İçeriğe atla

Stokes sayısı

Stokes sayısının farklı etkilerini gösteren bir illüstrasyon. Turuncu ve yeşil yörüngeler, sırasıyla küçük ve büyük Stokes sayıları için verilmiştir. Turuncu eğri, birden küçük Stokes sayısına sahip ve akış çizgilerini (mavi) takip eden bir parçacığın yörüngesini, yeşil eğri ise birden büyük Stokes sayısına sahip ve akış çizgilerini takip etmeyen bir parçacığın yörüngesini göstermektedir. Bu parçacık, sarı renkle gösterilen noktada engellerden birine (kahverengi daireler) çarpmaktadır.

Stokes sayısı (Stk), George Gabriel Stokes'un adını taşıyan ve parçacıkların bir akışkan akışı içerisinde süspansiyonda gösterdiği davranışı karakterize eden bir boyutsuz sayıdır. Stokes sayısı, bir parçacığın (veya damlanın) karakteristik zamanı ile akışın veya bir engelin karakteristik zamanı arasındaki oran olarak şu şekilde tanımlanır:

Burada, parçacığın relaksasyon süresi (İng. relaxation time; sürüklenme nedeniyle parçacık hızının üstel olarak azaldığı zaman sabiti), engelden uzakta akışın akışkan sürati ve engelin karakteristik boyutu (genellikle çapı) veya akıştaki karakteristik bir uzunluk ölçeğidir (örneğin sınır tabakası kalınlığı).[1] Düşük Stokes sayısına sahip bir parçacık akış çizgilerini takip eder (mükemmel adveksiyon), oysa büyük Stokes sayısına sahip bir parçacık ataletinin etkisi altındadır ve başlangıç yörüngesini izlemeye devam eder.

Stokes akışı durumunda, yani parçacık (veya damlacık) Reynolds sayısı yaklaşık olarak birden küçük olduğunda, parçacığın sürükleme katsayısı Reynolds sayısının kendisiyle ters orantılıdır. Bu durumda, parçacığın karakteristik zamanı şu şekilde ifade edilebilir:

Burada, parçacığın yoğunluğu, parçacık çapı ve akışkanın dinamik viskozitesidir.[2]

Deneysel akışkan dinamiğinde, Stokes sayısı, parçacık görüntü velocimetrisi (PIV) deneylerinde, çok küçük parçacıkların türbülanslı akışlara katılması ve akışkan hareketinin hızını ve yönünü (aynı zamanda akışkanın hız alanı olarak da bilinir) belirlemek amacıyla optik olarak gözlemlenmesi durumunda bir akış izleyici doğruluğu ölçütüdür. Kabul edilebilir izleme doğruluğu için, parçacık yanıt süresi, akışın en küçük zaman ölçeğinden daha hızlı olmalıdır. Küçük Stokes sayıları daha iyi izleme doğruluğunu gösterir; durumunda, parçacıklar özellikle akışın ani bir şekilde yavaşladığı yerlerde akıştan ayrılacaktır. durumunda, parçacıklar akış çizgilerini yakından takip eder. Eğer ise, izleme doğruluğu hataları %1'in altında kalır.[3]

Parçacık görüntü velocimetrisinde (PIV) relaksasyon süresi ve izleme hatası

PIV için izleme doğruluğu açısından iki farklı parçacık boyutunun karşılaştırılması. Durgunluk noktası akış alanında (gri akış çizgileri) propilen glikolün simüle edilmiş parçacıkları (mavi noktalar). 1 mm parçacıkların durgunluk plakasına çarptığına, 0.1 mm parçacıkların ise akış çizgilerini takip ettiğine dikkat edin.
PIV için izleme doğruluğu açısından iki farklı parçacık boyutunun karşılaştırılması. Propilen glikolün simüle edilmiş parçacıkları (mavi noktalar) durgunluk noktası akış alanında (gri akış çizgileri) taşınmaktadır. 1 mm parçacıkların durgunluk plakasına çarptığına, 0.1 mm parçacıkların ise akış çizgilerini takip ettiğine dikkat edin.

