuz olması veya var olmaması durumunda, ${\displaystyle f}$'ye ${\displaystyle a}$ noktasında türevlenemez, ${\displaystyle f}$'nin a noktasında türevi yoktur ya da ${\displaystyle f}$, a noktasında türevli değildir denir.

Yukarıdaki limit ${\displaystyle a}$ civarında doğrudur. Başka bir deyişle ${\displaystyle h}$ sayısı ${\displaystyle 0}$ civarında ${\displaystyle 0}$'a yaklaştıkça ${\displaystyle a+h}$ sayısı ${\displaystyle a}$ civarında ${\displaystyle a}$'ya yaklaşır. Bu sebepten dolayı, eğer fonksiyonun tanımlı olduğu uç noktalarda türev alma ihtiyacı varsa, limit ${\displaystyle a+h}$ değerinin tanlı olduğu taraftan, yani soldan limit ya da sağdan limit olarak alınmalıdır.

Limit üzerinden verilen türev tanımı ε-δ limit tanımı üzerinden de yazılabilir. Eğer limit varsa ve ${\displaystyle L}$'ye eşitse, o zaman her ${\displaystyle \varepsilon >0}$ için bir ${\displaystyle \delta >0}$ vardır öyle ki bütün ${\displaystyle |h|<\delta }$ koşulunu sağlayan ve sıfıra eşit olmayan her ${\displaystyle h}$ için $${\displaystyle \left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon }$$ sağlanır. Burada sol taraftaki dik çubuklarla gösterilen mutlak değerdir.

Eğer bir ${\displaystyle f}$ fonksiyonu ${\displaystyle a}$ noktasında türevlenebilir ise, o zaman ${\displaystyle a}$ noktasında noktada sürekli olmak zorundadır. Mesela, bir nokta seçelim ve bu noktada sıçrama gösteren basamak fonksiyonunu ele alalım. Diğer deyişle, fonksiyon a noktasından küçük sayılar için 0 değerini alacaktır, geriye kalan noktalarda ise 1 değerini alacaktır. Limitin tanımına bakıldığı zaman

• Eğer ${\displaystyle h}$ pozitif bir sayı ise ${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$ ifadesi 0'a eşit olacaktır. Yani sağdan limit 0'a eşittir.
• Eğer ${\displaystyle h}$ negatif bir sayı ise ${\displaystyle h}$ sayısı (negatif kalarak) ${\displaystyle 0}$'a yaklaştıkça ${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$ ifadesi ${\displaystyle +\infty }$'a doğru gidecektir. Yani soldan limit yoktur.

Ancak bir fonksiyon tanım kümesindeki her noktada sürekli ise, bu özellik, fonksiyonun her yerde türevli olacağı anlamına gelmez. Mesela, mutlak değer fonksiyonu 0 noktasında süreklidir ama türevli değildir. Nedeni, 0'da türevi tanımlayan ${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {|0+h|-|0|}{h}}}$ limitinin bulunamamasıdır. Ancak, bu fonksiyon ${\displaystyle 0}$ haricindeki her noktada türevlidir. Bir diğer örnek olarak, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$ fonksiyonu verilebilir. Bu fonksiyon 0'da türevli olmayıp da başka her yerde türevli olan bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun 0'da türevlenebilir olmayışının nedeni ${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\sqrt[{3}]{0+h}}-{\sqrt[{3}]{0}}}{h}}}$ limitinin ${\displaystyle \infty }$, yani sonsuz olmasıdır. Dolayısıyla mutlak değer fonksiyonunun grafiği 0 noktasında kırıkken, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$ fonksiyonunun grafiği 0'da da kırılmasızdır.

Uygulamada karşılaşılan türevlerin çoğunun her ya da hemen hemen her yerde türevi vardır.

