Standart normal dağılım

Normal dağılım kullanılarak bazı olasılık değerlerini elde etmek zor ve zahmetli bir iştir.^[1]^[2]^[3] Bu yüzden, elde edilen normal dağılımın ortalaması sıfıra ve varyansı da bire eşitlenerek daha kolay işlem yapılır.^[4] Bu işlem için kullanılan yönteme, standart normal dağılım denir.^[5]^[6]^[7]

X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})\,\!

şeklinde gösterilen normal dağılımın X değişkeninden normal dağılımın ortalaması çıkartılıp standart sapmasına bölünerek bir standartlaştırma işlemi yapmış olunur ve bu da şu şekilde gösterilir:

{\frac {X-\mu }{\sigma }}\!=Z\sim N(0,1)\,\!

Örneğin bir sınıftaki not ortalaması 20 ve varyansı da 25 olan bir normal dağılımda 22'den daha az not alınma olasılığını bulmak için:

X\sim N(20,25)\,\!

şeklinde tanımı yaptıktan sonra bu veriler standart normal dağılım şekline dönüştürülür:

{\frac {22-20}{5}}\!=Z\sim N(0,1)\,\!

P(X<22) = P(Z<(22-20)/5) = P(Z<0.4) şeklinde standart normal dağılım olasılığı elde edilir. 0.4 olasılığını bulmak için standart normal dağılım tablosundan yararlanılır. Bulunan sonuç yerine koyularak P(Z<0.4) = 0,6554 olasılığı elde edilir. Yani, 22'den daha az not alma olasılığı yaklaşık %65 olarak hesaplanır. Bu tür veriler üniversitelerde not dağılımını hesaplamakta kullanıldığı için normal dağılım diğer bir adı olan "çan eğrisi" olarak da adlandırılır.^[8]

Standart normal dağılımın olasılık gösterimleri:

P(Z>Z₀) = 1 - P(Z<Z₀)
P(Z<-Z₀) = 1 - P(Z<Z₀)
P(Z>-Z₀) = P(Z<Z₀) [Normal dağılımın simetrik olmasından dolayı da görülebilir]
P(Z_a<Z<Z_b) = P(Z<Z_b) - P(Z<Z_a)
P(-Z_a<Z<Z_b) = P(Z<Z_b) - [ 1 - P(Z<Z_a) ] = P(Z<Z_b) + P(Z<Z_a) - 1

Kaynakça

^ O' Hagan, Anthony (2013). The Oxford handbook of applied Bayesian analysis. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198703174.
^ Racine, Jeffrey (2014). The Oxford handbook of applied nonparametric and semiparametric econometrics and statistics. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199857944.
^ Akemann, Gernot (2011). The Oxford handbook of random matrix theory. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198744191.
^ Hajek, Alan (2016). The Oxford handbook of probability and philosophy (1. bas.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199607617.
^ Chemla, Karine (2016). The Oxford handbook of generality in mathematics and the sciences. Oxford, Birleşik Krallık: Oxford University Press. ISBN 978-0198777267.
^ Ferraty, Frederic (2011). The Oxford handbook of functional data analysis. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199568444.
^ Baltagi, Badi H. (2015). The Oxford handbook of panel data. New York, NY: Oxford University Press. ISBN 978-0199940042.
^ Wilson, Robin J. (2016). Combinatorics: a very short introduction (1. bas.). Oxford, Birleşik Krallık: Oxford University Press. ISBN 978-0198723493.