Stokes sayısı, daha önce tartışıldığı gibi, PIV veri setlerinin kalitesini değerlendirmek için bir ölçüt sunar. Ancak, her uygulamada karakteristik bir hız veya uzunluk ölçeğinin tanımı açık olmayabilir. Bu yüzden, izleme gecikmesinin nasıl ortaya çıktığını daha iyi anlamak için, Stokes rejimindeki bir parçacığın diferansiyel denklemlerinin tanımlanması gereklidir. Belirli bir hızla hareket eden bir parçacık, akışkanın değişken hız alanıyla karşılaşacaktır. Parçacığın Lagrangian referans çerçevesinde akışkanın hızının olduğunu varsayalım. Bu hızlar arasındaki fark, parçacığın yolunu düzeltmek için gerekli sürükleme kuvvetini oluşturur:

Stokes sürükleme kuvveti şu şekilde tanımlanır:

Parçacığın kütlesi ise şu şekilde hesaplanır:

Bu bağlamda, Newton'un ikinci yasasına göre parçacığın ivmesi şu şekilde bulunabilir:

Relaksasyon süresi olan yerine konularak, ifade şu hale getirilir:

Yukarıdaki birinci derece diferansiyel denklem, Laplace dönüşümü yöntemi ile şu şekilde çözülebilir:

Bu çözüm, frekans alanında, karakteristik zamanı olan birinci dereceden bir sistemi tanımlar. Bu nedenle, −3 dB kazanç (kesim) frekansı şu şekilde olacaktır:

Kesim frekansı ve parçacık transfer fonksiyonu, yan panelde çizilen grafikte, dengesiz akış uygulamalarında PIV hatasının ve bu hatanın türbülans spektral nicelikleri ve kinetik enerji üzerindeki etkisinin değerlendirilmesini sağlar.

Havada farklı parçacık çapları için propilen glikol parçacığının Bode grafiği.
Havada farklı parçacık çapları için propilen glikol parçacığının Bode grafiği.

Şok dalgası üzerinden geçen parçacıklar

Önceki bölümde tartışılan parçacık izleme yanılma hatası, frekans alanında belirgindir, ancak parçacık hareketinin akış alanı ölçümleri yapmak amacıyla izlendiği durumlarda (örneğin, parçacık görüntü velocimetrisinde) bunu değerlendirmek zor olabilir. Yukarıda belirtilen diferansiyel denklemin basit fakat anlamlı bir çözümü, zorlama fonksiyonu bir Heaviside basamak fonksiyonu olduğunda mümkündür; bu, bir şok dalgası üzerinden geçen parçacıkları temsil eder. Bu durumda, şokun yukarısındaki akış hızıdır; ise şok boyunca meydana gelen hız düşüşüdür.

Bir parçacığın basamak yanıtı basit bir üstel fonksiyondur:

Hızı zamanın bir fonksiyonu olarak, parçacık hız dağılımını mesafenin bir fonksiyonu olarak dönüştürmek amacıyla, yönünde 1 boyutlu bir hız sıçraması olduğunu varsayalım. Şok dalgasının konumunda olduğunu varsayalım ve ardından önceki denklemi entegre edelim:

(hızın %95 değişim süresi) relaksasyon süresini dikkate alarak, şu sonucu elde ederiz:

Bu durum, parçacık hızının, şok dalgasından itibaren mesafede aşağı akış hızının %5'ine yerleşeceği anlamına gelir. Pratikte bu, bir PIV sistemi için şok dalgasının yaklaşık olarak bu mesafesi kadar bulanık görüneceği anlamına gelir.

Örneğin, durgunluk sıcaklığı 298 K ve Mach sayısı olan normal bir şok dalgasını düşünelim. çapındaki bir propilen glikol parçacığı, akışı kadar bulanıklaştıracaktır; oysa çapındaki bir parçacık, akışı kadar bulanıklaştıracaktır (bu, çoğu durumda kabul edilemez PIV sonuçları verecektir).

Bir şok dalgası, akışın ani yavaşlamasının en kötü senaryosu olmasına rağmen, PIV'deki parçacık izleme hatasının etkisini ve bu hatanın hız alanlarının mertebesindeki uzunluk ölçeklerinde bulanıklaşmasına neden olduğunu gösterir.