Bir fonksiyonun türevini yazmanın yaygın bir yollarından biri, Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından 1675 yılında tanımlanan ve türevi iki diferansiyelin (mesela ${\displaystyle dy}$ ve ${\displaystyle dx}$) bölümü olarak gösteren Leibniz gösterimidir. Bu kullanım, bir fonksiyonu ${\displaystyle y=f(x)}$ olarak yazarken, yani, bağımlı ve bağımsız değişkenler arasında fonksiyonel bir ilişki gösterilmek istendiğinde yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Bu gösterimde, birinci türev ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ ile gösterilir ve y'nin x'e göre türevi şeklinde okunur. Bu biçimde yazılan türev gösterimi aynı zamanda bir türev operatörünün verilen bir fonksiyona uygulanması olarak da yorumlanabilir. Diğer deyişle, ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}f(x)}$ yazılırsa, bu, aynı zamanda, ${\displaystyle f(x)}$ üzerinde x'e göre türev alma operatörü olan ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$'in uygulanması olarak yorumlanabilir. Daha yüksek türevler, mesela ${\displaystyle y=f(x)}$'in ${\displaystyle n}$'inci mertebeden türevi, şu gösterim kullanılarak ifade edilir: ${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}}$. Örneğin, ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}{\frac {d}{dx}}f(x){\Bigr )}}$ yazıldığında, türevin türevinin alındığını gösterir ve bu tür gösterim uygulamada çok kullanışlı hale gelir. Bazı alternatiflerinin aksine, Leibniz gösterimi, paydada türevlendirme için değişkenin açıkça belirtilmesini içerir ve bu da birden fazla birbiriyle ilişkili nicelikle çalışırken belirsizliği ortadan kaldırır. Bir bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı ile ifade edilir. Eğer, ${\displaystyle u=g(x)}$ ve ${\displaystyle y=f(g(x))}$ ise, o zaman ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}}$ olur.

Türev için bir diğer yaygın gösterim, bir fonksiyonun hemen yanında kesme işaretine benzeyen türev işaretinin kullanılmasıdır; bu gösterim, aynı zamanda Joseph-Louis Lagrange'a atfen Lagrange gösterimi olaraka da bilinir. Birinci türev bu gösterimde ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ halinde yazılır ve f'nin türevi olarak okunur. Benzer şekilde, ikinci ve üçüncü türevler şu şekilde yazılabilir: ${\displaystyle f''(x)}$ ve ${\displaystyle f'''(x)}$. Bu noktadan sonraki daha yüksek mertebeden türevlerin sayısını belirtmek için bazı yazarlar üst simge olarak Roma rakamlarını kullanırken, diğerleri sayıyı parantez içine koyar: ${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }}$ veya ${\displaystyle f^{(4)}}$ gibi. Genel durumda ise, ${\displaystyle f^{(n)}}$ kullanılır.

Newton gösteriminde veya nokta gösteriminde, zamana göre türevi temsil etmek için bir fonksiyon sembolünün üzerine bir nokta yerleştirilir. Eğer ${\displaystyle y}$ zamana bağlı bir fonksiyonsa, o zaman birinci ve ikinci mertebeden türevler sırasıyla ${\displaystyle {\dot {y}}}$ ve ${\displaystyle {\ddot {y}}}$ biçiminde gösterilirler. Bu gösterim yalnızca zaman veya yay uzunluğuna göre türevler için kullanılır. Kullanımı, fizik ve diferansiyel geometrideki diferansiyel denklemlerde de mevcuttur. Ancak, nokta gösterimi yüksek mertebeden türevler (4 veya daha fazla mertebeden) için yönetilemez hale gelir ve birden fazla bağımsız değişkenle baş edemez.

Başka bir gösterim ise diferansiyel operatörü sembolüyle gösteren D-gösterimidir. Bu gösterimde türevi gösterirken ${\displaystyle D}$ operatörü kullanılır. Mesela, ${\displaystyle f(x)}$'in birinci türevi gösterilirken ${\displaystyle Df(x)}$ yazılır. Daha yüksek mertebeden türevler için üst simge kullanılır: ${\displaystyle D^{n}f(x)}$. Bu notasyona bazen Euler gösterimi denir; ancak, bu gösterim Euler tarafından değil Louis François Antoine Arbogast ilk defa kullanılmıştır. Bu notasyonun kısmi türeve yönelik kullanımı da çok elverişlidir. Kısmi türevi belirtmek için, türevlenen değişken bir alt simge ile gösterilir, örneğin ${\displaystyle u=f(x,y)}$ fonksiyonu için ⁠${\displaystyle x}$'e göre kısmi türev ${\displaystyle D_{x}u}$ veya ${\displaystyle D_{x}f(x,y)}$ olarak yazılabilir. Daha yüksek kısmi türevler ise üst simgeler veya çoklu alt simgelerle gösterilebilir. Örneğin, yine ${\displaystyle u=f(x,y)}$ fonksiyonu için ${\textstyle D_{xy}f(x,y)={\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y){\Bigr )}}$ ve ${\displaystyle \textstyle D_{x}^{2}f(x,y)={\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y){\Bigr )}}$ yazılabilir.