İlgili Araştırma Makaleleri

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında t-dağılımı ya da Student'in t dağılımı genel olarak örneklem sayısı veya sayıları küçük ise ve anakütle normal dağılım gösterdiği varsayılırsa çıkartımsal istatistik uygulaması için çok kullanılan bir sürekli olasılık dağılımıdır. Çok popüler olarak tek bir anakütle ortalaması için güven aralığı veya hipotez sınaması ve iki anakütle ortalamasının arasındaki fark için güven aralığı veya hipotez sınamasında, yani çıkarımsal istatistik analizlerde, uygulama görmektedir.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında varyans bir rassal değişken, bir olasılık dağılımı veya örneklem için istatistiksel yayılımın, mümkün bütün değerlerin beklenen değer veya ortalamadan uzaklıklarının karelerinin ortalaması şeklinde bulunan bir ölçüdür. Ortalama bir dağılımın merkezsel konum noktasını bulmaya çalışırken, varyans değerlerin ne ölçekte veya ne derecede yaygın olduklarını tanımlamayı hedef alır. Varyans için ölçülme birimi orijinal değişkenin biriminin karesidir. Varyansın karekökü standart sapma olarak adlandırılır; bunun ölçme birimi orijinal değişkenle aynı birimde olur ve bu nedenle daha kolayca yorumlanabilir.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında ki-kare dağılım özellikle çıkarımsal istatistik analizde çok geniş bir pratik kullanım alanı bulmuştur.

Hipotez testi, bir hipotezin doğruluğunun istatistiksel bir güvenilirlik aralığında saptanması için kullanılan yöntem.

Normal dağılım, aynı zamanda Gauss dağılımı veya Gauss tipi dağılım olarak isimlendirilen, birçok alanda pratik uygulaması olan, çok önemli bir sürekli olasılık dağılım ailesidir.

Standart sapma, Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, bir anakütle, bir örneklem, bir olasılık dağılımı veya bir rassal değişken, veri değerlerinin yayılımının özetlenmesi için kullanılan bir ölçüdür. Matematik notasyonunda genel olarak, bir anakütle veya bir rassal değişken veya bir olasılık dağılımı için standart sapma σ ile ifade edilir; örneklem verileri için standart sapma için ise s veya s'

Merkezi limit teoremi büyük bir sayıda olan bağımsız ve aynı dağılım gösteren rassal değişkenlerin aritmetik ortalamasının, yaklaşık olarak normal dağılım göstereceğini ifade eden bir teoremdir. Matematiksel bir ifadeyle, bir merkezi limit teoremi olasılık kuramı içinde bulunan bir zayıf yakınsama sonucu setidir. Bunların hepsi, birçok bağımsız aynı dağılım gösteren rassal değişkenlerin herhangi bir toplam değerinin limitte belirli bir "çekim gücü gösteren dağılıma" göre dağılım gösterme eğiliminde olduğu gerçeğini önerir.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, binom dağılımı n sayıda iki kategori (yani başarı/başarısızlık, evet / hayır, 1/0 vb) sonucu veren denemelere uygulanır. Araştırıcının ilgi gösterdiği kategori başarı olarak adlandırılır. Bu türlü her bir deneyde, bağımsız olarak, başarı (=evet=1) olasılığının p olduğu (ve yalnızca iki kategori sonuç mümkün olduğu için başarısızlık olasılığının 1 - p olduğu) bilinir. Bu türlü bağımsız n sayıda denemeler serisi içinde elde edilen başarı sayısının ayrık olasılık dağılımı binom dağılım olarak tanımlanır. Bir binom dağılım sadece iki parametre ile, yani n ve p ile tam olarak tanımlanır. Matematik notasyon olarak bir rassal değişken X binom dağılım gösterirse şöyle ifade edilir:

X ~ B(n,p)

Poisson dağılımı, olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında bir ayrık olasılık dağılımı olup belli bir sabit zaman birim aralığında meydana gelme sayısının olasılığını ifade eder. Bu zaman aralığında ortalama olay meydana gelme sayısının bilindiği ve herhangi bir olayla onu hemen takip eden olay arasındaki zaman farkının, önceki zaman farklarından bağımsız oluştuğu kabul edilir.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, zeta dağılımı bir ayrık olasılık dağılımıdır. Eğer X s parametresi ile zeta dağılımı gösteren bir bir rassal değişken ise, Xin k tam sayısı değerini almasının olasılığı şu olasılık kütle fonksiyonu ile belirtilir:

\text{[math]}

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında Weibull dağılımı ) bir sürekli olasılık dağılımı olup olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle ifade edilir:

\text{[math]}

Olasılık kuramı ve bir dereceye kadar istatistik bilim dallarında basıklık kavramı 1905da K. Pearson tarafından ilk defa açıklanmıştır. Basıklık kavramı bir reel değerli rassal değişken için olasılık dağılımının, grafik gösteriminden tanımlanarak ortaya çıkarılan bir kavram olan, sivriliği veya basıklığı özelliğinin ölçümüdür. Basıklık kavramının ayrıntıları olasılık kuramı içinde geliştirilmiştir. Betimsel istatistik için bir veri setinin basıklık karakteri pek dikkate alınmayan bir özellik olarak görülmektedir. Buna bir neden parametrik çıkarımsal istatistik alanında basıklık hakkında hemen hemen hiçbir kestirim veya sınama bulunmamasındandır ve pratik istatistik kullanımda basıklık pek önemsiz bir karakter olarak görülmektedir. Belki de basıklık ölçüsünün elle hesaplanmasının hemen hemen imkânsızlığı buna bir neden olmuştur.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dalları içinde matris normal dağılımı tek değişebilirli normal dağılımının çok değişkenli olarak genelleştirilmesidir.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, çokdeğişirli normal dağılım veya çokdeğişirli Gauss-tipi dağılım, tek değişirli bir dağılım olan normal dağılımın çoklu değişirli hallere genelleştirilmesidir.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında log-normal dağılım logaritması normal dağılım gösteren herhangi bir rassal değişken için tek-kuyruklu bir olasılık dağılımdır. Eğer Y normal dağılım gösteren bir rassal değişken ise, bu halde X= exp(Y) için olasılık dağılımı bir log-normal dağılımdır; aynı şekilde eğer X log-normal dağılım gösterirse o halde log(X) normal dağılım gösterir. Logaritma fonksiyonu için bazın ne olduğu önemli değildir: Herhangi iki pozitif sayı olan a, b ≠ 1 için eğer log_a(X) normal dağılım gösterirse, log_b(X) fonksiyonu da normaldir.

İstatistik bilim dalında, Kolmogorov-Smirnov (K-S) sınaması parametrik olmayan istatistik olup Andrey Kolmogorov ve Nikolai Smirnov adlarındaki iki Sovyet bilim insanı tarafından oluşturulmuştur.

Güven aralığı, istatistik biliminde bir anakütle parametresi için bir çeşit aralık kestirimi olup bir çıkarımsal istatistik çözüm aracıdır. Bir anakütle parametre değerinin tek bir sayı ile kestirimi yapılacağına, bu parametre değerini kapsayabilecek iki sayıdan oluşan bir aralık bulunur. Böylece güven aralıkları bir kestirimin ne kadar güvenilir olduğunu gösterir.

Matematikte Gauss fonksiyonu, bir fonksiyon biçimidir ve şöyle ifade edilir:

\text{[math]}

Normalleştirme sabiti, olasılık kuramı ve matematiğin diğer çeşitli alanlarında ortaya çıkar. Örneğin normal dağılımın normalleştirme sabitini hesaplamak için Gauss integrali kullanılabilir.

<span class="mw-page-title-main">Hata payı</span>

Hata marjı ya da hata payı bir anketin sonuçlarındaki rastgele örnekleme hatası miktarını ifade eden bir istatistiktir. Hata payı ne kadar büyükse, anket sonucunun yığın özelliklerini yansıtacağına duyulan güven o kadar az olmalıdır. Bir popülasyon eksik örneklenip çıktı ölçüsü pozitif varyansa sahip olduğunda, yani ölçü değiştiğinde, hata marjı pozitif olur.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.