Non-Stokesian sürükleme rejimi

Önceki analiz, ultra-Stokesian rejiminde doğru olmayacaktır, yani parçacık Reynolds sayısı birden çok daha büyük olduğunda geçerli değildir. Mach sayısının birlikten çok daha küçük olduğunu varsayarak, Israel ve Rosner tarafından genelleştirilmiş bir Stokes sayısı formu gösterilmiştir.[4]

Burada , "parçacık serbest-akış Reynolds sayısı" olarak tanımlanır,

Ek olarak tanımlanan fonksiyon ise;[4] non-Stokesian sürükleme düzeltme faktörünü ifade eder,

Bu fonksiyon şu şekilde tanımlanır,

, küresel bir parçacık için non-Stokesian sürükleme düzeltme faktörünü tanımlar

Sınırlandırıcı parçacık serbest-akış Reynolds sayıları dikkate alındığında, olduğunda ve dolayısıyla olur. Bu nedenle, beklenildiği gibi Stokesian sürükleme rejiminde düzeltme faktörü birdir. Wessel & Righi[5] 'yi Schiller & Naumann'ın bir küre üzerindeki sürükleme için ampirik korelasyonundan kullanarak değerlendirmiştir.[6]

Burada sabit olarak alınmıştır. Geleneksel Stokes sayısı, büyük parçacık serbest-akış Reynolds sayıları için sürükleme kuvvetini önemli ölçüde küçümseyecektir. Bu da parçacıkların akış yönünden sapma eğilimini fazla tahmin edecektir. Bu durum, sonraki hesaplamalarda veya deneysel karşılaştırmalarda hatalara yol açacaktır.

Anizokinetik parçacık örneklemesinin uygulanması

Örneğin, Belyaev ve Levin[7] tarafından tanımlanan hizalanmış, ince duvarlı dairesel bir nozul aracılığıyla parçacıkların seçici olarak yakalanması şu şekilde ifade edilmektedir:

burada parçacık konsantrasyonu, hız ve alt simge 0, nozulun oldukça yukarısındaki koşulları belirtir. Karakteristik mesafe nozulun çapıdır. Bu durumda Stokes sayısı şu şekilde hesaplanır,

burada parçacığın çökelme hızı, örnekleme tüpünün iç çapı ve yerçekimi ivmesidir.

Ayrıca bakınız

  • Stokes yasası – Reynolds sayısı birden küçük olan parçacıklar üzerindeki akışkanlarda sürükleme kuvvetini ifade eder.[8]

Kaynakça

  1. ^ Raffel, M.; Willert, C. E.; Scarano, F.; Kahler, C. J.; Wereley, S. T.; Kompenhans, J. (2018). Particle Image Velocimetry. 3rd. Switzerland [u.a.]: Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-68851-0. 
  2. ^ Brennen, Christopher E. (2005). Fundamentals of multiphase flow. Reprint. Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press. ISBN 9780521848046. 
  3. ^ Cameron Tropea; Alexander Yarin; John Foss, (Ed.) (9 Ekim 2007). Springer Handbook of Experimental Fluid Mechanics. Springer. ISBN 978-3-540-25141-5. 
  4. ^ a b Israel, R.; Rosner, D. E. (20 Eylül 1982). "Use of a Generalized Stokes Number to Determine the Aerodynamic Capture Efficiency of Non-Stokesian Particles from a Compressible Gas Flow". Aerosol Science and Technology. 2 (1). ss. 45-51. Bibcode:1982AerST...2...45I. doi:10.1080/02786828308958612. ISSN 0278-6826. 
  5. ^ Wessel, R. A.; Righi, J. (1 Ocak 1988). "Generalized Correlations for Inertial Impaction of Particles on a Circular Cylinder". Aerosol Science and Technology. 9 (1). ss. 29-60. Bibcode:1988AerST...9...29W. doi:10.1080/02786828808959193Özgürce erişilebilir. ISSN 0278-6826. 
  6. ^ L, Schiller & Z. Naumann (1935). "Uber die grundlegenden Berechnung bei der Schwerkraftaufbereitung". Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure. Cilt 77. ss. 318-320. 
  7. ^ Belyaev, SP; Levin, LM (1974). "Techniques for collection of representative aerosol samples". Aerosol Science. 5 (4). ss. 325-338. Bibcode:1974JAerS...5..325B. doi:10.1016/0021-8502(74)90130-X. 
  8. ^ Dey, S; Ali, SZ; Padhi, E (2019). "Terminal fall velocity: the legacy of Stokes from the perspective of fluvial hydraulics". Proceedings of the Royal Society A. 475 (2228). doi:10.1098/rspa.2019.0277Özgürce erişilebilir. PMC 6735480 $2. 20190277. 

