Sıfır (karmaşık analiz)

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorf bir f fonksiyonunun sıfırı veya kökü f(a) = 0 eşitliğini sayılan karmaşık a sayısına verilen bir addır.^[1] Başka bir deyişle, holomorf fonksiyonların sıfır değerini aldığı karmaşık sayılara o fonksiyonun sıfırları adı verilir.

Sıfırın derecesi

Eğer f holomorf fonksiyonu, a noktasında sıfır değeri almayan holomorf bir g fonksiyonu kullanılarak

f(z)=(z-a)g(z)\,

şeklinde yazılabiliyorsa, o zaman a 'ya f 'nin basit sıfırı veya derecesi 1 olan sıfırı adı verilir. Bu tanım genelleştirilebilir: Eğer a noktasında sıfır değeri almayan holomorf bir g fonksiyonu kullanılarak, holomorf bir f fonksiyonu

f(z)=(z-a)^{n}g(z)\,

şeklinde yazılabiliyorsa, o zaman a, f 'nin derecesi n olan sıfırıdır. Bu terimler bu halleriyle kesin bir kullanıma sahip değildirler. Sıfırlarından bahsedilen holomorf bir fonksiyon varsa, a, n'yinci dereceden bir sıfırdır demekle f'nin a noktasındaki sıfır derecesi n'dir demek verilen tanıma denk gelen ifadelerdir. Bir değişkenli holomorf bir f fonksiyonun sıfırlarının oluşturduğu $Z_{f}$ kümesine F 'nin sıfır kümesi adı verilir; yani $Z_{f}=\{a\in \mathbb {C} :f(a)=0\}$ .

Sıfırların varlığı ve özellikleri

Karmaşık düzlemdeki holomorf bir polinomun sıfırlarının varlığını kanıtlayan teorem cebirin temel teoremidir. Bu durum, gerçel sıfırlar göz önüne alındığında doğru olmayabbilri. Örneğin, f(x) = x² + 1 fonksiyonu her ne kadar gerçel katsayılara sahipse de, bu fonksiyona sıfır değerini aldıracak gerçel bir kök bulunmamaktadır.

Polinomlar için geçerli bu durum karmaşık düzlemdeki tüm fonksiyonlar için geçerli olmayabilir. Mesela, her tam fonksiyon sıfıra sahip olmayabilir. Buna basit bir örnek olarak karmaşık üstel fonksiyon verilebilir. Üstel fonksiyon, karmaşık düzlemde, 0 değeri hariç her değeri sonsuz kere alır. Ancak, sabit olmayan bir tam fonksiyonun almadığı değer sayısı da Picard teoreminin sayesinde en fazla 1 olabilir.

Belli noktalarda, sonlu veya sonsuz sayıda, sıfıra sahip bir fonksiyon oluşturmak içinse Blaschke çarpımları kullanılır. bir fonksiyonun karmaşık düzlemdeki açık bir alt kümesindeki sıfır sayısını bulmak için ise genelde Rouché teoremi kullanılır. Karmaşık analizin sıfırları ilgilendiren önemli teoremleri arasında Jensen formülü ve Weierstrass çarpanlara ayırma teoremi de vardır.

Bir değişkenli holomorf fonksiyonların sıfırları hakkındaki önemli bir özellik, bu sıfırların korunmalı olmasıdır. Yani, f 'yi sıfır yapan bir a karmaşık sayısı etrafında öyle küçük bir daire bulanabilir ki bu daire içindeki tüm noktalar arasından sadece a f 'yi sıfır yapar. Bu korunmalı özellik durumu, tek karmaşık değişkenli holmorf fonksiyonlar için geçerlidir. Daha fazla karmaşık değişkene sahip holmorf fonksiyonların bu özelliği yoktur.

Ayrıca bakınız

Kök (karmaşık analiz)
Kutup (karmaşık analiz)
Hurwitz teoremi (karmaşık analiz)
Rouché teoremi

Not ve kaynaklar

^ Kök terimi daha çok polinomlar bahis konusu olduğunda kullanılmaktadır.

Conway, John (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 0-387-90328-3.
Conway, John (1995). Functions of One Complex Variable II. Springer. ISBN 0-387-94460-5.

