Soyut cebir

Soyut cebir veya soyut matematik, matematiğin bir alanı olup, cebirsel yapılar üzerinde çalışır. Cebirsel yapılar, elemanları üzerinde belirli işlemlerin uygulandığı kümelerdir ve gruplar, halkalar, alanlar, modüller, vektör uzayları, kafesler ve alan üzerindeki cebirler içerir. Soyut cebir terimi, 20. yüzyılın başlarında temel cebirden ayırmak amacıyla türetilmiştir. Soyut cebir ileri matematik için temel hale geldikçe basitçe "cebir" olarak adlandırılırken, "soyut cebir" terimi pedagoji dışında nadiren kullanılır.

Soyut cebir kavramı günümüzde tüm cebirsel yapılar üzerine yapılan çalışmayı ifade etmektedir, temel cebirden farkı, bilinmeyen, çözümsüz gerçek ve karmaşık sayılardan oluşan cebirsel ifadeler ve formüller için doğru kurallar gösterir.

Temel cebir, gerçek alan ve basit cebir olarak bilinen yapıların başlangıç kısmı olarak ele alınabilir.

19. yüzyıldan önce cebir, polinomların incelenmesi olarak tanımlanıyordu. Soyut cebir, daha karmaşık problemler ve çözüm yöntemleri geliştikçe 19. yüzyılda ortaya çıktı. Somut problemler ve örnekler sayı teorisinden, geometri, analiz ve cebirsel denklemlerin çözümlerinden geldi. Günümüzde soyut cebirin bir parçası olarak kabul edilen teorilerin çoğu, matematiğin çeşitli dallarından farklı gerçeklerin koleksiyonları olarak başladı, çeşitli sonuçların gruplandırıldığı bir çekirdek görevi gören ortak bir tema edindi ve sonunda ortak bir kavram kümesi temelinde birleştirildi. Bu birleşme, 20. yüzyılın ilk on yıllarında gerçekleşti ve gruplar, halkalar ve alanlar gibi çeşitli cebirsel yapıların resmi aksiyomatik tanımlarıyla sonuçlandı.

Matematikçiler, matematiğin birçok alanında kullanılan ayrıntıları soyutlayarak, çeşitli cebirsel yapıları tanımlamışlardır. Örneğin, incelenen sistemlerin hemen hemen hepsi kümelerdir ve küme teorisinin teoremleri bunlara uygulanır. Üzerinde belirli bir ikili işlem tanımlanmış olan küme, magma olmaktadır. Cebirsel yapıya, ilişkisellik (yarı gruplar oluşturmak için); özdeşlik ve tersler (gruplar oluşturmak için); ve diğer daha karmaşık yapılar gibi ek kısıtlamalar ekleyebiliriz. Cebirsel yapılara ayrıntı ekledikçe daha fazla teorem kanıtlanabilir, fakat genellik azalır. Cebirsel nesnelerin "hiyerarşisi" (genellik açısından), karşılık gelen teorilerin bir hiyerarşisini yaratır: örneğin, grup teorisinin teoremleri, bir halkanın işlemlerinden biri üzerinde bir grup olması nedeniyle halkaları (belirli aksiyomlara sahip iki ikili işlemi olan cebirsel nesneler) incelerken kullanılabilir. Genel olarak, teorinin genelliği ile zenginliği arasında bir denge vardır: daha genel yapılar genellikle daha az sayıda önemsiz olmayan teorem ve daha az uygulamaya sahiptir.

Bir ikili işlemli cebirsel yapı örnekler:

• Magma
• Quasigroup
• Monoid
• Yarı grup
• Grup

Birçok ikili işlemli cebirsel yapı örnekler:

• Halka
• Alan
• Modül
• Vektör uzayı
• Alan üzerindeki cebir
• Lie cebiri
• Kafes
• Boole cebiri

Soyut cebirin birçok bölümü vardır. Aşağıdaki bölümlerin dışında modüller, vektör uzayları, kafesler ve alan üzerindeki cebirler bölümler olmaktadır.

Üzerinde bir tane ${\displaystyle *:M\times M\rightarrow M}$ ikili işlemi tanımlanmış bir ${\displaystyle M}$ kümesi magma olarak adlandırılır.