Diğer okumalar

İlgili Araştırma Makaleleri

Klasik mekanikte momentum ya da devinirlik, bir nesnenin kütlesi ve hızının çarpımıdır; (p = mv). Hız gibi, momentum da vektörel bir niceliktir, yani büyüklüğünün yanı sıra bir yöne de sahiptir. Momentum korunumlu bir niceliktir ; yani bu, eğer kapalı bir sistem herhangi bir dış kuvvetin etkisi altında değilse, o kapalı sistemin toplam momentumunun değişemeyeceği anlamına gelir. Momentum benzer bir konu olan açısal momentum ile karışmasın diye, bazen çizgisel momentum olarak da anılır.

<span class="mw-page-title-main">Isı iletimi</span>

Isı iletimi ya da kondüksiyon, madde veya cismin bir tarafından diğer tarafına ısının iletilmesi ile oluşan ısı transferinin bir çeşididir.

<span class="mw-page-title-main">Navier-Stokes denklemleri</span> Akışkanların hareketini tanımlamaya yarayan denklemler dizisi

Navier-Stokes denklemleri, ismini Claude-Louis Navier ve George Gabriel Stokes'tan almış olan, sıvılar ve gazlar gibi akışkanların hareketini tanımlamaya yarayan bir dizi denklemden oluşmaktadır.

<span class="mw-page-title-main">İş (fizik)</span>

Fizikte, bir kuvvet bir cisim üzerine etki ettiğinde ve kuvvetin uygulama yönünde konum değişikliği olduğunda iş yaptığı söylenir. Örneğin, bir valizi yerden kaldırdığınızda, valiz üzerine yapılan iş kaldırıldığı yükseklik süresince ağırlığını kaldırmak için aldığı kuvvettir.

<span class="mw-page-title-main">Reynolds sayısı</span>

Akışkanlar dinamiği alanında, Reynolds sayısı, farklı durumlarda akışkan akışı desenlerini tahmin etmeye yardımcı olan bir boyutsuz sayıdır ve eylemsizlik kuvvetleri ile viskoz kuvvetler arasındaki oranı ölçer. Düşük Reynolds sayılarında, akışlar genellikle laminer akış tarafından domine edilirken, yüksek Reynolds sayılarında akışlar genellikle türbülanslı olur. Türbülans, akışkanın hız ve yönündeki farklılıklardan kaynaklanır ve bazen bu yönler kesişebilir veya akışın genel yönüne ters hareket edebilir. Bu girdap akımları, akışı karıştırmaya başlar ve bu süreçte enerji tüketir, bu da sıvılarda kavitasyon olasılığını artırır.

Fizikte, birim zamanda aktarılan veya dönüştürülen enerjiye ya da yapılan işe güç denir, P simgesiyle gösterilir. Uluslararası Birim Sistemi'nde güç birimi, saniyedeki bir joule'e eşit olan watt'tır kısacası J/s. Eski çalışmalarda güç bazen iş olarak adlandırılırmıştır. Güç türetilmiş bir nicelik ve skaler bir büyüklüktür.

