Russel paradoksu - Turkipedia

Matematiğin temellerinde, 1901'de Bertrand Russell tarafından keşfedilen Russell Paradoksu, Georg Cantor tarafından yaratılan sezgisel kümeler kuramının resmileştirilmesinin bazı girişimlerin bir çelişkiye yol açtığını gösterdi. Aynı paradoks 1899'da Ernst Zermelo tarafından da keşfedilmişti^[1] ancak Zermelo, sadece David Hilbert, Edmund Husserl ve Göttingen Üniversitesi'nin diğer üyeleri tarafından bilinen fikri yayınlamadı. 1890'ların sonunda Cantor, tanımının Hilbert ve Richard Dedekind'e mektupla söylediği bir çelişkiye yol açacağını fark etmişti.^[2]

Sezgisel kümeler kuramına göre, tanımlanabilir herhangi bir topluluk kümedir. O halde, X kendisini eleman olarak içermeyen kümeler kümesi olsun. Eğer X kendisinin bir elemanı değilse, kendisini içermelidir çünkü X kendisini içermeyen kümeleri içeren bir kümedir. Eğer X kendisinin bir elemanıysa, X kendisini içermeyen bir kümedir çünkü X kümesi kendisini içermeyen kümelerden oluşur. Oluşan bu paradoksa Russel Paradoksu denir.

Sembolik olarak:

R=\{x\mid x\not \in x\}\rightarrow R\in R\iff R\not \in R

Örnek

Çoğu küme kendi elemanı değildir. Örneğin, X bir düzlemdeki tüm karelerin kümesi olsun. Bu küme, düzlemde yer alan bir kare olmadığından kendisinin bir elemanı değildir. Eğer bir küme kendi elemanı değilse bu kümeye "normal küme", eğer kendi elemanıysa "anormal küme" diyelim. Yani yukarıda bahsedilen X kümesi normaldir. Öte yandan, X kümesinin tümleyeni, yani düzlemde kare olmayan her şeyi içeren küme, kendini içereceğinden ötürü anormal bir kümedir.

Y kümesi, tüm normal kümeleri içeren küme olsun. Y'nin normal mi yoksa anormal mi olduğunu anlamaya çalışacağız. Eğer Y normalse, o zaman kendini eleman olarak içermeli çünkü Y normal kümeler kümesiydi. Yalnız bu durumda Y kendisini içerdiği için tanım itibarıyla anormaldir. Öte yandan eğer Y anormalse, Y kendini eleman olarak içermemesi gerekir, ama kendini içermemesi onu normal küme yapar.

Sonuç olarak, Y ne normal ne de anormal bir kümedir. Bu durum Russel paradoksudur.

Biçimsel ifadesi

Sezgisel Kümeler Kuramı'nı, sembolik mantığın " $\in$ " ikili ilişkisiyle ve tanımlı altküme aksiyom şemasıyla şu şekilde tanımlarsak:

\exists y\forall x(x\in y\iff \varphi (x))

Görüldüğü gibi kümeler kuramında yazılmış herhangi bir $\varphi$ özelliği için sadece x değişkeni serbesttir. Bu $\varphi$ özelliğini $x\notin x$ şeklinde tanımlayalım. O halde y=x seçtiğimiz durumda aşağıdaki gibi bir çelişki elde ederiz.

y\in y\iff y\notin y

Bu da Russel bu çelişkiyi fark etmeden önce Frege'nin üzerinde çalıştığı kümeler kuramının tutarsız olduğunun bir göstergesidir.

Kaynakça

^ Bernhard Rang, Wolfgang Thomas: Zermelo's Discovery of the "Russell Paradox", Historia Mathematica 8.
^ Walter Purkert, Hans J. Ilgauds: Vita Mathematica - Georg Cantor, Birkhäuser, 1985, 3-764-31770-1

İlgili Araştırma Makaleleri

Kümeler teorisi ile şunlar kastedilmiş olabilir:

Kümeler kuramı; Alman matematikçi Georg Cantor'un 1874-1895 yılları arasında geliştirdiği, 20. yüzyıl matematiğinin temelini oluşturan teori.
Zermelo-Freankel küme kuramı (ZFC); basit kümeler kuramındaki Russel paradoksu gibi zafiyetlere yanıt olarak geliştirilen, aksiyoma (belit) dayalı bir kuram.

