Süperfaktöriyel

Süperfaktöriyel, sembolü ‼ olan özel tanımlı bir matematiksel fonksiyondur. Matematikte, süperfaktöriyelin birden fazla tanımı vardır.

Neil Sloane ve Simon Plouffe tarafından The Encyclopedia of Integer Sequences (Academic Press, 1995)’de verilen tanıma göre, ${\displaystyle n}$ bu sayıdan küçük veya ona eşit tam sayıların faktöriyellerinin çarpımı olmak üzere bir doğal sayının üst faktöriyeli olarak tanımlanır:

${\displaystyle \mathrm {sf} (n)\equiv \prod _{k=1}^{n}{k!}=1\cdot {2!}\cdot {3!}\cdots {(n-1)!}\cdot {n!}.}$

Bu şekilde tanımlanan üst faktöriyeller, OEIS 16 Temmuz 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.'in A000178 dizisini temsil eder.

Eşdeğer olarak, süper faktöriyel Vandermonde matrisinin determinantı olan aşağıdaki formülle de verilir:

${\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(j-i),}$

Bu süper faktöriyeller dizisi (${\displaystyle n=0}$) aşağıdaki gibi başlar:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, ...

Karmaşık sayılar için Neil Sloane ve Simon Plouffe'un tanımına göre üst faktöriyelin genelleştirilmesi, Barnes G fonksiyonu ile temsil edilir, çünkü herhangi bir tam sayı ${\displaystyle n}$ için,

${\displaystyle \mathrm {sf} (n)=G(n+2)}$'dir.

Tetrasyon işlemine dayanan bir başka süper faktöriyel tanımı, 1995 yılında Clifford A. Pickover tarafından Keys to Infinity adlı kitabında verilen tanımdır:

${\displaystyle n\$\equiv {\begin{matrix}\underbrace {n!^{{n!}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{n!}}}}}} \\n!{\text{ kere}}\end{matrix}},}$

veya

${\displaystyle n\$=n![4]n!,}$

burada ${\displaystyle [4]}$ notasyonu tetrasyon operatörünü gösterir veya Knuth yukarı ok gösterimini kullanarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir,

${\displaystyle n\$=(n!)\uparrow \uparrow (n!).}$

Bu süper faktöriyeller dizisi şöyle başlar:

${\displaystyle 1\$=1;}$

${\displaystyle 2\$=2^{2}=4;}$

${\displaystyle 3\$=6[4]6={^{6}}6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}};}$

dikkat edilmesi gereken yer:

${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}}$'dir.

• 6‼=3!×2!=(1×2×3)×(1×2)=1²×2²×3=1×4×3=12'dir. Bu denkleme göre asal sayıların süperfaktöriyeli alındığında, şu şekilde bir denklem oluşur:
• P‼=P!×1!=P!×1=P! fakat 6‼, 1! ve 6!'in çarpımı olarak bulunmaz. Çünkü burada 1 ve kendisinden başka çarpanlarının faktöriyelinin çarpımı kuralı vardır.
• 12 için 1 ve kendisi dışındaki çarpanları 2, 3, 4 ve 6'dır. Bu nedenle ${\displaystyle {\sqrt {(2!\times 4!)\times (3!\times 6!)}}}$ şeklinde bulunabilir.
• 18 için 2, 3, 6, 9 olduğundan Karekök (2 Faktöriyel çarpı 6 Faktöriyel) çarpı (3 Faktöriyel çarpı 9 faktöriyel) yani ${\displaystyle {\sqrt {(2!\times 6!)\times (3!\times 9!)}}}$ şeklinde bulunur.
• 28 için Karekök (2 Faktöriyel çarpı 7 Faktöriyel) çarpı (4 Faktöriyel çarpı 14 Faktöriyel) yani ${\displaystyle {\sqrt {(2!\times 7!)\times (4!\times 14!)}}}$ şeklinde bulunur.
• 9‼ ise ${\displaystyle (3!)^{2}}$ şeklinde bulunur. Çünkü 9, 3'ün karesidir (3×3=9)

• Hiperfaktöriyel
• Bifaktöriyel
• Faktöriyel
• Tetrasyon
• Barnes G fonksiyonu

• Eric W. Weisstein, Süperfaktöriyel (MathWorld)
• "103 curiosità matematiche - Scrivere grandi, grandi numeri" (İtalyanca). 21 Temmuz 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 21 Temmuz 2022. 
• ProofWiki'de Süperfaktöriyel