İçeriğe atla

Satır basamak formu

Lineer cebirde bir matris, Gauss eliminasyonunun sonucu olan şekle sahipse eşelon biçimindedir.

Bir matrisin satır basamak formunda olması, satırlar üzerinde Gauss eliminasyonu işlemleri yapıldığı anlamına gelir. Sütun basamak formu ise Gauss eliminasyonunun sütunlar üzerinde yapılmış olduğu anlamına gelir. Başka bir deyişle, bir matrisin transpozu satır basamak biçiminde ise, matris sütun basamak biçimindedir. Bu nedenle bu makalenin geri kalanında yalnızca satır basamaklı formlar ele alınacaktır. Sütun basamak formunun benzer özellikleri, tüm matrislerin yer değiştirmesi ile kolayca çıkarılabilir. Bir matris bu özellikleri taşıyorsa satır basamak formundadır.

  • Yalnızca sıfırlardan oluşan tüm satırlar en alttadır.[1]
  • Sıfırdan farklı her satırın baştaki değeri (sıfırdan sonra gelen en soldaki değer), yukarıdaki satırın baştaki değerinin sağındadır.[2]

Bazı metinler baş katsayının 1[3] olması şartını da ekler, bazıları ise katsayıların 1 olduğu örnekleri indirgenmiş satır basamaklı form olarak kabul eder.

Bu iki koşul, bir sütundaki baş katsayının altındaki tüm değerlerin sıfır olduğu anlamına gelir.[4]

Aşağıdaki, satır basamak formundaki 4x5'lik bir matris örneğidir, bu matris indirgenmiş satır basamak formunda değildir (aşağıya bakınız):

Matrislerin kerte ve boşuzay gibi pek çok özelliği, satır basamak formlarından kolayca çıkarılabilir.

İndirgenmiş satır basamak formu

Bir matris, aşağıdaki koşulları karşılıyorsa indirgenmiş satır basamaklı formdadır (aynı zamanda satır kanonik formu da denir):[4]

  • Sıralı basamak formundadır.
  • Sıfırdan farklı her satırın başındaki değer 1'dir.
  • Başında 1 bulunan her sütunun diğer tüm değerleri sıfırdır.

Bir matrisin indirgenmiş sıralı basamak formu Gauss-Jordan eliminasyonu ile hesaplanabilir. Satır basamaklı formundan farklı olarak, bir matrisin indirgenmiş satırlı basamaklı biçimi benzersizdir ve hesaplamak için kullanılan algoritmaya bağlı değildir.[5] Belirli bir matris için, satır basamak formu benzersiz olmamasına rağmen, tüm satır basamak ve indirgenmiş satır basamak formları aynı sayıda sıfır satıra sahiptir ve pivotlar aynı indekslerde yer almaktadır.[5]

Aşağıdaki, indirgenmiş satır basamak basamak formundaki bir matris örneğidir. Görüldüğü üzere, matrisin sol kısmı her zaman birim matris olmayabilir.

Tamsayı katsayılı matrisler için Hermite normal formu, kalanlı bölme kullanılarak ve herhangi bir rasyonel sayı veya payda kullanılmadan hesaplanabilen bir satır basamak formudur. Öte yandan, tam sayı katsayılı bir matrisin indirgenmiş basamak formu genellikle tam sayı olmayan katsayılar içerir.

Satır kademe formuna dönüşüm

Gauss eliminasyonu adı verilen sonlu temel satır işlemleri dizisi aracılığıyla, herhangi bir matris satır basamak formuna dönüştürülebilir. Temel satır işlemleri matrisin satır uzayını koruduğu için, satır basamak basamak formunun satır uzayı orijinal matrisin satır uzayıyla aynıdır.

Ortaya çıkan kademeli form benzersiz değildir; basamak formundaki herhangi bir matris, yukarıdaki satırlardan birine bir satırın skaler katının eklenmesiyle (eşdeğer) basamak formuna yerleştirilebilir, örneğin:

Bununla birlikte, her matrisin benzersiz bir indirgenmiş sıralı basamak formu vardır. Yukarıdaki örnekte indirgenmiş sıralı basamak formu şu şekilde bulunabilir:

Bu, indirgenmiş satırlı basamak formunun sıfırdan farklı satırlarının, orijinal matrisin satır uzayı için benzersiz indirgenmiş satır basamaklı oluşturma kümesi olduğu anlamına gelir.