Aşağıda en yaygın temel fonksiyonların türevleri için kurallar verilmiştir. Burada, ${\displaystyle a}$ gerçek bir sayıdır ve ${\displaystyle e}$ doğal logaritmanın tabanı ve yaklaşık olarak 2.71828'dir.

• Kuvvet fonksiyonlarının türevi (kuvvet kanunu):

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}}$

• Üstel fonksiyon, doğal logaritma ve genel tabanlı logaritmanın türevi

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a)}$, ${\displaystyle \quad (a>0)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}$, ${\displaystyle \quad (x>0)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}$, ${\displaystyle \quad (x,a>0)}$

• Trigonometrik fonksiyonların türevi

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)}$

• Ters trigonometrik fonksiyonların türevi

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\quad }$ ${\displaystyle -1<x<1}$ için

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\quad }$ ${\displaystyle -1<x<1}$ için

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Aşağıda, temel fonksiyonlardan basit aritmetik işlemler veya bileşke yoluyla elde edilmiş fonksiyonların türevini hesaplamak için bilinen en temel kurallardan bazıları verilmiştir. Bu amaçla ${\displaystyle f}$ ve ${\displaystyle g}$ fonksiyon olsun.

• Sabit fonksiyon: eğer ${\displaystyle f}$ sabitse, o zaman her ${\displaystyle x}$ için

  ${\displaystyle f'(x)=0.}$

• Toplama kuralı:

  ${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'}$ (her ${\displaystyle f}$ ve ${\displaystyle g}$ fonksiyonu ve bütün ${\displaystyle \alpha }$ ve ${\displaystyle \beta }$ gerçel sayıları için).

• Çarpma kuralı:

  ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$ (her ${\displaystyle f}$ ve ${\displaystyle g}$ fonksiyonu için)

Özel bir durum olarak, her ${\displaystyle \alpha }$ sayısı için ${\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'}$ olur çünkü is ${\displaystyle \alpha }$ sayısı sabittir ve ${\displaystyle \alpha 'f=0\cdot f=0}$ olur.

• Bölme kuralı:

  ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ (her ${\displaystyle f}$ ve ${\displaystyle g\neq 0}$ olan her ${\displaystyle g}$ fonksiyonu için)

• Bileşke fonksiyonlar için Zincir kuralı : Eğer ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ise, o zaman

  ${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).}$

${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin \left(x^{2}\right)-\ln(x)e^{x}+7}$ olsun. O zaman, $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$$ Burada ikinci terim zincir kuralı kullanılarak ve üçüncü terim çarpım kuralı kullanılarak hesaplanmıştır. Ayrıca, ${\displaystyle x^{2}}$, ${\displaystyle x^{4}}$, ${\displaystyle \sin(x)}$, ${\displaystyle \ln(x)}$, ${\displaystyle e^{x}}$ ve sabit ${\displaystyle 7}$ gibi temel fonksiyonların türevleri de kullanıldı.

Daha yüksek mertebeden türevler, bir fonksiyonun tekrar tekrar türevlenmesinin sonucudur. ${\displaystyle f}$ türevlenebilir bir fonksiyon ise

• ${\displaystyle f}$nin birinci türevi fonksiyonun türevidir ve ${\displaystyle f'}$ ile gösterilir.
• ${\displaystyle f'}$nin türevi ise ${\displaystyle f}$nin ikinci türevidir ve ${\displaystyle f''}$ ile gösterilir.
• ${\displaystyle f''}$nin türevi ise ${\displaystyle f}$nin üçüncü türevidir ve ${\displaystyle f'''}$ ile gösterilir.

