Strouhal sayısı

Boyut analizinde, Strouhal sayısı (St, veya bazen Stanton sayısı ile karışıklığı önlemek için Sr) salınımlı akış mekanizmalarını tanımlayan bir boyutsuz sayıdır. Bu parametre, 1878 yılında vorteks saçıntısı (İng. vortex shedding) oluşturan tellerle ve rüzgarda ses çıkaran tellerle deney yapan Çek fizikçi Vincenc Strouhal'ın adını taşır.^[1][2] Strouhal sayısı, akışkanlar mekaniğinin temel ilkelerinin önemli bir bileşenidir.

Strouhal sayısı genellikle şu şekilde ifade edilir:

${\displaystyle {\text{St}}={\frac {fL}{U}},}$

burada f vorteks saçıntısı frekansı, L karakteristik uzunluk (örneğin, hidrolik çap veya kanat profili kalınlığı) ve U akış hızıdır. Bazı durumlarda, dalgalanan uçuş gibi, bu karakteristik uzunluk salınımın genliğidir. Bu karakteristik uzunluk seçimi, Strouhal sayısı ile indirgenmiş frekans arasındaki farkı göstermek için kullanılabilir:

${\displaystyle {\text{St}}={\frac {kA}{\pi c}},}$

burada k indirgenmiş frekans (İng. reduced frequency) ve A dalgalanma salınımının genliğidir.

Büyük Strouhal sayıları (1 mertebesi) için, viskozite akışkan akışına hakimdir ve akışkan "tıpasının" kolektif salınımlı hareketi meydana gelir. Düşük Strouhal sayıları (10⁻⁴ ve altı mertebesi) için, yüksek hızlı, yarı-kararlı hareket kısmı salınıma hakimdir. Orta Strouhal sayılarındaki salınım, vortekslerin birikimi ve ardından hızla dağılması ile karakterize edilir.^[3]

8×10² < Re < 2×10⁵ Reynolds sayısı aralığında, tekdüze akışta (İng. uniform flow) küreler için iki Strouhal sayısı değeri birlikte bulunur. Düşük frekans, uyandırmanın büyük ölçekli kararsızlığına bağlanır, Reynolds sayısından bağımsızdır ve yaklaşık olarak 0.2'ye eşittir. Yüksek frekanslı Strouhal sayısı, kayma tabakasının (İng. shear layer) ayrılmasından kaynaklanan küçük ölçekli kararsızlıklardan kaynaklanır.^[4][5]

Newton’un İkinci Yasasına göre, kuvvet kütle ile ivmenin çarpımına eşittir veya ${\displaystyle F=ma}$ ile ifade edilir ve ivme, hızın türevi veya akışkanlar mekaniği bağlamında ${\displaystyle {\tfrac {U}{t}}}$ (karakteristik hız/zaman) olarak tanımlanır:

${\displaystyle F={\dfrac {mU}{t}}}$,

Karakteristik hız uzunluk birim zamanda temsil edilebileceğinden, ${\displaystyle {\tfrac {L}{t}}}$ olarak ifade edersek, şu sonucu elde ederiz:

${\displaystyle F={\dfrac {mU^{2}}{L}}}$,

burada,

m = kütle,

U = karakteristik hız,

L = karakteristik uzunluk.

Her iki tarafı da ${\displaystyle {\tfrac {mU^{2}}{L}}}$ ile bölersek, şu ifadeyi elde ederiz:

${\displaystyle {\tfrac {FL}{mU^{2}}}=1={\text{sabit}}}$ ⇒ ${\displaystyle {\tfrac {mU^{2}}{FL}}=1={\text{sabit}}}$,

burada:

m = kütle,

U = karakteristik hız,

F = net dış kuvvetler,

L = karakteristik uzunluk.

Bu, kütle, karakteristik hız, net dış kuvvetler ve uzunluk (boyut) arasında bir ilişki için boyutsuz bir temel sağlar ve bu da kütlesi olan bir cisim üzerindeki akışkanlar mekaniğinin etkilerini analiz etmek için kullanılabilir.

Net dış kuvvetler ağırlıklı olarak elastik ise, Hooke Yasasını kullanarak şu ifadeyi elde ederiz:

${\displaystyle F=k\Delta L}$,

burada:

k = yay sabiti (elastik elemanın sertliği),

ΔL = deformasyon (uzunluktaki değişim).