Kaynakça

  1. ^ Phrased in terms of each individual zero row in Leon (2010):"A matrix is said to be in row echelon form ... (iii) If there are rows whose entries are all zero, they are below the rows having nonzero entries."
  2. ^ Leon (2010):"A matrix is said to be in row echelon form ... (ii) If row k does not consist entirely of zeros, the number of leading zero entries in row is greater than the number of leading zero entries in row k."
  3. ^ See, for instance, the first clause of the definition of row echelon form in Leon (2010): "A matrix is said to be in row echelon form (i) If the first nonzero entry in each nonzero row is 1."
  4. ^ a b Meyer 2000
  5. ^ a b Howard Anton, Chris Rorres (23 Ekim 2013). Elementary Linear Algebra: Applications Version, 11th Edition (İngilizce). Wiley Global Education. s. 21. ISBN 9781118879160. 

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Matris (matematik)</span>

Matematikte matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur. Dizeyler daha çok doğrusal denklemleri tanımlamak, doğrusal dönüşümlerde çarpanların takibi ve iki parametreye bağlı verilerin kaydedilmesi amacıyla kullanılırlar. Dizeylerin toplanabilir, çıkartılabilir, çarpılabilir, bölünebilir ve ayrıştırılabilir olmaları, doğrusal cebir ve dizey kuramının temel kavramı olmalarını sağlamıştır.

<span class="mw-page-title-main">Doğrusal denklem dizgesi</span>

Doğrusal denklem dizgesi, birkaç tane aynı tip değişkenleri içeren birkaç tane doğrusal denklemlerin oluşturduğu topluluktur. Örneğin:

Determinant kare bir matris ile ilişkili özel bir sayıdır.

Pivot ya da pivot element algoritmaların bir matris, dizi veya bir tür sonlu küme içinden, bir hesaplamada kullanılmak üzere seçtiği ilk elemandır. Matris algoritmaları için pivotun en azından sıfırdan farklı olması istenir ve genellikle sıfırdan uzak bir değer seçilir. Bu durumda algoritmanın düzgün çalışması için uygun pivot seçiminde satır veya sütunlar aralarında yer değiştirtilebilir.

Vektör otoregresyon (VAR), tek değişkenli AR modellerini genelleştiren, çoklu zaman serileri arasındaki gelişimi ve karşılıklı bağımlılığı veren ekonometrik bir modeldir. Bir VAR'daki tüm değişkenler, modeldeki değişkenin kendi gecikmeleri ve diğer tüm değişkenlerin gecikmelerine bağlı olarak değişkenin gelişimini açıklayarak her bir değişken için bir denklem ile simetrik olarak ele alır. Bu özellik sebebiyle Christopher Sims, ekonomik ilişkilerin tahmininde teoriden bağımsız bir metot olarak VAR modelleri kullanımını, böylelikle yapısal modellerin "inanılmaz tanımlama kısıtlamalarına" bir alternatif olarak destekler.

<span class="mw-page-title-main">Boşuzay</span>

Doğrusal cebirde, bir matrisinin boşuzayı (kernel, null space) bağıntısını sağlayan tüm vektörlerinin oluşturduğu kümedir. Bir matrisinin 'boşuzay' boyutu, matrisine çarpıldığında sıfır sonucunu veren birbirinden bağımsız yöneylerine göre hesaplanır.

Tridiagonal matris algoritması, Thomas algoritması olarak da bilinmektedir, sayısal lineer cebirde tridiagonal denklem sistemlerini çözmek için kullanılan basitleştirilmiş bir Gauss eleme yöntemidir.

Matematik ve özellikle doğrusal cebirde, bir çarpık-simetrik matris, transpozu aynı zamanda olumsuzu olan bir kare matristir; yani durumunu sağlar. Eğer satırı ve sütunundaki giriş ise, çarpık-simetrik matris ilişkisine sahiptir. Örneğin, aşağıdaki matris çarpık-simetriktir:

Doğrusal cebirde sütun vektör veya sütun matris, m × 1 matrisidir. Örneğin; tek bir m sütunundan oluşan bir matris şöyle ifade edilir;

Doğrusal cebirde köşegen matris, (↘) ilkköşegenin dışında kalan girişlerin tümü sıfır ve genellikle kare matris olan bir matrisdir. n sütun ve n satırdan oluşan D = (di,j) matrisi şöyledir:

,
<span class="mw-page-title-main">Kare matris</span>

Doğrusal cebirde, kare matris, satır ve sütun sayıları eşit olan bir matrisdir. n ye n lik bir matris, boyutu n olan bir kare matris olarak bilinir. Aynı boyuta sahip herhangi iki matriste, toplama ve çarpma işlemleri yapılabilir.