Bu süreç tekrarlanarak, eğer türev varsa, fonksiyonun (n-1)inci türevi başlangıçta alınan fonksiyonun n'inci türevidir. Gösterim kısmında verilen bilgiye de dayanarak,

• ${\displaystyle f^{(n-1)}}$in türevi ${\displaystyle f}$nin n'inci türevidir ve ${\displaystyle f^{(n)}}$ olarak gösterilir.

Arka arkaya ${\displaystyle k}$ tane türevi hesaplanabilen fonksiyonlara ${\displaystyle k}$ kere türevli ya da k kere türevlenebilir fonksiyonlar denilir. Eğer, ${\displaystyle k}$inci türev aynı zamanda sürekli ise o zaman bu fonksiyon ${\displaystyle C^{k}}$ sınıfına aittir. Eğer bu ${\displaystyle k}$ kere türevlenme sayısında herhangi bir sınır yoksa, yani fonksiyon için hesaplanabilen yüksek mertebeden herhangi bir türevinin türevi yine hesaplanabiliyorsa, bu fonksiyona sonsuz kere türevli ya da sonsuz türevlenebilen fonksiyon denir.

Vektör değerli bir fonksiyon ${\displaystyle \mathbf {y} }$ gerçel sayılar üzerindeki gerçel bir değişkeni bir ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ vektör uzayındaki vektörlere gönderir. Bir vektör değerli fonksiyon, koordinat fonksiyonlarına ayrılabilir yani ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t))}$ yazılabilir. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ve ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$'deki parametrik eğriler bu fonksiyonların güzel bir örneğidir. Bu fonksiyonların koordinat fonksiyonlarının here biri gerçel değerli olduğu için yukarıda verilen türev tanımları her biri için geçerlidir. O zaman, ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$'nin türevi ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$inin koordinate fonksiyonlarının türevlerinden oluşan bir vektör olur ki buna da tanjant ya da teğet vektör denilir.

Kısmî türev, çok değişkenli bir fonksiyonun sadece ilgili değişkeni sabit değilken alınan türevdir. Bu tarz türevleri içeren denklemlere kısmî diferansiyel denklem denir.

${\displaystyle z:{{\mathbb {R} }^{n}}\times {{\mathbb {R} }^{n}}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle z=f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}$

şeklinde tanımlanan n tane bağımsız değişkene bağlı z fonksiyonunun diğer değişkenler sabit tutularak herhangi bir değişkendeki ${\displaystyle \Delta {{x}_{m}}}$ değişimine karşılık fonksiyonun değişim hızı

${\displaystyle {\frac {\Delta z}{\Delta {{x}_{m}}}}={\frac {f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+\Delta {{x}_{m}},...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{\Delta {{x}_{m}}}}}$

${\displaystyle \Delta {{x}_{m}}=h}$

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial {{x}_{m}}}}={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+h,...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{h}}}$

ifadesine ${\displaystyle z}$ fonksiyonunun ${\displaystyle {{x}_{m}}}$ değişkenine göre kısmî türevi denir.

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {{x}_{m}}}}={{f}_{{x}_{m}}}={{D}_{{x}_{m}}}f={\frac {\partial z}{\partial {{x}_{m}}}}={{z}_{{x}_{m}}}}$

şeklinde gösterilir.

${\displaystyle z=f\left(x,y\right)}$ ise;

${\displaystyle {{f}_{x}}\left(x,y\right)={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {f\left(x+h,y\right)-f\left(x,y\right)}{h}}}$

${\displaystyle {{f}_{y}}\left(x,y\right)={\underset {k\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {f\left(x,y+k\right)-f\left(x,y\right)}{k}}}$

Örnek:

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(x,y)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}{y}-{{y}^{3}}\\&{{f}_{x}}={{\left({{x}^{3}}\right)}_{x}}+{{\left({{x}^{2}}y\right)}_{x}}-{{\left({{y}^{3}}\right)}_{x}}\\&{{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy-0\\&{{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy\\\end{aligned}}}$

Eğer f bir Rⁿ üzerinde gerçek değerli fonksiyon ise koordinat eksenlerinin yönü içinde f in kısmî türevi içinde çeşitli ölçmeler ise (mesela f bir x ve y fonksiyonunun x yönü ve y yönü içinde f 'nin kısmî türevinde çeşitli ölçmeler ise) buna yönlü türev denir.