İyi-sıralılık ilkesi, küme kuramının bir önermesidir. Her küme iyi sıralı bir küme yapılabilir. Bu teorem sonluötesi tümevarımın her kümede uygulanabilmesini sağlar. İyi sıralılık ilkesi seçim aksiyomuna denktir.

Topolojik uzaylar, matematiğin Topoloji dalının başlıca uğraş konularıdır. Bir X kümesi ve bu kümenin alt kümelerinin bir kısmını içeren ve aşağıdaki varsayımları sağlayan S kümesinden oluşurlar:

<span class="mw-page-title-main">Küresel koordinat sistemi</span>

Küresel koordinat sistemi, üç boyutlu uzayda nokta belirtmenin bir yoludur.

Normal dağılım, aynı zamanda Gauss dağılımı veya Gauss tipi dağılım olarak isimlendirilen, birçok alanda pratik uygulaması olan, çok önemli bir sürekli olasılık dağılım ailesidir.

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:

\text{[math]}

Rijitlik merkezi düşey taşıyıcı elemanlarda, yatay yüklerden(rüzgâr, deprem) dolayı oluşan kesme kuvvetlerinin bileşkesinin etkişdiği nokta olarak tanımlanır. Rijitlik merkezinin $\text{[math]}$ ve $\text{[math]}$ koordinatları aşağıdaki bağıntılar yardımı ile hesaplanabilir:

Cisim, halka ve grup gibi soyut bir cebirsel yapıdır. Kabaca, elemanları arasında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme yapılabilen ve bu işlemlerde sayılardan alışık olduğumuz temel aritmetik kurallarının geçerli olduğu bir küme olarak tanımlanabilir.

Küme, matematikte farklı nesnelerin topluluğu veya yığını olarak tanımlanmaktadır. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir. Fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade etmektedir. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıkça ifade edilmektedir. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif etmektedir. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin topluluğuna küme denir." biçiminde bir tanımlama yapılmaktadır.

Matematikte Laplace denklemi, özellikleri ilk defa Pierre-Simon Laplace tarafından çalışılmış bir kısmi diferansiyel denklemdir. Laplace denkleminin çözümleri, elektromanyetizma, astronomi ve akışkanlar dinamiği gibi birçok bilim alanında önemlidir çünkü çözümler bilhassa elektrik ve yerçekim potansiyeli ile akışkan potansiyelinin davranışını açıklar. Laplace denkleminin çözümlerinin genel teorisi aynı zamanda potansiyel teorisi olarak da bilinmektedir.

Matematikte verilmiş bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu "girdi" değerlerinin oluşturduğu kümedir. Örneğin, kosinüsün tanım kümesi gerçel sayılar olurken karekök fonksiyonunun tanım kümesi 0 ve 0'dan büyük sayıların oluşturduğu negatif olmayan gerçel sayılar kümesidir. Fonksiyonun xy Kartezyen koordinat sistemindeki temsilinde, tanım kümesi x-ekseni (apsis) ile temsil edilir.

Bilgisayar bilimlerinde, alt küme toplamı problemi karmaşıklık kuramında ve kriptografide önemli yeri olan bir problemdir.

Cantor teoremi, kümeler teorisinin başlıca teoremlerindendir. Teorem; boş olmayan herhangi bir X kümesinin kuvvet kümesinin kardinalitesinin, X kümesinin kardinalitesinden büyük olduğunu söyler. P(X) ile kuvvet kümesi gösterilirse, teoreme göre X kümesi ile P(X) arasında birebir eşleme yapılamaz.