<span class="mw-page-title-main">Üçgen matris</span>

Doğrusal cebirde üçgen matris, bir özel kare matris tir. Kare matrisin ilkköşegeninin üstündeki girişlerin tümü sıfır ise alt üçgen matris, benzer şekilde ilkköşegenin altındaki girişlerinin tümü sıfır ise üst üçgen matris olarak adlandırılır. Üçgen matris, ya alt üçgen ya da üst üçgen olabilir. Hem üst hem de alt üçgen matris köşegen matris olarak adlandırılır. Matris denklemlerinden dolayı üçgen matrislerin çözümü kolaydır. Bu matrisler sayısal analizde çok sık kullanılır.

Doğrusal cebirde, satır vektör veya satır matris, 1 × m matrisidir. Örneğin; tek bir m sütunundan oluşan bir matris şöyle ifade edilir;

Doğrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte matris çarpımı, bir matris çiftinde yapılan ve başka bir matris üreten ikili işlemdir. Reel veya karmaşık sayılar gibi sayılarda temel aritmetiğe uygun olarak çarpma yapılabilir. Başka bir ifade ile matrisler, sayı dizileridir. Bu yüzden, matris çarpımını ifade eden tek bir yöntem yoktur. "Matris çarpımı" terimi çoğunlukla, matris çarpımının farklı yöntemlerini ifade eder. Matris çarpımının anahtar özellikleri şunlardır: Asıl matrislerin satır ve sütun sayıları, ve matrislerin girişlerinin nasıl yeni bir matris oluşturacağıdır.

Doğrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte matris toplamı, iki matrisin ilgili girişlerinin eklenmesi işlemidir. Matrisler için diğer bir toplama işlemi türü doğrudan toplamdır.

Jacobi metodu, sayısal lineer cebirde lineer denklemlerin diyagonal olarak baskın sistemlerin çözümlerinin belirlenmesi için oluşturulmuş bir algoritmadır. Her diyagonal eleman tek tek çözülür ve yaklaşık bir değer olarak alınır. Bu aşama onlar yakınsayana kadar tekrarlanır. Bu algoritma matris köşegenleştirilmesi Jacobi dönüşüm metodunun sadeleştirilmiş şeklidir. Bu metot daha sonra Carl Gustav Jacob Jacobi olarak isimlendirilmiştir.

Diğer bir adı sabitlerin değişimi olarak bilinir. Bu teknik homojen olmayan lineer diferansiyel denklemlerde partiküler (özel) çözümü bulmak için kullanılır.

<span class="mw-page-title-main">Birim matris</span> asal köşegendeki sayıları bir, diğer sayıları sıfır olan kare matris

Lineer cebirde, n boyutlu birim matris, ana köşegeni birlerden ve diğer elemanları sıfırlardan oluşan n × n boyutlu bir kare matristir. In ya da sadece I ile gösterilir. Kuantum mekaniği gibi bazı alanlarda, birim matris kalın bir rakamı 1 ile de gösterilir. Nadiren, bazı kitaplarda İngilizce ve Almanca kelimelerin baş harfleri olan U ya da E ile gösterildiği olur.

Lineer cebirde, özdeğer ayrışımı ya da eigen ayrışımı, bir matrisin özdeğerleri ve özvektörleri cinsinden ifade edilen daha basit matrislere ayrıştırılmasıdır. Sadece kare matrisler özdeğerlerine ayrıştırılabilir.

Matematikte, satır azaltma olarak da bilinen Gauss eliminasyonu, lineer denklem sistemlerini çözmek için kullanılan bir algoritmadır. Karşılık gelen katsayı matrisi üzerinde gerçekleştirilen bir dizi işlemden oluşur. Bu yöntem aynı zamanda bir matrisin sırasını, bir kare matrisin determinantını ve ters çevrilebilir bir matrisin tersini hesaplamak için de kullanılabilir. Yöntem adını Carl Friedrich Gauss'tan (1777-1855) almıştır ancak yöntemin bazı özel durumları - kanıt olmadan sunulsa da - Çinli matematikçiler tarafından MS. 179 dolaylarında biliniyordu.