Dış bağlantılar

İlgili Araştırma Makaleleri

Matematikte cebirin temel teoremi karmaşık değişkenli polinomların köklerinin varlığıyla ilgili temel bir sonuçtur. D'Alembert-Gauss teoremi olarak da anılmaktadır.

Karmaşık analiz ya da başka bir deyişle kompleks analiz, bir karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır. Bir değişkenli karmaşık analize ya da çok değişkenli karmaşık analizle beraber tümüne karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi de denilir.

Karmaşık analizde, tam fonksiyon veya başka bir deyişle integral fonksiyonu, karmaşık düzlemin tümünde holomorf olan karmaşık değerli bir fonksiyondur. Tam fonksiyonların tipik örnekleri polinomlar, üstel fonksiyon ve bunların toplamları, çarpımları ve bileşkeleridir. Her tam fonksiyon tıkız kümeler üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayan kuvvet serileri ile temsil edilebilir. Doğal logaritma ya da karekök fonksiyonu tam bir fonksiyona uzatılamaz.

Karmaşık analizde kutup ya da doğru bir söylemle bir meromorf fonksiyonun kutbu, 1/zⁿ 'nin z = 0 noktasındaki tekilliği gibi davranan matematiksel bir tekilliktir. Bu özellikle şu anlama gelir: Bir f(z) fonksiyonun z = a noktasındaki kutbu, z noktası a noktasına yaklaştıkça f(z)'yi sonsuza düzgün bir şekilde yaklaştıran noktadır.

Matematikte karmaşık düzlem, gerçel eksen ve ona dik olan sanal eksen tarafından oluşturulmuş, karmaşık sayıların geometrik bir gösterimidir. Karmaşık sayının gerçel kısmının x-ekseni boyuncaki yer değiştirmeyle, sanal kısmının ise y-eksenindeki yer değiştirmeyle temsil edildiği değiştirilmiş bir Kartezyen düzlem olarak düşünülebilir.

Karmaşık analizde Charles Émile Picard'ın ismine atfedilen Picard teoremi analitik bir fonksiyonun görüntü kümesiyle ilişkin ayrı ayrı ama yine de birbirine bağlı iki teoremdir.

Karmaşık analizde açık gönderim teoremi, U, karmaşık düzlem C 'nin bağlantılı açık bir altkümesiyse ve f : U → C sabit olmayan holomorf bir fonksiyonsa, o zaman f 'nin açık gönderim olduğunu ifade eder.

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, korunmalı tekillik kendisine yakın başka bir tekilliğin olmadığı tekillik çeşididir.

Karmaşık analizde, bir kaldırılabilir tekillik veya daha düzgün bir söylemle, bir holomorf fonksiyonun kaldırılabilir tekilliği, fonksiyonun görünüşte holomorf olmadığı; ancak daha yakın bir incelemeden sonra fonksiyonun tanım kümesinin bu tekilliği de içerecek şekilde genişletilebileceği bir noktadır.

Meromorf fonksiyon, özellikle karmaşık analizde, bir fonksiyon çeşidi. Daha açık bir ifadeyle, meromorf fonksiyon, karmaşık düzlemin açık bir D kümesi üzerinde fonksiyonun kutup noktalarından oluşan belli bir korunmalı noktalar kümesi haricinde D 'nin geriye kalan diğer noktalarının tümünde holomorf olan fonksiyondur. Meromorf kelimesi Yunanca "kısım", "parça" anlamına gelen “meros” ve "tüm", "bütün" anlamına gelen “holos” kelimelerinin tezat bir birleşiminden ortaya çıkmış bir kelimedir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Hurwitz teoremi, matematikçi Adolf Hurwitz'in ispatladığı ve bu yüzden onun ismini almış önemli bir sonuçtur. Genel bir şekilde ifade etmek gerekirse, Hurwitz teoremi karmaşık düzlemdeki bir bölge üzerinde tanımlı bir holomorf fonksiyonlar dizisinin sıfırları ile bu dizinin limiti olan fonksiyonun sıfırlarını ilişkilendirir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Schwarz önsavı, karmaşık düzlemdeki birim daire üzerinde tanımlı ve değer kümesi yine aynı birim daire olan holomorf fonksiyonların aldığı değerlerin üzerine kestirimler veren önemli bir sonuçtur. Her ne kadar bilim dizininde önsav olarak isim almışsa da kendi başına önemli bir teoremdir. Bu sonuç, günümüzde herhangi bir karmaşık analiz kitabında ifade edilen şeklinden daha farklı bir şekilde ilk defa Alman matematikçi Hermann Amandus Schwarz tarafından kendi doktora tezinde ifade edilmiştir. Sonucu günışığına çıkarıp günümüzdeki ifadesini yazan ve aynı zamanda bu önsavın tanınmasını sağlayan matematikçi ise Yunan matematikçi Constantin Carathéodory olmuştur.

