Silindirik ve küresel koordinatlarda vektör alanı

NOT: Bu sayfa küresel koordinatların fizik gösterimi içindir, ${\displaystyle \theta }$ z ekseni arasındaki açıdır.ve yarıçap vektörü söz konusu noktaya orijinden bağlantılıdır, bu ${\displaystyle \phi }$ açısı x-y düzlemi ve x ekseni ile vektör yarıçapının izdüşümü arası açıdır. Diğer bazı tanımları da kullanılıyor ve çok dikkatli farklı kaynaklardan karşılaştırarak alınmalıdır.^[1]

Vektörler (p, φ, z) ile silindirik koordinatlarda tanımlanıyor, burada

• p , xy düzlemine r vektörünün izdüşüm uzunluğu,
•  φ pozitif x-ekseninin (0 ≤  φ < 2π) xy-düzlemi (i.e. r)vektör izdüşümünü ile arasındaki açıdır,
• z bilinen z-koordinatı.

(p, φ, z) kartezyen koordinatlarda şöyle verilir:

${\textstyle {\begin{bmatrix}p\\\phi \\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\operatorname {arctan} (y/x)\\z\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,}$

veya tersi yoluyla:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p\cos \phi \\p\sin \phi \\z\end{bmatrix}}.}$

Herhangi bir vektör alanı birim vektörleri tarafından yazılabilir:

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{p}\mathbf {\hat {p}} +A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}} }$

Silindirik birim vektörleri ile kartezyen birim vektörleri ilişkilidir:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {p}} \\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}$

• Not: bu matris bir ortogonal matristir, şöyle ki, o terstir, basittir, transpozedir.

"vektör alanı A"nın zaman içindeki değişikliklerini bulmak için biz zaman türevlerini hesaplıyoruz.

Bunu desteklemek için zaman türevleri için biz Newton gösterimini kullanıyoruz (${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}}$). Kartezyen koordinatlar içinde bu basitçe:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {A}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

Bununla birlikte silindirik koordinatlar şu alınır:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{p}{\hat {\boldsymbol {p}}}+A_{p}{\dot {\hat {\boldsymbol {p}}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\hat {\boldsymbol {\phi }}}+A_{\phi }{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\boldsymbol {z}}}+A_{z}{\dot {\hat {\boldsymbol {z}}}}}$

Birim vektörlerin zaman türevlerine ihtiyacımız var.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {p} }}}&={\dot {\phi }}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\\{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}{\hat {\mathbf {p} }}\\{\dot {\hat {\mathbf {z} }}}&=0\end{aligned}}}$

ile verilir. Zaman türevleri basitçe:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\hat {\boldsymbol {p}}}({\dot {A}}_{p}-A_{\phi }{\dot {\phi }})+{\hat {\boldsymbol {\phi }}}({\dot {A}}_{\phi }+A_{p}{\dot {\phi }})+{\hat {\mathbf {z} }}{\dot {A}}_{z}}$

fizikte ilginç olan ikinci zaman türevidir, klasik mekanik sistemde hareketin denklemi bulunuyor . Bir vektör alanının silindirik koordinatlarda ikinci zaman türevi şu denklem yoluyla veriliyor:

${\displaystyle \mathbf {\ddot {A}} =\mathbf {\hat {p}} ({\ddot {A}}_{p}-A_{\phi }{\ddot {\phi }}-2{\dot {A}}_{\phi }{\dot {\phi }}-A_{p}{\dot {\phi }}^{2})+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}({\ddot {A}}_{\phi }+A_{p}{\ddot {\phi }}+2{\dot {A}}_{p}{\dot {\phi }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}^{2})+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {A}}_{z}}$

Bu ifadeyi anlamak için, A = P eşitliğine inanıyoruz, burada p, (r, θ, z) vektörüdür.

Bu demektir ki ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {P} =p\mathbf {\hat {p}} +z\mathbf {\hat {z}} }$.

Biz koymak yerine sonra:

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {P} }}=\mathbf {\hat {p}} ({\ddot {p}}-p{\dot {\phi }}^{2})+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}(p{\ddot {\phi }}+2{\dot {p}}{\dot {\phi }})+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {z}}}$

Mekanikte,bu şekilde ifade açısından:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {p}}\mathbf {\hat {p}} &={\mbox{central outward acceleration}}\\-p{\dot {\phi }}^{2}\mathbf {\hat {p}} &={\mbox{centripetal acceleration}}\\p{\ddot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}&={\mbox{angular acceleration}}\\2{\dot {p}}{\dot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}&={\mbox{Coriolis effect}}\\{\ddot {z}}\mathbf {\hat {z}} &={\mbox{z-acceleration}}\end{aligned}}}$

Ayrıca bakınız: merkezcil çekim kuvveti, Açısal hız, Coriolis etkisi.

(r,θ,φ) ile küresel koordinatlar içinde tanımlanan vektörler

• r vektörünün boyudur,
• θ pozitif z-ekseni ve söz konusu vektör arasındaki açı(0 ≤ θ ≤ π)
• φ vektör ontolojik "X-Y" düzleminin projeksiyonu ve x-ekseni pozitif tarafı arasındaki açıdır (0 ≤ φ < 2π),

(by:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\ r\\\theta \\\phi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\arccos(z/\ r)\\\arctan(y/x)\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \theta \leq \pi ,\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,}$

tarafından

ya da ters tarafından:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ r\sin \theta \cos \phi \\\ r\sin \theta \sin \phi \\\ r\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

Birim vektör yardımıyla herhangi bir vektör alanı yazılabilir:

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$

Küresel birim vektör are Kartezyen birim vektörlerle şöyle ilişkilidir:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\cos \theta \sin \phi &-\sin \theta \\-\sin \phi &\cos \phi &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}$

• Not: Bu matris bir ortogonal matristir, o terstir, basitçetranspozedir.

Zaman içinde nasıl vektör alanı bir değişiklik bulmak için biz zaman türevinin hesaplamalıyız Kartezyen koordinatlarda bu basitçe:

${\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{x}\mathbf {\hat {x}} +{\dot {A}}_{y}\mathbf {\hat {y}} +{\dot {A}}_{z}\mathbf {\hat {z}} }$

Ancak, küresel koordinatlarda Bu hale gelir:

${\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{r}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}+{\dot {A}}_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}}$

Bu birim vektörlerin zaman türevleri gerekir. Bunlar tarafından verilmektedir:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}&={\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}&=-{\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {r}}}-{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}\end{aligned}}}$

zamana göre türevleri alınırsa:

${\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {r}}}({\dot {A}}_{r}-A_{\theta }{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\sin \theta )+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}({\dot {A}}_{\theta }+A_{r}{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta )+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}({\dot {A}}_{\phi }+A_{r}{\dot {\phi }}\sin \theta +A_{\theta }{\dot {\phi }}\cos \theta )}$

• gradyan, diverjans, curl özellikleri için, Silindirik ve küresel koordinatlarda del ve laplasyen in çeşitli koordinat sistemlerinde.