Berber paradoksu, Russel paradoksundan türetilmiş bir bulmacadır. Bizzat Bertrand Russell tarafından paradoksu örneklemek için kullanılmıştır. Fakat bu örneği kendisine öneren isimsiz bir kişiye atfetmiştir.

Matematikte, uzunluğu 1 olan ve uzayda bir norma sahip olan vektöre birim vektör denir. Birim vektör genellikle ‘û‘ gibi şapkalı ve küçük harflerle ifade edilir. Normalize vektör veya versor olmayan bir sıfır vektörü u ile eş yönlü olan birim vektörü u

\text{[math]}

Eşyapı ya da izomorfizma (ya da izomorfi), aynı kategoride(grupta) olan benzer iki matematiksel obje arasında bir gönderim olup matematiksel vücut tersi yapıda da muhafaza edilir. Aralarında bu şekilde eşyapı bulunan objelere eşyapısal ya da izomorf(ik) objeler denir. Örneğin iki küme arasında eşyapı, birebir, örten bir gönderimdir. Kümelerin üzerinde elemanlara sahip olma haricinde bir oluşum olmadığından, eşyapı gönderiminin koruyacağı başka bir yapı yoktur. Soyut cebirde iki grup arasında bir eşyapı, birebir, örten bir gönderimdir; dahası, iki gruptaki işleme saygı gösterir, bu iki işlemin birbirleriyle etkileşim halinde olmasını sağlar.

Temel grup, Henri Poincaré'in 1895'te yayınladığı "Analysis Situs" adlı makalesinde tanımlanmıştır. Kavram, Bernhard Riemann, Poincaré ve Felix Klein'ın çalışmalarıyla Riemann yüzeyleri teorisinden ortaya çıkmıştır. Karmaşık değerli fonksiyonların monodromik özelliklerini açıkladığı gibi kapalı yüzeylerin tam bir topolojik sınıflandırılmasını sağlar.

Eşdikdörtgensel izdüşüm, Batlamyus'un MS 100 civarında ortaya attığı projeksiyona dayandırılan ve Tire'li Marinus'a atfedilen basit bir harita projeksiyonudur. Projeksiyon, meridyenleri sabit aralıklı dikey düz çizgilerle ve enlem çemberlerini sabit aralıklı yatay düz çizgilerle eşler. Projeksiyon ne eşit alana sahiptir ne de konformaldır. Bu projeksiyonun getirdiği çarpıklıklar nedeniyle, navigasyon veya kadastro haritalamada çok seyrek bir şekilde kullanılmaktadır; yaygın olarak tematik haritalamada kullanılır. Özellikle, harita üzerindeki bir görüntü pikselinin konumu ile Dünya üzerindeki karşılık gelen coğrafi konumu arasındaki özellikle basit ilişki nedeniyle carrée levhası, Celestia ve NASA World Wind gibi küresel coğrafi bilgi sistemleri için bir standart haline geldi.

Matematikte, özellikle kategori teorisi ve homotopi teorisinde bir grupoid için grup kavramı birden fazla eşdeğer yolla açıklanabilir. Bir grupoid şu iki şekilde genelleştirilir:

İkili işlemin yerini alan bir kısmi fonksiyon ilişkisindeki grup;
Her morfizmanın ters çevrilebilir olduğu kategorideki grup.

Naif küme teorisi, 19. yüzyılın sonlarında geliştirilen orijinal küme teorisidir. Bu teori, bir kümenin bazı ortak özelliklerle birleştirilen farklı şeylerin bir koleksiyonu olarak düşünülmesini sağlar. Ayrık matematikten zaten bilinen örneğin, bir kümede hangi öğelerin bulunduğunu gösteren Venn diyagramları veya Boole cebiri gibi kavramların çoğu kullanılır. Saf küme teorisindeki ciddi kusurların keşfine yanıt olarak geliştirilen aksiyomatik küme teorisi ile karıştırılmamalıdır. Çağdaş matematik ve mühendisliğin birçok alanı için yeterince güçlüdür.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.