İçeriğe atla

Riemann yüzeyi

F (z) = √z fonksiyonu için Riemann yüzeyi. Dikey eksen √z'nin reel kısmını temsil ederken, iki yatay eksen z'nin reel ve sanal kısımlarını temsil eder. √z'nin sanal kısmı, noktaların renklendirilmesiyle temsil edilir. Bu işlev için, aynı zamanda grafiği dikey eksen etrafında 180° döndürdükten sonraki yüksekliktir.

Matematikte Riemann yüzeyi, özellikle karmaşık analizde bahsi geçen tek boyutlu karmaşık bir manifolddur. Bu yüzey(ler) ilk olarak Bernhard Riemann tarafından incelenmiş ve isimlendirilmiş. Riemann yüzeyleri, karmaşık düzlemin deforme olmuş versiyonları olarak düşünülebilir: her noktanın yakınında karmaşık düzlemin yerel olarak yamaları gibi görünürler, ama topolojisi oldukça farklı olabilmektedir.

Riemann yüzeylerindeki ana ilgi, holomorf fonksiyonların aralarında tanımlanabilmesidir. Riemann yüzeyleri günümüzde bu fonksiyonların global davranışı, özellikle de karekök ve diğer cebirsel fonksiyonlar veya logaritma gibi çok değerli fonksiyonların incelenmesi için doğal ortam olarak kabul edilmektedir. Her Riemann yüzeyi iki boyutlu gerçek bir analitik manifolddur (yani bir yüzey), ama holomorf fonksiyonların kesin tanımı için gerekli olan bir alt yapı (karmaşık bir yapı) içerir. İki boyutlu bir gerçek manifold, yönlendirilebilir ve ölçülebilir ise bir Riemann yüzeyine dönüştürülebilir. Dolayısıyla küre ve simit formunda karmaşık yapıları kabul eder, fakat Möbius şeridi, Klein şişesi ve gerçek yansıtmalı düzlem bunu yapmaz.[1][2][3][4][5][6][7]

Tanımlar

Riemann yüzeyinin birkaç eşdeğer tanımı vardır:

  1. Bir x Riemann yüzeyi, karmaşık bir boyuta ve bağlantıya sahip bir manifolddur. Bu, x'in karmaşık düzlemin açık birim diskine bir çizelge atlası ile donatılmış bağlı bir Hausdorff alanı olduğu anlamına gelir: her x ∈ X noktası için, kompleksin açık birim diskine homeomorfik olan bir x komşuluğu vardır. Düzlem ve örtüşen iki harita arasındaki geçiş haritalarının holomorf olması gerekir.[3][4][5][6]
  1. Riemann yüzeyi, iki boyutlu yönlendirilmiş bir manifolddur. Yine, manifold, x'in herhangi bir x noktasında, uzayın gerçek düzlemin bir alt kümesine homeomorfik olduğu anlamına gelir. "Riemann" eki, x'in manifold üzerinde açı ölçümüne izin veren ek bir yapıya, yani Riemann metriklerinin bir eşdeğerlik sınıfına sahip olduğunu belirtir. Ölçtükleri açılar aynıysa, bu tür iki metrik eşdeğer kabul edilir. x üzerinde bir eşdeğerlik metrik sınıfı seçmek, uyumlu yapının ek verisidir.[3][4][5][6]