${\displaystyle \Delta L\propto L}$ varsayımı altında, ${\displaystyle F\approx kL}$ ifadesi elde edilir. Elastik sistemin doğal rezonans frekansı ${\displaystyle \omega _{0}^{2}}$ ifadesinin ${\displaystyle {\tfrac {k}{m}}}$'ye eşit olması durumunda, şu sonuç ortaya çıkar:

${\displaystyle {\dfrac {mU^{2}}{FL}}={\dfrac {mU^{2}}{kL^{2}}}={\dfrac {U^{2}}{\omega _{0}^{2}L^{2}}}}$,

burada:

m = kütle,

U = karakteristik hız,

${\displaystyle \omega _{0}}$ = doğal rezonans frekansı,

ΔL = deformasyon (uzunluktaki değişim).

Döngüsel hareket frekansının ${\displaystyle f={\tfrac {\omega _{0}^{2}L}{U}}}$ olarak temsil edilmesi durumunda, şu sonuç elde edilir,

${\displaystyle {\dfrac {U^{2}}{\omega _{0}^{2}L^{2}}}={\dfrac {U}{fL}}={\text{sabit}}={\dfrac {fL}{U}}={\text{St (Strouhal Sayısı)}}}$,

burada:

f = frekans,

L = karakteristik uzunluk,

U = karakteristik hız.

Mikro ve nanorobotik alanında, Strouhal sayısı, mikrorobotun gövdesi üzerindeki dış salınımlı akışkan akışının etkisini analiz etmek için Reynolds sayısı ile birlikte kullanılır. Döngüsel hareketi olan bir mikrorobot düşünüldüğünde, Strouhal sayısı şu şekilde değerlendirilebilir:

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {fL}{U}}}$,

burada:

f = döngüsel hareket frekansı,

L = robotun karakteristik uzunluğu,

U = karakteristik hız.

Strouhal sayısının kullanılması, mikrorobotun içinde bulunduğu akışkanın hareketinin, mikrorobotun hareketi üzerindeki etkisini, baskın kuvvetlerin elastik olup olmadığından bağımsız olarak, mikrorobot üzerinde etkili olan atalet kuvvetlerine göre değerlendirmeyi sağlar.^[6]

Tıp alanında, yüzme hareketleriyle hareket eden mikrorobotlar, erişilmesi zor ortamlarda mikromanipülasyonlar gerçekleştirebilirler.

Bir kan damarı için kullanılan denklem:^[7]

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {fD}{V}}}$,

burada:

f = mikrobotun yüzme hareketinin salınım frekansı,

D = kan damarı çapı,

V = kararsız viskoelastik akış.

Strouhal sayısı, Deborah sayısı (De) ve Weissenberg sayısı (Wi) oranı olarak kullanılır:^[7]

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {\text{De}}{\text{Wi}}}}$.

Strouhal sayısı ayrıca Womersley sayısını (Wo) elde etmek için de kullanılabilir. Kan akışı durumu, kararsız viskoelastik bir akış olarak sınıflandırıldığında, Womersley sayısı:^[7]

${\displaystyle {\text{Wo}}={\sqrt {{\dfrac {\pi }{2}}{\text{Re}}{\text{St}}}}}$,

veya her iki denklemi dikkate alarak,

${\displaystyle {\text{Wo}}={\sqrt {{\dfrac {\pi }{2}}{\text{Re}}{\dfrac {\text{De}}{\text{Wi}}}}}}$.

Metrolojide, özellikle eksensel akış türbin ölçerlerinde, Strouhal sayısı, akış hızı ile frekans arasında bir korelasyon sağlamak için Roshko sayısı ile birlikte kullanılır. Bu yöntemin frekans/viskozite ve K-faktörü yöntemine göre avantajı, ölçüm cihazı üzerindeki sıcaklık etkilerini dikkate almasıdır.

${\displaystyle {\text{St}}={\frac {f}{U}}C^{3},}$

burada:

f = ölçüm cihazı frekansı,

U = akış hızı,

C = ölçüm cihazı gövde malzemesinin lineer genleşme katsayısı.

Bu ilişki Strouhal sayısını boyutsuz bırakır, ancak C³ için sıklıkla boyutsuz bir yaklaşım kullanılır ve bu da birimlerin darbeler/hacim (K-faktörü ile aynı) olmasını sağlar.

Bu akış ve frekans arasındaki ilişki havacılık alanında da görülebilir. Titreşimli metan-hava eşakış jet difüzyon alevlerini düşündüğümüzde, şu denklemi elde ederiz:

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {aw_{j}}{U_{j}}}}$,

burada:

a = yakıt jetinin yarıçapı,

w = modülasyon frekansı,

U = yakıt jetinin çıkış hızı.

Küçük bir Strouhal sayısı (St=0.1) için modülasyon, akışta çok uzaklara kadar ulaşan bir sapma oluşturur. Strouhal sayısı arttıkça, boyutsuz frekans, titrek bir alevin doğal frekansına yaklaşır ve sonunda alevden daha büyük bir titreşim oluşturur.^[8]

Yüzen veya uçan hayvanlarda, Strouhal sayısı şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle {\text{St}}={\frac {f}{U}}A,}$

burada:

f = salınım frekansı (kuyruk çırpma, kanat çırpma vb.),

U = akış hızı,

A = tepe-tepe salınım genliği.