<span class="mw-page-title-main">Akım fonksiyonu</span>

Akım Fonksiyonu, eksen simetrisi ile üç boyutta olduğu kadar iki boyutta sıkıştırılamaz akışlar için tanımlanır. Akış hızı bileşenleri, skaler akış fonksiyonunun türevleri olarak ifade edilebilir. Akım fonksiyonu, kararlı akıştaki partiküllerin yörüngelerini gösteren akım çizgileri, çıkış çizgileri ve yörüngeyi çizmek için kullanılabilir. İki boyutlu Lagrange akım fonksiyonu, 1781'de Joseph Louis Lagrange tarafından tanıtıldı. Stokes akım fonksiyonu, eksenel simetrik üç boyutlu akış içindir ve adını George Gabriel Stokes'tan almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Hız</span> vektörel bir fiziksel nicelik

Hız, bir nesnenin hareket yönü ile birlikte olan süratini ifade eder. Hız, cisimlerin hareketini tanımlayan bir klasik mekanik dalı olan kinematikte temel bir kavramdır.

<span class="mw-page-title-main">Enerji biçimleri</span>

Enerji biçimleri, iki ana grubu ayrılabilir: kinetik enerji ve potansiyel enerji. Diğer enerji türleri bu iki enerji türünün karışımdan elde edilir.

Fizikte, Lorentz dönüşümü adını Hollandalı fizikçi Hendrik Lorentz'den almıştır. Lorentz ve diğerlerinin referans çerçevesinden bağımsız ışık hızının nasıl gözlemleneceğini açıklama ve elektromanyetizma yasalarının simetrisini anlama girişimlerinin sonucudur. Lorentz dönüşümü, özel görelilik ile uyum içerisindedir. Ancak özel görelilikten daha önce ortaya atılmıştır.

Kuantum mekaniğinde, spin-yörünge etkileşimi(spin-yörünge etkisi, spin-yörünge bağlaşımı) parçacığın dönüşünün hareketiyle etkileşimidir. En çok bilinen örnek ise, elektronların dönüşü ile elektronların çekirdek etrafındaki dönüşünden dolayı oluşan manyetik alandan dolayı oluşan elektromanyetik etkileşim ve buna bağlı olan elektronların atomik enerji seviyesindeki değişim. Bu tayf çizgilerinden saptanabilir. Buna benzer bir diğer etki proton ve nötronların çekirdekte dönmesinden dolayı oluşan olan Açısal momentum ve güçlü nükleer kuvvet, nükleer kabuk modelindeki değişime neden olur. Spintronik alanında, yarı iletkenlerde ve diğer materyallerde spin yörünge etkileşimi yeni teknolojik gelişimler için araştırılmaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Stres-enerji tensörü</span>

Stres-enerji tensörü, fizikte uzayzaman içerisinde enerji ve momentumun özkütle ve akısını açıklayan, Newton fiziğindeki stres tensörünü genelleyen bir tensördür. Bu, maddedinin, radyasyonun ve kütleçekimsel olmayan kuvvet alanının bir özelliğidir. Stres-enerji tensörü, genel göreliliğin Einstein alan denklemlerindeki yerçekimi alanının kaynağıdır, tıpkı kütle özkütlesinin Newton yerçekiminde bu tip bir alanın kaynağı olması gibi.

Nötrino salınımları, üretilen ve belirli bir lepton türü olan bir nötrinonun daha sonradan farklı bir tür olarak ölçülebilmesine denen bir kuantum mekaniği fenomenidir. Uzaya yayılan nötrinoların türleri periyodik olarak değişir.

<span class="mw-page-title-main">Terminal hızı</span>

Terminal hızı, bir nesnenin bir akışkanın içinde düşerken ulaşabileceği maksimum hızdır. Sürükleme kuvveti (Fd) ve kaldırma kuvvetinin toplamı, nesneye etki eden aşağı doğru yerçekimi kuvvetine (Fg) eşit olduğunda bu hıza ulaşılmaktadır. Cisim üzerindeki net kuvvet sıfır olduğundan, cismin ivmesi sıfırdır.

