Sanal yerdeğiştirme

Bir sanal yerdeğiştirme ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$ zaman sabit tutulduğunda sistemin koordinatlarında meydana gelen sonsuz küçük değişimdir. Gerçekte tüm yer değiştirmeler zamana bağlı olduğundan, bu değişime "gerçek" yerine "sanal" denilmiştir. Zamana,${\displaystyle t}$ ve diğer değişkenlere, ${\displaystyle \lbrace q_{1},q_{2},...,q_{m}\rbrace }$, bağlı olan sistem konum vektörlerinin herhangi bir kümesinin tam türevi, aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

${\displaystyle d\mathbf {r} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}dt+\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}}$

Sanal yerdeğiştirmeyi (sanal diferansiyel yerdeğiştirme) ise aşağıdaki gibi ifade ederiz:

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}}$

Bu denklem Lagrange mekaniğindeki sanal iş kavramında, genelleştirilmiş koordinatlar (${\displaystyle q_{j}}$) ile genelleştirilmiş kuvvetleri (${\displaystyle Q_{j}}$) ilişkilendirmek için kullanılır.

Analitik mekanikte sanal iş kavramı ile ilişkili olan sanal yer değiştirme kavramı, sadece hareketinde bağ koşulları bulunan bir fiziksel sistemi tartışırken anlam kazanır. Sonsuz küçük yerdeğiştirmenin (genellikle ${\displaystyle d\mathbf {r} }$ şeklinde ifade edilir) bir özel hali olan sanal yerdeğiştirme (${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$ şeklinde ifade edilir), bağ koşullarını sağlayacak şekilde sistemin konum koordinatlarındaki sonsuz küçük bir yerdeğiştirmeye karşılık gelir.

Örneğin bir boncuğun hareketi, onun bir halka üzerinde döneceği şekilde kısıtlanmışsa, boncuğun konumu onun bulunduğu açıyı veren ${\displaystyle \theta }$ koordinatı ile gösterilebilir. Diyelim ki boncuk halkanın üst kısmında bulunuyor. Boncuğu bulunduğu yükseklik olan ${\displaystyle z}$ 'den ${\displaystyle z+dz}$ yüksekliğine çıkarmak mümkün olan sonsuz küçük yerdeğiştirmelerden biridir. Ancak bu yerdeğiştirme bağ koşuluna uygun değildir. Tek mümkün sanal yerdeğiştirme boncuğun konumunu bir ${\displaystyle \theta }$ konumundan, yeni bir ${\displaystyle \theta +\delta \theta }$ konumuna taşımak olurdu (${\displaystyle \delta \theta }$ pozitif veya negatif olabilir).

Dikkat edilmesi gereken bir husus ta sanal yerdeğiştirmelerin yalnızca uzaysal yerdeğiştirmeler olduğudur(bu yerdeğiştirmeler meydana gelirken zaman sabittir). Zamanın ve uzayın fonksiyonu olan niceliklerin sanal diferansiyellerini hesaplarken zamana bağlılık göz önüne alınmaz (bu matematiksel olarak ${\displaystyle \delta t=0}$ ifadesine eşdeğerdir).