Hayvan uçuşu veya yüzmesinde, itme verimliliği dar bir Strouhal sabiti aralığında yüksektir ve genellikle 0.2 < St < 0.4 aralığında zirve yapar.^[9] Bu aralık, yunusların, köpekbalıklarının ve kemikli balıkların yüzmesinde ve kuşların, yarasaların ve böceklerin kruvazör uçuşunda kullanılır.^[9] Ancak, diğer uçuş biçimlerinde farklı değerler bulunur.^[9] Sezgisel olarak bu oran, yan taraftan bakıldığında darbelerin dikliğini ölçer (örneğin, sabit bir akışkan içinden hareket varsayıldığında) – f darbe frekansıdır, A genliktir, bu nedenle pay fA kanat ucunun dikey hızının yarısıdır, payda V ise yatay hızdır. Bu nedenle, kanat ucunun grafiği, Strouhal sabitinin iki katı eğimle yaklaşık bir sinüzoid oluşturur.^[10]

Strouhal sayısı en yaygın olarak, bir cismin bir akışkan içindeki hareketinin sonucu olarak ortaya çıkan salınımlı akışı değerlendirmek için kullanılır. Strouhal sayısı, hayvanların döngüsel itici hareketleriyle bir akışkan içinde verimli bir şekilde hareket etmelerinin zorluğunu yansıtır. Bu sayı, %70 ila %80 arasında zirveye ulaşan itme verimliliği ile ilişkilidir ve optimal Strouhal sayısı aralığı 0,2 ila 0,4 arasında yer alır. Darbe frekansı, her darbenin genliği ve hız gibi faktörlerin kullanılmasıyla Strouhal sayısı, hayvanların yüzme veya uçma gibi bir akışkan içindeki itici kuvvetlerinin verimliliğini ve etkisini analiz edebilir. Örneğin, değer, seyir halindeyken hareketi ve havada asılı kalma sırasında aerodinamik kuvvetleri etkileyen itme verimliliği için kısıtlamaları temsil eder.^[11]

Nesneye karşı etki eden reaktif kuvvetler ve özellikler, örneğin viskozite ve yoğunluk, yüzme sırasında bir hayvanın hareketinin ideal Strouhal sayısı aralığında olma yeteneğini azaltır. Uçan veya yüzen farklı türlerin değerlendirilmesi sonucunda, birçok kuş ve balık türünün hareketinin optimal Strouhal aralığında olduğu bulunmuştur.^[11] Ancak, Strouhal sayısı, aerodinamik kuvvetlere yanıt olarak kısıtlanmış bir şekilde nasıl hareket ettiklerine bağlı olarak aynı tür içinde diğer türlerden daha fazla değişiklik gösterir.^[11]

Strouhal sayısı, hayvanların uçuşunu analiz etmekte önemli bir role sahiptir çünkü bu sayı, akış çizgileri ve hayvanın bir akışkan içinde hareket ederkenki hızı esas alınarak belirlenir. Bu önemi, dalıcımartıgillerin farklı ortamlardan (hava ile su) geçerkenki hareketi ile gösterilir. dalıcımartıların değerlendirilmesi, kanat alanlarına göre yüksek kütlelerine rağmen hava ve suda verimli Strouhal sayısı aralığında uçabilme özelliğini ortaya koymuştur.^[12] Dalıcımartıgillerin çift ortamda verimli hareketi, doğal seçilim yoluyla gelişmiştir ve çevre, zamanla hayvanların belirli bir verimli aralığa girmesinde rol oynamıştır. Çift ortam hareketi, dalıcımartıların her bir akışkan içinde hareket ederken darbe hızlarına bağlı olarak iki farklı uçuş modeli sergilediğini gösterir.^[12] Ancak, kuş farklı bir ortamdan geçerken, akışkanın yoğunluğunun ve viskozitesinin etkisiyle karşı karşıya kalır. Ayrıca, dalıcımartılar yatay hareket ederken yukarı doğru etki eden kaldırma kuvvetine de direnmek zorundadır.

Strouhal sayısının farklı ölçeklerdeki önemini belirlemek için ölçek analizi yapılabilir. Bu, bazı ölçeklerle ilgili olarak faktörlerin değişiminin etkisini analiz etmek için kullanılan bir basitleştirme yöntemidir. Mikrorobotik ve nanorobotik bağlamında değerlendirildiğinde, ölçek analizi yapılırken boyut dikkate alınan faktördür.