Örnekler

Riemann küresi
Bir simit
  • Karmaşık düzlem olan C, en temel Riemann yüzeyidir. f(z) = z haritası (kimlik haritası) C için bir grafik tanımlar ve {f} C için bir nevi bir atlastır. g(z) = z* haritası (eşlenik harita) aynı zamanda C üzerinde bir grafik tanımlar ve {g} C için bir nevi bir atlastır. f ve g çizelgeleri uyumlu değildir, bu nedenle bu C'ye iki farklı Riemann yüzey yapısı bahşeder. Aslında, bir Riemann yüzeyi X ve atlası A verildiğinde, eşlenik atlası B = {f*: f ∈ A} hiçbir zaman A ile uyumlu değildir ve X'e farklı, uyumsuz bir Riemann yapısı bahşeder.
  • Benzer bir şekilde, karmaşık düzlemin her boş olmayan açık alt kümesi, doğal bir şekilde bir Riemann yüzeyi olarak görülebilir. Daha genel olarak, bir Riemann yüzeyinin her boş olmayan açık alt kümesi bir Riemann yüzeyidir.
  • S = C ∪ {∞} ve f(z) = z olsun; burada z, S \ {∞}, g(z) = 1 / z ve S \ {0} içinde, 1 / ∞, 0 olsun. O zaman f ve g çizelgeleri, uyumludurlar ve {f, g} S'yi bir Riemann yüzeyine dönüştüren atlastır.
  • f(z) = arcsin z
    f(z) = arcsin z
  • f(z) = log z
    f(z) = log z
  • f(z) = z1/2
    f(z) = z1/2
  • f(z) = z1/3
    f(z) = z1/3
  • f(z) = z1/4
    f(z) = z1/4

Diğer tanımlar ve özellikler

Karmaşık manifoldlar arasında bulunan herhangi bir haritada olduğu gibi iki Riemann yüzeyi, M ve N arasındaki bir f: M → N fonksiyonuna holomorftur, eğer M atlasındaki her g tablosu ve N atlasındaki her h grafiği için h ∘ f ∘ g−1 haritası, tanımlandığı her yerde holomorftur (C'den C'ye giden bir fonksiyon olarak). İki holomorf haritanın bileşimi holomorftur. M'den N'ye giden fonksiyonun tersi de holomorf olan bijektif bir holomorf fonksiyondur. Varsa iki Riemann yüzeyi M ve N, biholomorf olarak isimlendirilir (ikinci koşulun otomatik olduğu ve bu nedenle ihmal edilebilir). Uyumlu olarak birbirine eşdeğer iki Riemann yüzeyi, tüm pratik amaçlar için aynıdır.[1][2]

Yönlenebilirlik

Karmaşık bir manifold olan her Riemann yüzeyi, gerçek bir manifold olarak yönlendirilebilir. h = f(g−1 (z)) geçiş fonksiyonuna sahip karmaşık grafikler f ve g için h, z noktasındaki Jacobi'nin sadece gerçek doğrusal harita olduğu R2den R2ye uzanan bir harita olarak düşünülebilir. h'(z) karmaşık sayısıyla çarpma. Bununla birlikte, karmaşık bir α sayısı ile çarpmanın gerçek determinantı |α|2ye eşittir. Bu nedenle, Jakobiyen h'nin pozitif determinantı vardır. Sonuç olarak, karmaşık atlas yönlendirilmiş bir atlastır.[6][7]

Fonksiyonlar

Kompakt olmayan her Riemann yüzeyi, sabit olmayan holomorf fonksiyonları kabul eder (C'deki değerlerle). Aslında, kompakt olmayan her Riemann yüzeyi bir Stein manifoldudur.

Buna karşılık, kompakt bir Riemann yüzeyinde X, C değerlerine sahip her holomorf fonksiyon maksimum prensibi nedeniyle sabittir. Bununla birlikte, her zaman sabit olmayan meromorfik fonksiyonlar vardır (Riemann küresi C ∪ {∞} değerlerine sahip holomorf fonksiyonlar). Daha kesin olarak, X'in fonksiyon alanı, C(t)nin sonlu bir uzantısıdır, bir değişkendeki fonksiyon alanı, yani herhangi iki meromorfik fonksiyon cebirsel olarak bağımlıdır. Bu ifade daha yüksek boyutlara genelleme yapar. Meromorfik fonksiyonlar, Riemann teta fonksiyonları ve yüzeyin Abel-Jacobi haritası açısından oldukça açık bir şekilde verilebilir.[3][4][5][6][7]

