Skellam dağılımı

Skellam

Olasılık kütle fonksiyonu Skellam dağılımının olasılık kütle fonksiyonu için örnekler. Yatay eksen k endeksidir. Noktaları bağlayan doğru parçaları görüş kolaylığı içindir, süreklilik ifade etmez.)
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	${\displaystyle \mu _{1}\geq 0,~~\mu _{2}\geq 0}$
Destek	${\displaystyle \{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}}$
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF)	${\displaystyle e^{-(\mu _{1}\!+\!\mu _{2})}\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k/2}\!\!I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})}$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)
Ortalama	${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}\,}$
Medyan	N/A
Mod
Varyans	${\displaystyle \mu _{1}+\mu _{2}\,}$
Çarpıklık	${\displaystyle {\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{3/2}}}}$
Fazladan basıklık	${\displaystyle 1/(\mu _{1}+\mu _{2})\,}$
Entropi
Moment üreten fonksiyon (mf)	${\displaystyle e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{t}+\mu _{2}e^{-t}}}$
Karakteristik fonksiyon	${\displaystyle e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{it}+\mu _{2}e^{-it}}}$

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında Skellam dağılımı bir ayrık olasılık dağılım tipidir. Skellam dağılımı iki tane (aralarında korelasyon bulunabilen ve) beklenen değerleri ${\displaystyle \mu _{1}}$ ve ${\displaystyle \mu _{2}}$ olan Poisson dağılımı gösteren rassal değişken ${\displaystyle K_{1}}$ ve ${\displaystyle K_{2}}$ arasında bulunan fark olan ${\displaystyle K_{1}-K_{2}}$nin gösterdiği olasılık dağılımdır.

Kullanış alanları çok farklılık göstermektedir; beyzbol, buz hokeyi ve futbol gibi sporlarda ABD'de çok popüler olan yayılmış bahis (spread betting) yöntemini tanımlamak ve fizikte iki imajin basit foton gürültüsünü (photon noise) açıklamak için kullanılmıştır.

Bu kısımda geliştirilen karakteristikler iki değişkenin arasındaki korelasyonun etkilerini ele almayacaktır. Aralarında korelasyon bulunan iki değişken farkının da analize katılması ile ortaya çıkan sonuçlar için bakın^[1] .^[2]

Önce bir Poisson dağılımı için olasılık kütle fonksiyonunun şu olduğu hatırlansın:

${\displaystyle f(k;\mu )={\mu ^{k} \over k!}e^{-\mu }\,}$

Skellam olasılık kütle fonksiyonu iki Poisson dağılım arasındaki çapraz korelasyon olur (Skellam, 1946):^[3]${\displaystyle f(k;\mu _{1},\mu _{2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!f(k\!+\!n;\mu _{1})f(n;\mu _{2})}$

${\displaystyle =e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{{\mu _{1}^{k+n}\mu _{2}^{n}} \over {n!(k+n)!}}}$

${\displaystyle =e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\mu _{1} \over \mu _{2}}\right)^{k/2}I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})}$

Burada I _k(z) birinci şekilde değiştirilmiş Bessel fonksiyonu olur. Yukarıdaki formüller için eğer faktöriyel negatif değer taşımaktaysa o değerin 0 olacağı kabul edilmiştir. Bir özel hal olan ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}(=\mu )}$ için bakin:^[4]${\displaystyle f\left(k;\mu ,\mu \right)=e^{-2\mu }I_{k}(2\mu )}$

Eğer değerler küçükse, Bessel fonksiyonu için limit değerleri kullanılarak, Poisson dağılımını ${\displaystyle \mu _{2}=0}$ için ozel bir hal olarak Skellam dağılımı yerine kullanabiliriz.

Skellem dağılımı için olasılık kütle dağılımı normalize edilerek şöyle elde edilir:

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }f(k;\mu _{1},\mu _{2})=1.}$

Poisson dağılımı için olasılık üreten fonksiyon şöyle verilir:

${\displaystyle G\left(t;\mu \right)=e^{\mu (t-1)}.}$

Bunlar kullanılarak Skellam dağılımı için olasılık üreten fonksiyon ortaya çıkartılır:

${\displaystyle G(t;\mu _{1},\mu _{2})=\sum _{k=0}^{\infty }f(k;\mu _{1},\mu _{2})t^{k}}$

${\displaystyle =G\left(t;\mu _{1}\right)G\left(1/t;\mu _{2}\right)\,}$

${\displaystyle =e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}t+\mu _{2}/t}.}$

Olasılık üreten fonksiyonu incelenince görülmektedir ki herhangi bir sayıda bağımsız Skellam dağılımı gösteren değişkenlerin toplamları veya farklılıkları da tekrar Skellam dağılımı göstereceklerdir.

Bazı referanslara göre iki Skellam dağılımlı değişkenin herhangi bir doğrusal bileşiği de Skellem dağılımı gösterir. Fakat bu doğru değildir; çünkü herhangi çarpım sayısı dağılımın destek alanını değiştirecektir.

Skellam dağılımı için moment üreten fonksiyon şudur:

${\displaystyle M\left(t;\mu _{1},\mu _{2}\right)=G(e^{t};\mu _{1},\mu _{2})}$

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}\,m_{k}}$

Bunlardan ham moment değerleri m_k  bulmak için şu tanımlara bakılsın:

${\displaystyle \Delta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mu _{1}-\mu _{2}\,}$

${\displaystyle \mu \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (\mu _{1}+\mu _{2})/2.\,}$

Bunlardan 3 ham moment m_k değerleri şöyle çıkartılır:

${\displaystyle m_{1}=\left.\Delta \right.\,}$

${\displaystyle m_{2}=\left.2\mu +\Delta ^{2}\right.\,}$

${\displaystyle m_{3}=\left.\Delta (1+6\mu +\Delta ^{2})\right.\,}$

Merkezsel momentler M _k şunlardır:

${\displaystyle M_{2}=\left.2\mu \right.,\,}$

${\displaystyle M_{3}=\left.\Delta \right.,\,}$

${\displaystyle M_{4}=\left.2\mu +12\mu ^{2}\right..\,}$

Beklenen değer, varyans, çarpıklık katsayısı and basıklık katsayısı sırasıyla şöyle verilir::

${\displaystyle \left.\right.E(n)=\Delta \,}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\left.2\mu \right.\,}$

${\displaystyle \gamma _{1}=\left.\Delta /(2\mu )^{3/2}\right.\,}$

${\displaystyle \gamma _{2}=\left.1/2\mu \right..\,}$

Kümülant üreten fonksiyon şu şekilde verilmiştir:

${\displaystyle K(t;\mu _{1},\mu _{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \ln(M(t;\mu _{1},\mu _{2}))=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}\,\kappa _{k}}$

ve bundan kümülant değerleri elde edilir:

${\displaystyle \kappa _{2k}=\left.2\mu \right.}$

${\displaystyle \kappa _{2k+1}=\left.\Delta \right..}$

Özel hal olan μ₁ = μ₂ için ayrıntılı sonuçlar M.Abromowitz et.al. referansındadır.^[5]