Stokes teoremi

Vektör analizi ve modern haliyle diferansiyel geometride ''Stokes teoremi'' ya da güncel haliyle ''genelleştirilmiş Stokes teoremi'' veya ''Stokes-Cartan teoremi'' Vektör Analizi'nden çeşitli teoremleri hem basitleştiren hem de genelleştiren çokkatlılar üzerindeki diferansiyel formların integrasyonu ile ilgili önemli bir teoremdir. Klasik anlamı için Kelvin-Stokes teoremine bakılması gerekir. Modern anlamına 20. yüzyılın önemli matematikçilerinden Ellie Cartan ile kavuşmuştur. Yani teorem ismini İrlandalı matematikçi ve fizikçi George Gabriel Stokes ve modern haliyle Fransız matematikçi ve fizikçi Ellie Cartan'dan almaktadır. Modern anlamda Stokes teoremi bir diferansiyel form olan ω'nın bazı yönlendirilebilir Ω çokkatlısının sınırları üzerindeki integralinin Ω'nın tamamı üzerindeki dış türevi dω'nın integraline eşit olduğunu söyler. Yani;

${\displaystyle \int _{\Omega }d\omega =\int _{\partial \Omega }\omega }$

Stokes teoremi'nin modern formunu Vito Volterra, Edouard Goursat ve Henri Poincare gibi bilim insanlarının çalışmaları dahilinde 1945 yılında Ellie Cartan oluşturmuştur. Stokes teoreminin bu modern formu Lord Kelvin'in 2 temmuz 1850 tarihli bir mektupta George Stokes'a ilettiği klasik sonucun geniş bir genellemesidir. Klasik teoremin kanıtı Hermann Hankel tarafından 1861 yılında yayımlandı. Klasik Stokes teoremi ya da Kelvin-Stokes teoremi üç boyutlu Öklit uzayında bir yüzey üzerindeki ${\displaystyle F}$ vektör alanının rotasyonelinin (yani ${\displaystyle rotF}$ veya ${\displaystyle \nabla \times F}$) vektör alanının kendi sınırı üzerindeki çizgi integrali ile ilişkilendirir.

Kalkülüs ya da hesabın temel teoremi bir ${\displaystyle f}$ fonksiyonunun ${\displaystyle [a,b]}$ aralığı üzerindeki integralinin, ${\displaystyle f}$ fonksiyonunun ters türevi ${\displaystyle F}$'i bularak hesaplanabileceğini belirtir:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$

Stokes teoremi aşağıdaki anlamıyla bu teoremin geniş bir genellemesidir.

${\displaystyle f}$ burada ${\displaystyle f}$'in ters türevi olarak yazılırsa ${\displaystyle {dF \over dx}=f(x)}$ tir.Diferansiyel formların deyimiyle bu, ${\displaystyle f(x)dx}$'in 0-formunun dış türevi olduğunu yani fonksiyon ${\displaystyle F}$ olduğunu söyler. Başka bir deyişle fonksiyonun ters türevinin diferansiyeli ${\displaystyle dF=f(x).dx}$ tir.Genel Stokes teoremi ${\displaystyle F}$ gibi sadece 0-formlar yerine daha yüksek diferansiyel formlar ${\displaystyle \omega }$ için geçerlidir.

Kapalı aralık ${\displaystyle [a,b]}$, sınırları olan tek boyutlu bir çokkatlının basit bir örneğidir. Çokkatlının sınırı a ve b noktalarından oluşan bir kümedir.${\displaystyle f}$'in aralık üzerinden entegre edilmesi formların daha yüksek boyutlu bir çokkatlı üzerinde birleştirilmesine genelleştirilebilir. İki teknik koşul gereklidir. Çokkatlı, yönlendirilebilir ve iyi tanımlanmış kompakt manifold olmalıdır.

İki nokta a ve b kapalı aralığın sınırını oluşturur. Daha genel olarak Stokes teoremi sınırlo yönlendirilmiş manifoldlar ${\displaystyle M}$ için geçerlidir.${\displaystyle M}$'nin ${\displaystyle \partial M}$ sınırının kendisi bir manifolddur ve ${\displaystyle M}$'ninkinden doğal bir yönelimi alır. Örneğin aralığın doğal yönü iki sınır noktasının yönünü verir. Sezgisel olarak a, aralığın zıt uçlarında olduklarından, b zıt yönelimi alır. Yani ters türev ${\displaystyle F}$'i iki sınır noktası olan a ve b üzerinden integral almak ${\displaystyle F(b)}$ ile ${\displaystyle F(a)}$'nın farkını almaktır.

Daha basitleştirirsek noktalar eğrilerin sınırları yani 1 boyutlu manifoldların yani ''eğrilerin'', 0 boyutlu sınırları ''noktaları'' olarak düşünülebilir. Bu nedenle 0 boyutlu sınırlarda (${\displaystyle [a,b]}$) analizin temel teoremini birkaçıyla genelleyebiliriz.