Kaynakça

  1. ^ a b Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980), Riemann Surfaces, 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90465-8 
  2. ^ a b Pablo Arés Gastesi, Riemann Surfaces Book 15 Eylül 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..
  3. ^ a b c d Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052 , esp. chapter IV.
  4. ^ a b c d Jost, Jürgen (2006), Compact Riemann Surfaces, Berlin, New York: Springer-Verlag, ss. 208-219, ISBN 978-3-540-33065-3 
  5. ^ a b c d Papadopoulos, Athanase, (Ed.) (2007), Handbook of Teichmüller theory. Vol. I, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 11, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, MR 2284826 
  6. ^ a b c d e Siegel, Carl Ludwig (1955), "Meromorphe Funktionen auf kompakten analytischen Mannigfaltigkeiten", Nachrichten der Akademie der Wissenschaften in Göttingen. II. Mathematisch-Physikalische Klasse, cilt 1955, ss. 71-77, ISSN 0065-5295, MR 0074061 
  7. ^ a b c Weyl, Hermann (2009) [1913], The concept of a Riemann surface, 3rd, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47004-7, MR 0069903 

Dış bağlantılar

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Karmaşık analiz</span>

Karmaşık analiz ya da başka bir deyişle kompleks analiz, bir karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır. Bir değişkenli karmaşık analize ya da çok değişkenli karmaşık analizle beraber tümüne karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi de denilir.

Ana başlıklarına göre karmaşık analiz konuları:

<span class="mw-page-title-main">Morera teoremi</span> Matematik terimi

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Giacinto Morera'nın ardından adlandırılan Morera teoremi, bir fonksiyonun holomorf olduğunu kanıtlamak için kullanılan temel bir sonuçtur. İtalyan matematikçi Giacinto Morera'nın adını taşımaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Harmonik fonksiyon</span>

Matematiğin matematiksel fizik alanında ve rassal süreçler teorisinde bir harmonik fonksiyon, Rn'nin U gibi açık bir kümesi üzerinde f : U → R şeklinde tanımlı, Laplace denklemini, yani

<span class="mw-page-title-main">Cauchy integral formülü</span>

Matematikte, Augustin Louis Cauchy'nin adıyla adlandırılan Cauchy integral formülü karmaşık analizde merkezi bir ifadedir. Bir disk üzerinde tanımlanmış holomorf bir fonksiyonun tamamen, fonksiyonun disk sınırındaki değerleri tarafından belirlendiğini ifade eder. Ayrıca, holomorf bir fonksiyonun tüm türevleri için formül elde etmekte de kullanılabilir. Cauchy formülünün analitik önemi karmaşık analizde "türev alma integral almaya denktir" ifade etmesidir: Bu yüzden karmaşık türevlilik, integral alma gibi, gerçel analizde olmayan düzgün limitler altında iyi davranma özelliğine sahiptir.

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde Augustin Louis Cauchy ve Bernhard Riemann'a atfen Cauchy-Riemann denklemleri olarak adlandıran denklemler, türevlenebilir bir fonksiyonun açık bir kümede holomorf fonksiyon olması için gerekli ve yeterli şartları sağlayan kısmi diferansiyel denklemlerdir. Bu denklemler sistemi ilk defa Jean le Rond d'Alembert'in 1752 yılındaki çalışmasında ortaya çıkmıştır. Daha sonra, 1777 yılındaki çalışmasıyla Leonhard Euler bu sistemi analitik fonksiyonlarla ilişkilendirmiştir. Cauchy ise bu sistemi 1814'teki çalışmasındaki fonksiyonlar teorisinde kullanmıştır. Riemann'ın fonksiyonlar teorisi üzerine olan doktora tezinin tarihi ise 1851'dir.

<span class="mw-page-title-main">Karmaşık düzlem</span>

Matematikte karmaşık düzlem, gerçel eksen ve ona dik olan sanal eksen tarafından oluşturulmuş, karmaşık sayıların geometrik bir gösterimidir. Karmaşık sayının gerçel kısmının x-ekseni boyuncaki yer değiştirmeyle, sanal kısmının ise y-eksenindeki yer değiştirmeyle temsil edildiği değiştirilmiş bir Kartezyen düzlem olarak düşünülebilir.

Karmaşık analizde Charles Émile Picard'ın ismine atfedilen Picard teoremi analitik bir fonksiyonun görüntü kümesiyle ilişkin ayrı ayrı ama yine de birbirine bağlı iki teoremdir.