Strouhal sayısının ölçek analizi, kütle ve atalet kuvvetleri arasındaki ilişkinin boyuta göre değişimini analiz etmeyi sağlar. Özgün türetilmemiş formunu alarak, ${\displaystyle {\tfrac {mU^{2}}{FL}}}$, her terimi boyutla ilişkilendirip boyut değiştikçe oranın nasıl değiştiğini görebiliriz.

${\displaystyle m=V\rho }$ verildiğinde, burada m kütle, V hacim ve ${\displaystyle \rho }$ yoğunluktur, kütlenin boyutla doğrudan ilişkili olduğu görülmektedir çünkü hacim uzunluk (L) ile ölçeklenir. Hacmi ${\displaystyle L^{3}}$ olarak alırsak, kütle ve boyut şu şekilde doğrudan ilişkilendirilebilir:

${\displaystyle m\approx L^{3}}$.

Karakteristik hız (U), ${\displaystyle {\tfrac {\text{mesafe}}{\text{zaman}}}}$ cinsindendir ve göreli mesafe boyutla ölçeklendiğinden, bu nedenle

${\displaystyle U^{2}\approx L^{2}}$.

Net dış kuvvetler (F), kütle ve ivme ile ilişkilidir ve ${\displaystyle F=m\cdot a}$ ile verilir. İvme, ${\displaystyle {\tfrac {\text{mesafe}}{{\text{zaman}}^{2}}}}$ cinsindendir, bu nedenle ${\displaystyle a\approx L}$. Kütle-boyut ilişkisi ${\displaystyle m\approx L^{3}}$ olarak belirlenmiştir, dolayısıyla tüm üç ilişki dikkate alındığında, şu sonucu elde ederiz:

${\displaystyle F\approx L^{4}}$.

Uzunluk (L) zaten boyutu ifade eder ve L olarak kalır.

Tüm bunları bir araya getirdiğimizde, şu sonucu elde ederiz:

${\displaystyle {\dfrac {mU^{2}}{FL}}\approx {\dfrac {L^{3}L^{2}}{L^{4}L}}\approx {\dfrac {L^{5}}{L^{5}}}\approx L^{0}=1}$.

Strouhal sayısı, kütleyi atalet kuvvetlerine bağladığında, bu beklenir çünkü bu iki faktör boyutla orantılı olarak ölçeklenecek ve cismin akışkanın döngüsel hareketindeki davranışına katkıları açısından ne artacak ne de azalacaktır.

Richardson sayısı ile Strouhal sayısı arasındaki ölçekleme ilişkisi şu denklemle temsil edilir:^[13]

${\displaystyle {\text{St}}_{l}=b{\text{Ri}}_{l}^{a}}$,

burada a ve b, duruma bağlı sabitlerdir.

Yuvarlak helyum yüzer jetleri ve akıntıları için:^[13]

${\displaystyle {\text{St}}_{D}\sim {\text{Ri}}_{D}^{0.38}}$.

${\displaystyle {\text{Ri}}<100}$ olduğunda,

${\displaystyle {\text{St}}_{D}=0.8{\text{Ri}}_{D}^{0.38}}$.

${\displaystyle 100<{\text{Ri}}<500}$ olduğunda,

${\displaystyle {\text{St}}_{D}=2.1{\text{Ri}}_{D}^{0.28}}$.

Düzlemsel yüzer jetler ve akıntılar için:^[13]

${\displaystyle {\text{St}}_{W}=0.55{\text{Ri}}_{W}^{0.45}}$.

Şekil bağımsız ölçekleme için:^[13]

${\displaystyle {\text{St}}{Rh}=e^{-1}{\text{Ri}}{Rh}^{\tfrac {2}{5}}}$

Bir cismin bir akışkan içinde hareket etmesi için ideal yöntemi belirlerken Strouhal sayısı ve Reynolds sayısı dikkate alınmalıdır. Ayrıca, bu değerler arasındaki ilişki, bir cismin bir akışkan içinde hareket ederken karşılaştığı reaktif kuvvetleri atalet kuvvetleri ile ilişkilendiren Lighthill'in uzun gövde teorisi ile ifade edilir.^[14] Strouhal sayısının boyutsuz Lighthill sayısına bağlı olduğu ve bunun da Reynolds sayısı ile ilişkili olduğu belirlenmiştir. Strouhal sayısının değeri, artan Reynolds sayısı ile azalırken, artan Lighthill sayısı ile artar.^[14]

• Froude sayısı
• Mach sayısı
• Rossby sayısı
• Weber sayısı
• Womersley sayısı
• Weissenberg sayısı
• Deborah sayısı
• Richardson sayısı

• Vincenc Strouhal, Ueber eine besondere Art der Tonerregung^[]