Matematikte cebirin temel teoremi karmaşık değişkenli polinomların köklerinin varlığıyla ilgili temel bir sonuçtur. D'Alembert-Gauss teoremi olarak da anılmaktadır.
Kuantum fiziğinde dalga fonksiyonu izole bir kuantum sistemindeki kuantum durumunu betimler. Dalga fonksiyonu karmaşık değerli bir olasılık genliğidir ve sistem üzerindeki olası ölçümlerin olasılıklarının bulunmasını sağlar. Dalga fonksiyonu için en sık kullanılan sembol Yunan psi harfidir ψ ve Ψ.
Doğrusal cebir ya da lineer cebir; matematiğin, vektörler (yöney), vektör uzayları, doğrusal dönüşümler, doğrusal denklem takımları ve matrisleri (dizey) inceleyen alanıdır. Vektör uzayları, modern matematiğin merkezinde yer alan bir konudur. Bundan dolayı doğrusal cebir hem soyut cebirde hem de fonksiyonel analizde sıkça kullanılır. Doğrusal cebir, analitik geometri ile de alakalı olup sosyal bilimlerde ve fen bilimlerinde yaygın bir uygulama alanına sahiptir.
Matematikte matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur. Dizeyler daha çok doğrusal denklemleri tanımlamak, doğrusal dönüşümlerde çarpanların takibi ve iki parametreye bağlı verilerin kaydedilmesi amacıyla kullanılırlar. Dizeylerin toplanabilir, çıkartılabilir, çarpılabilir, bölünebilir ve ayrıştırılabilir olmaları, doğrusal cebir ve dizey kuramının temel kavramı olmalarını sağlamıştır.
Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:
Süper simetri, parçacık fiziğinde uzay-zaman simetrisinin karşılığıdır. Bu iki temel parçacıktan oluşur.
Matematikte, dördeyler, karmaşık sayıları bir gerçel, üç sanal boyuta genişleten sayı sistemidir. İlk defa İrlandalı matematikçi Sir William Rowan Hamilton tarafından 1843 yılında tanımlanmış ve 3 boyutlu uzaydaki matematiğe uygulanmışlardır. Kuaterniyonlar değişme özelliğine sahip değildir. Her ne kadar pek çok uygulamada vektörler ve matrisler dördeylerin yerini almışsa da, kuramsal ve uygulamalı matematikte hala kullanılmaktadırlar. Başlıca kullanım alanı, 3 boyutlu uzayda dönme hareketinin hesaplanmasıdır.
Doğrusal denklem dizgesi, birkaç tane aynı tip değişkenleri içeren birkaç tane doğrusal denklemlerin oluşturduğu topluluktur. Örneğin:
Matematikte Hilbert uzayı, sonlu boyutlu Öklit uzayında uygulanabilen lineer cebir yöntemlerinin genelleştirilebildiği ve sonsuz boyutlu da olabilen bir vektör uzayıdır. Daha kesin olarak, bir Hilbert uzayı, uzayın tam metrik uzay olmasını sağlayan bir uzaklık fonksiyonu üreten bir iç çarpımla donatılmış bir vektör uzayıdır. Bir Hilbert uzayı, bir Banach uzayının özel bir durumudur. Matematik, fizik ve mühendislikte sıkça kullanılmaktadır. Kuantum mekaniğiyle uyumludur. Adını David Hilbert'ten almaktadır.
Geometride, afin dönüşüm veya ilgin dönüşüm, afin uzaylar arasında noktaları, düz çizgileri ve düzlemleri koruyan bir eşlemedir. Ayrıca, paralel çizgi kümeleri bir afin dönüşüm sonrası paralel kalır. Bir afin dönüşümde aynı doğru üzerinde duran noktalar arasındaki mesafe oranları korunmasına rağmen, çizgiler arasındaki açılar ve noktalar arasındaki mesafeler korunmayabilir.
Matematik'te, sonsuzküçük dönüşüm limiti sıfıra yaklaşan çok küçük bir dönüşümdür. Örneğin üç-boyutlu uzayda bir katı cismin sonsuzküçük dönüşünden bahsedilebilir. Geleneksel olarak 3×3'lük bir A çarpık-simetrik matrisi ile gösterilir. Bu tam anlamıyla bir dönüş matrisi değildir; ama bir ε değişkeninin çok küçük gerçel değerleri için
Doğrusal cebirde sütun vektör veya sütun matris, m × 1 matrisidir. Örneğin; tek bir m sütunundan oluşan bir matris şöyle ifade edilir;
Doğrusal cebirde köşegen matris, (↘) ilkköşegenin dışında kalan girişlerin tümü sıfır ve genellikle kare matris olan bir matrisdir. n sütun ve n satırdan oluşan D = (di,j) matrisi şöyledir:
,
Doğrusal cebirde, kare matris, satır ve sütun sayıları eşit olan bir matrisdir. n ye n lik bir matris, boyutu n olan bir kare matris olarak bilinir. Aynı boyuta sahip herhangi iki matriste, toplama ve çarpma işlemleri yapılabilir.
Doğrusal cebirde, satır vektör veya satır matris, 1 × m matrisidir. Örneğin; tek bir m sütunundan oluşan bir matris şöyle ifade edilir;
Matematikte, özellikle doğrusal cebir ve sayısal analizde, Gram–Schmidt süreci bir dizi vektörleri bir iç çarpım uzayı içinde ortonormal etmek için kullanılan bir yöntemdir. İç çarpım uzayında olan vektörler, genellikle Öklid uzayında Rn donatılmış olan standart iç çarpım vektörlerdir. Gram–Schmidt süreci bir sonlu, doğrusal bağımsız kümeni, S = {v1, ..., vk}, k ≤ n, alıp ve R'in aynı k-boyutlu alt uzayında yayılan ortogonal kümeni, S′ = {u1, ..., uk}, üretmektedir.
Matematikte, özellikle doğrusal cebirde, sıfır matris tüm elemanları sıfır olan bir matristir. Bu matris cebirdeki sıfır sayısının rolünü oynar. Bazı sıfır matris örnekleri:
Simetri yalnızca geometride değil, matematiğin diğer dallarında da ortaya çıkar. Simetri bir tür değişmezliktir: matematiksel bir nesnenin bir dizi işlem veya dönüşüm altında değişmeden kaldığı özelliktir.
Lineer cebirde bir matris, Gauss eliminasyonunun sonucu olan şekle sahipse eşelon biçimindedir.