Eğer bir ${\displaystyle G}$ magması aşağıdaki üç özelliği şağlıyorsa:

• Bileşme aksiyomu: Her ${\displaystyle a,b,c\in G}$ için ${\displaystyle a*(b*c)=(a*b)*c}$
• Etkisiz eleman: Öyle bir ${\displaystyle e\in G}$ mevcuttur ki her ${\displaystyle a\in G}$ için ${\displaystyle a*e=e*a=a}$
• Ters eleman: Her ${\displaystyle a\in G}$ için öyle bir ${\displaystyle a^{-1}\in G}$ elemanı vardır ki ${\displaystyle a*a^{-1}=a^{-1}*a=e}$

${\displaystyle (G,*)}$ kümesine grup adı verilir. Basitçe ${\displaystyle G}$ gösterimi kullanılır ve işlem belli ise her ${\displaystyle a,b\in G}$ için ${\displaystyle a*b}$ yerine ${\displaystyle ab}$ yazılmaktadır. Bileşme aksiyomu sağlayan bir magmayı yarı grup, hem bileşme aksiyomu hem de etkisiz eleman özelliği sağlayan bir magmayı monoid denir. Ayrıca ${\displaystyle G}$ grubu değişme özelliği de sağlıyorsa:

• Değişme: Her ${\displaystyle a,b\in G}$ için ${\displaystyle ab=ba}$

${\displaystyle G}$ grubu ya değişmeli grup ya da Abelyen grup denmektedir.

Eğer üzerinde birer tane toplama: ${\displaystyle +:(x,y)\mapsto x+y}$ ve çarpma: ${\displaystyle *:(x,y)\mapsto xy}$ işlemleri tanımlanmış bir ${\displaystyle H}$ kümesi aşağıdaki üç özelliği sağlıyorsa:

• ${\displaystyle (H,+)}$ değişmeli bir grup
• ${\displaystyle (H,*)}$ bir monoid
• ${\displaystyle *}$ işlemi ${\displaystyle +}$ işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılmalı

${\displaystyle (H,+,*)}$ kümesine halka adı verilir. Basitçe ${\displaystyle H}$ gösterimi kullanılır. Toplama işlemin etkisiz elemanına genellikle ${\displaystyle 0}$, çarpma işlemin etkisiz elemanına da ${\displaystyle 1}$ simgeleri kullanılır.

Eğer ${\displaystyle A}$ değişmeli halkası aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa:

• ${\displaystyle 0\neq 1}$
• ${\displaystyle 0}$ hariç her elemanın çarpma işlemiyle ters elemanı var

${\displaystyle A}$ halkasına alan adı verilir.

Genel olması nedeniyle soyut cebir, matematik ve bilimin birçok alanında kullanılır. Mesela, cebirsel topoloji, topolojileri incelemek için cebirsel nesneleri kullanır. 2003'te kanıtlanan Poincaré varsayımı, bir manifoldun bağlantılılık hakkında bilgi kodlayan temel grubunun, bir manifoldun küre olup olmadığını belirlemek için kullanılabileceğini ileri sürer. Cebirsel sayılar teorisi, tam sayılar kümesini genelleştiren çeşitli sayı halkalarını inceler. Andrew Wiles, cebirsel sayılar teorisinin araçlarını kullanarak Fermat'ın Son Teoremini kanıtladı.

Fizikte, gruplar simetri işlemlerini temsil etmek için kullanılır ve grup teorisinin kullanımı diferansiyel denklemleri basitleştirebilir. Gösterge teorisinde, yerel simetri gereksinimi bir sistemi tanımlayan denklemleri çıkarmak için kullanılabilir. Bu simetrileri tanımlayan gruplar Lie gruplarıdır ve Lie grupları ve Lie cebirlerinin incelenmesi fiziksel sistem hakkında çok şey ortaya çıkarır; örneğin, bir teorideki kuvvet taşıyıcılarının sayısı Lie cebirinin boyutuna eşittir ve bu bozonlar, Lie cebiri nonabelian ise aracılık ettikleri kuvvetle etkileşime girer.