Karmaşık analizde, bir kaldırılabilir tekillik veya daha düzgün bir söylemle, bir holomorf fonksiyonun kaldırılabilir tekilliği, fonksiyonun görünüşte holomorf olmadığı; ancak daha yakın bir incelemeden sonra fonksiyonun tanım kümesinin bu tekilliği de içerecek şekilde genişletilebileceği bir noktadır.

<span class="mw-page-title-main">Açıkorur gönderim</span>

Matematikte açıkorur gönderim ya da açıkorur dönüşüm tanımlı olduğu kümenin her noktasında yerel olarak açıları koruyan bir fonksiyona verilen addır. Bu tanımı haliyle, açıkorur gönderimlerin her zaman uzunlukları koruması ya da yönleri koruması beklenmez.

Matematikte, Hartogs teoremi, çok değişkenli karmaşık analizde birden fazla karmaşık değişkene sahip holomorf fonksiyonların analitik devamlarıyla ilgili olan ve karmaşık analizin bir değişkenli fonksiyonlar teorisinde varolmayan bir sonuçtur.

Fonksiyonlar, sahip oldukları özelliklere göre sınıflandırılabilir.

Matematikte tersholomorf fonksiyonlar holomorf fonksiyonlara oldukça yakın ancak yine de onlardan ayrı olan fonksiyonlar ailesidir.

<span class="mw-page-title-main">Meromorf fonksiyon</span>

Meromorf fonksiyon, özellikle karmaşık analizde, bir fonksiyon çeşidi. Daha açık bir ifadeyle, meromorf fonksiyon, karmaşık düzlemin açık bir D kümesi üzerinde fonksiyonun kutup noktalarından oluşan belli bir korunmalı noktalar kümesi haricinde D 'nin geriye kalan diğer noktalarının tümünde holomorf olan fonksiyondur. Meromorf kelimesi Yunanca "kısım", "parça" anlamına gelen “meros” ve "tüm", "bütün" anlamına gelen “holos” kelimelerinin tezat bir birleşiminden ortaya çıkmış bir kelimedir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorf bir f fonksiyonunun sıfırı veya kökü f(a) = 0 eşitliğini sayılan karmaşık a sayısına verilen bir addır. Başka bir deyişle, holomorf fonksiyonların sıfır değerini aldığı karmaşık sayılara o fonksiyonun sıfırları adı verilir.

Matematikte açık birim disk, P noktasına uzaklığı 1'den küçük noktalar kümesidir.

<span class="mw-page-title-main">Riemann küresi</span>

Matematikte Riemann küresi, genişletilmiş karmaşık düzlemin artı sonsuzdaki noktanın bir modelidir. Carl Friedrich Gauss tarafından daha önceden düşünülmüş olsa da, öğrencisi Bernhard Riemann'ın adıyla anılmaktadır. Genişletilmiş bu düzlem, genişletilmiş karmaşık sayıları—yani artı sonsuzdaki ∞ değerli karmaşık sayıları—temsil eder. Riemann modelinde, "0" noktası çok küçük sayılara yakın olur ise "∞" noktası çok daha büyük sayılara yakınlaşır.

Holomorf fonksiyonlar karmaşık analizin temel çalışma araçlarından biridir. Bu fonksiyonlar karmaşık düzlemin yani C'nin açık bir altkümesinde tanımlı, bu altkümedeki her noktada karmaşık anlamda türevli ve aldığı değerler yine C içinde olan fonksiyonlardır.

Matematikte, çok değişkenli karmaşık analiz ya da çok boyutlu karmaşık analiz, karmaşık koordinat uzayı de ya da bu uzayın altkümeleri üzerinde tanımlı ve karmaşık değer alan fonksiyonların teorisi; yani, birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisidir.

Matematikte, n boyutlu karmaşık koordinat uzayı, kompleks uzay ya da karmaşık uzay, sıralı tane karmaşık sayıdan oluşan uzaya verilen addır. Bu uzayın elemanlarına karmaşık (kompleks) vektör adı verilir. Uzay, tane karmaşık düzlemin Kartezyen çarpımıdır ve ile gösterilir; yani, veya değişkenlerinin her birine karmaşık (kompleks) koordinat denir.


Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.