Stolarsky ortalaması

Matematikte Stolarsky ortalaması, logaritmik ortalamanın bir genelleştirmesidir. 1975 yılında Kenneth B. Stolarsky tarafından ortaya atılmıştır.^[1]

Stolarsky ortalaması şu şekilde tanımlanır: ${\displaystyle x,y}$ pozitif gerçek sayılar olmak üzere,

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{p}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}\left({\frac {\xi ^{p}-\eta ^{p}}{p(\xi -\eta )}}\right)^{1/(p-1)}\\[10pt]&={\begin{cases}x&x=y{\text{ ise,}}\\\left({\frac {x^{p}-y^{p}}{p(x-y)}}\right)^{1/(p-1)}&x\neq y{\text{ ise.}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Ortalama değer teoremine göre, herhangi bir (x, y) aralığında bir fonksiyonun türevinin kesen doğrunun eğimine eşit olmasını sağlayan bir ${\displaystyle \xi }$ değeri bulunur:

${\displaystyle \exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}.}$

Stolarsky ortalaması, ${\displaystyle f(x)=x^{p}}$ durumunda ${\displaystyle \xi }$'nin alacağı değer olarak tanımlanabilir:

${\displaystyle \xi =f'^{-1}\left({\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\right).}$

• ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }S_{p}(x,y)}$ minimumdur.
• ${\displaystyle S_{-1}(x,y)}$ geometrik ortalamadır.
• ${\displaystyle \lim _{p\to 0}S_{p}(x,y)}$ logaritmik ortalamadır.
• ${\displaystyle S_{\frac {1}{2}}(x,y)}$ ${\displaystyle 1/2}$. dereceden genelleştirilmiş ortalamadır.
• ${\displaystyle S_{2}(x,y)}$ aritmetik ortalamadır.
• ${\displaystyle S_{3}(x,y)=QM(x,y,GM(x,y))}$ karesel ortalama ve geometrik ortalama ile ilişkili bir niceliktir.
• ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }S_{p}(x,y)}$ maksimumdur.

Stolarsky ortalaması, bölünmüş farklar için ortalama değer teoremi göz önüne alınarak ${\displaystyle n}$. türev için ${\displaystyle n+1}$ değişkenli duruma genelleştirilebilir: ${\displaystyle f(x)=x^{p}}$ olmak üzere,

${\displaystyle S_{p}(x_{0},\dots ,x_{n})={f^{(n)}}^{-1}(n!\cdot f[x_{0},\dots ,x_{n}]).}$

• Logaritmik ortalama
• Aritmetik ortalama
• Geometrik ortalama
• Harmonik ortalama
• Genelleştirilmiş ortalama
• Karesel ortalama