Bununla birlikte köşegen çizgi y = x boyunca gibi herhangi diğer yön içinde f in yönlü ölçü çeşitleri yoktur.

Burada yönlü türev ölçüsü kullanılıyor.

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}).}$

bir vektörse vnin yönü içinde fin yönlü türevinin x noktasında sınırıdır.

${\displaystyle \mathrm {D} _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$

Bâzı durumlarda bu vektörün uzunluğunu değiştirme sonrası yön türevi hesaplamak veya tahmin etmek daha kolay olabilir. Genellikle bu bir birim vektör yönünde bir yönde türevinin hesaplanması içinde sorunu açmak için yapılır. Bunun nasıl çalıştığını görmek için bunu v = λu varsayalım.h = k/λ fark katsayısı içinde yerine konur.Aradaki fark katsayısı:

${\displaystyle {\frac {f(\mathbf {x} +(k/\lambda )(\lambda \mathbf {u} ))-f(\mathbf {x} )}{k/\lambda }}=\lambda \cdot {\frac {f(\mathbf {x} +k\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{k}}.}$

Bu u sırasıyla fin yönlü türevi için λ zaman içinde farklı katsayısıdır. Dahası sıfıra yönelen k olarak alınan limit olarak aynı h ve k için herhangi diğerinin çarpımıdır. Bunun için D_v(f) = λD_u(f). Bu nedenle yeniden ölçeklendirme özelliği, yönlü türevler sık sık sadece birim vektörler için kabul edilir.

Eğer f'in tüm kısmî türevleri var ve x'de sürekli ve formülü ile v yönünde f içinde belirlenen yönlü türev ise

${\displaystyle \mathrm {D} _{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}$

Bu toplam türevin tanımının bir sonucudur. Bu yönlü türev, aşağıda v içinde doğrusaldır. Bu da

D_{v + w}(f) = D_v(f) + D_w(f).

demektir. Aynı tanım, ayrıca f olduğunda R^m içindeki değerleri ile bir fonksiyondur. Yukardaki tanım, vektörlerin her bir bileşeni için uygulanır. Bu durum içinde yönlü türev R^m içinde bir vektördür.

Bir ${\displaystyle f}$ fonksiyonu ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$deki açık bir kümeden ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$'e tanımlanmış bir fonksiyonsa, ${\displaystyle f}$'nin seçilen bir noktadaki ve yöndeki yönlü türevi ${\displaystyle f}$'nin yine aynı noktada ve aynı yönde en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Ancak, ${\displaystyle n>1}$ ise yönlü türev ${\displaystyle f}$'nin davranışı hakkında tam bir açıklama veremez. Toplam türevi bu bağlamda tam bir açıklama sağlamaktadır. Yani, bir ${\displaystyle \mathbf {a} }$ vektöründen başlayan herhangi bir ${\displaystyle \mathbf {v} }$ vektörü için aşağıdaki doğrusal yaklaşım sağlanır: $${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .}$$

Benzer bir şekilde, tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlana türevde de ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )}$ buradaki yaklaşım hatasını olabildiğince küçük yapacak şekilde seçilir. ${\displaystyle f}$'nin bir ${\displaystyle \mathbf {a} }$ noktasındaki toplam türevi ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$, $${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-(f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} )\rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0}$$ olacak şekilde biricik olarak tanımlanan doğrusal bir dönüşümdür. Burada, ${\displaystyle \mathbf {h} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ içinde bir vektördür; ancak, ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ içinde bir vektördür.

Toplam türev, eğer bir noktada varsa, o zaman yine aynı noktada bütün kısmi türevler ve yönlü türevler de vardır. Bu halde, bütün ${\displaystyle \mathbf {v} }$ vektörü için, ${\displaystyle f}$'nin ${\displaystyle \mathbf {v} }$ yönündeki yönlü türevi ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }$ olur. Eğer ${\displaystyle f}$, koordinat fonksiyonları cinsinden; yani, ${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\dots ,f_{m})}$ olacak şekilde yazılırsa, o zaman toplam türev kısmi türevlerin matrisi olarak ifade edilebilir: $${\displaystyle f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.}$$ Bu matrise ${\displaystyle f}$'nin ${\displaystyle a}$ noktasındaki Jacobi matrisi denir.

• İntegral