Fizikte Einstein ilişkisi; 1904'te William Sutherland'in, 1905'te Albert Einstein'ın ve 1906'da Marian Smoluchowski'nin Brown hareketi üzerine yaptıkları çalışmalarında bağımsız olarak ortaya koydukları önceden beklenmedik bir bağlantıdır. Denklemin daha genel biçimi:

Verlet entegrasyonu, Newton'un hareket denklemlerini uygulamak için kullanılan nümerik yöntemlerden biridir. Genellikle Moleküler dinamik simülasyonlarında parçacıkların bir sonraki zaman dilimindeki konumlarını belirlemek için kullanılır. Hız hesaplaması yerine sadece o anki konum, önceki konum ve o anki ivmeyi kullanan bu yöntem Euler yönteminden daha isabetlidir ve gerektirdiği işlem sayısı pek farklı değildir. İlk defa 1791 yılında Delambre tarafından kullanılmıştır ve o zamandan beri çok kez yeniden keşfedilmiştir: 1909'da Cowell and Crommelin tarafından Halley kuyruklu yıldızı'nın yörüngesini hesaplamak için veya 1907'de Carl Størmer tarafından manyetik alandaki elektrik yüklü parçacıkların yörüngesini incelemek için kullanılması gibi. Daha sonra 1960'larda Loup Verlet tarafından moleküler dinamikte kullanıldı.

<span class="mw-page-title-main">Keulegan-Carpenter sayısı</span>

Akışkanlar dinamiği alanında, Keulegan–Carpenter sayısı, aynı zamanda periyot sayısı olarak da bilinir, salınımlı bir akışkan akışı içinde bulunan künt cisimler üzerindeki sürükleme kuvvetinin atalet kuvvetlerine göre göreli önemini belirten bir boyutsuz niceliktir. Aynı şekilde, durgun bir akışkan içinde salınan cisimler için de geçerlidir. Küçük Keulegan–Carpenter sayılarında atalet kuvvetleri baskınken, büyük sayılarda türbülans nedeniyle sürükleme kuvvetleri önem kazanır.

Akışkanlar mekaniğinde, Rayleigh sayısı (Ra, Lord Rayleigh'e ithafen) bir akışkan için kaldırma kuvveti ilişkili bir boyutsuz sayıdır. Bu sayı, akışkanın akış rejimini karakterize eder: belirli bir alt aralıkta bir değer laminer akışı belirtirken, daha yüksek bir aralıktaki değer türbülanslı akışı belirtir. Belirli bir kritik değerin altında, akışkan hareketi olmaz ve ısı transferi konveksiyon yerine ısı iletimi ile gerçekleşir. Çoğu mühendislik uygulaması için Rayleigh sayısı büyük olup, yaklaşık 106 ile 108 arasında bir değerdedir.

<span class="mw-page-title-main">Weber sayısı</span>

Weber sayısı (We), akışkanlar mekaniği alanında farklı iki akışkan arasındaki ara yüzeylerin bulunduğu akışkan akışlarını analiz ederken sıkça kullanılan bir boyutsuz sayıdır ve özellikle yüksek derecede eğilmiş yüzeylere sahip çok fazlı akışlar için oldukça faydalıdır. Bu sayı, Moritz Weber (1871–1951)'in adıyla anılmaktadır. Bu sayı, akışkanın eylemsizliğinin yüzey gerilimine kıyasla göreceli önemini ölçmek için kullanılan bir parametre olarak düşünülebilir. İnce film akışlarının ve damlacık ile kabarcık oluşumlarının analizinde büyük önem taşır.

Womersley sayısı, biyoakışkan mekaniği ve biyoakışkan dinamiği alanlarında kullanılan bir boyutsuz sayıdır. Bu sayı, pulsatil akış frekansının viskoz etkilerle olan ilişkisini boyutsuz bir biçimde ifade eder. John R. Womersley (1907–1958)'in arterlerdeki kan akışı üzerine yaptığı çalışmalar nedeniyle bu adla anılmaktadır. Womersley sayısı, bir deneyin ölçeklendirilmesinde dinamik benzerlik sağlamak açısından önem taşır. Örneğin, deneysel çalışmalarda damar sisteminin ölçeklendirilmesi bu duruma örnek teşkil eder. Ayrıca, Womersley sayısı, giriş etkilerinin ihmal edilip edilemeyeceğini belirlemek için sınır tabakası kalınlığının tespitinde de önemlidir.