<span class="mw-page-title-main">Kök (matematik)</span>

Matematikte gerçel, karmaşık veya daha genel bir anlamda vektör değerli bir fonksiyonun kökü, fonksiyonun tanım kümesinde bulunan ve fonksiyonun 0 değerini aldığı noktalardır. Yani, eğer bir V kümesinden bir W vektör uzayına tanımlı bir fonksiyonu

\text{[math]}

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde maksimum ilkesi veya maksimum modülüs prensibi veya en büyük mutlak değer teoremi holomorf bir $\text{[math]}$ fonksiyonunun tanım kümesi olan bir bölgede fonksiyonun mutlak değeri olan $\text{[math]}$ 'nin yerel bir maksimuma sahip olamayacağını belirten önemli bir sonuçtur.

Sözde dışbükey bölgeler, matematikte karmaşık analizin ve çok değişkenli karmaşık analizin merkezinde yer alan holomorf fonksiyonların doğal tanım kümeleridir.

Holomorf fonksiyonlar karmaşık analizin temel çalışma araçlarından biridir. Bu fonksiyonlar karmaşık düzlemin yani C'nin açık bir altkümesinde tanımlı, bu altkümedeki her noktada karmaşık anlamda türevli ve aldığı değerler yine C içinde olan fonksiyonlardır.

Karmaşık analizde Casorati-Weierstrass teoremi, holomorf fonksiyonların esaslı tekillikler civarındaki olağanüstü davranışlarını açıklayan bir ifadedir. Teorem, Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ve Felice Casorati'ye atfen isimlendirilmiştir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorfluk bölgesi, üzerinde tanımlı olan holomorf fonksiyolardan en az bir tanesinin daha büyük bir bölgeye holomorf özelliğini koruyarak devam ettirelemediği bölgelere verilen addır. Karmaşık düzlemdeki açık kümelerin hepsi holomorfluk bölgesidir. Ancak, karmaşık düzlemde geçerli olan bu sonucun dengi bir sonuç yüksek boyutlu uzayda herhangi bir bölge için geçerli değildir. Bu yüzden, holomorfluk bölgelerin belirleyici özelliklerini bulmak yirminci yüzyılın ilk yarısında çok değişkenli karmaşık analizde en yoğun çalışılmış konulardan birisi olmuştur. Bu farklılığı ilk defa Fritz Hartogs göz önüne sermiştir ve sonuç en genel haliyle Hartogs devam (genişleme) teoremi olarak bilinmektedir.

Matematikte, çok değişkenli karmaşık analiz ya da çok boyutlu karmaşık analiz, karmaşık koordinat uzayı $\text{[math]}$ de ya da bu uzayın altkümeleri üzerinde tanımlı ve karmaşık değer alan fonksiyonların teorisi; yani, birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisidir.

Matematiğin bir alt dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde Hartogs teoremi, birden fazla karmaşık değişkenle tanımlı holomorf fonksiyonların her bir karmaşık değişkene göre ayrı ayrı holomorf olmasının fonksiyonun sürekli olduğunu verdiğini ifade eden bir sonuçtur. Başka bir deyişle, eğer $\text{[math]}$ her $\text{[math]}$ için $\text{[math]}$ değişkeninde holomorf ise, $\text{[math]}$ sürekli bir fonksiyondur. Teorem, Friedrich Hartogs'un adını taşımaktadır.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.