Riemann küresi - Turkipedia

Riemann küresi, bir kürenin etrafına sarılmış karmaşık sayı düzlemi olarak görselleştirilebilir (bir tür stereografik izdüşüm - ayrıntılar aşağıda verilmiştir).

Matematikte Riemann küresi, genişletilmiş karmaşık düzlemin artı sonsuzdaki noktanın bir modelidir. Carl Friedrich Gauss tarafından daha önceden düşünülmüş olsa da, öğrencisi Bernhard Riemann'ın adıyla anılmaktadır.^[1] Genişletilmiş bu düzlem, genişletilmiş karmaşık sayıları—yani artı sonsuzdaki ∞ değerli karmaşık sayıları—temsil eder. Riemann modelinde, "0" noktası çok küçük sayılara yakın olur ise "∞" noktası çok daha büyük sayılara yakınlaşır.

Genişletilmiş karmaşık sayılar, karmaşık analizde kullanışlıdır çünkü bazı durumlarda ${\tfrac {1}{0}}=\infty$ gibi ifadeleri iyi davranan bir şekilde sıfıra bölmeye izin verirler. Örneğin, karmaşık düzlemdeki herhangi bir rasyonel fonksiyon, kürenin kutuplarında sonsuza eşlenerek fonksiyonu bir holomorf fonksiyona genişletilebilir. Daha genel olarak, herhangi bir meromorf fonksiyon, ortak alanı Riemann küresi olan holomorf bir fonksiyon olarak düşünülebilir.

Riemann yüzeyinin prototipik örneği, geometride Riemann küresidir ve en basit karmaşık manifoldlardan biridir. Tasarı geometrisinde, C²deki tüm karmaşık çizgilerin projektif uzayı olan karmaşık (Complex, İngilizceden) projektif çizgisi P¹(C) olarak düşünülebilir. Herhangi bir kompakt Riemann yüzeyinde olduğu gibi, küre aynı zamanda bir projektif cebirsel eğri olarak da görülebilir, bu da onu cebirsel geometride temel bir örnek haline getirir. Aynı zamanda, diğer fizik dallarında olduğu gibi kuantum mekaniğinde (Bloch küresi) ve analiz ile geometriye bağlı olan diğer disiplinlerde de kullanım alanı bulur.

Genişletilmiş karmaşık sayılar

Genişletilmiş karmaşık sayılar, ∞ ile birlikte C karmaşık sayılarından oluşur. Genişletilmiş karmaşık sayılar kümesi C ∪ {∞} olarak yazılabilir ve genellikle C harfine bazı süslemeler eklenerek belirtilir,

{\hat {\mathbb {C} }},\quad {\overline {\mathbb {C} }},\quad {\text{veya}}\quad \mathbb {C} _{\infty }.

Geometrik olarak, genişletilmiş karmaşık sayılar kümesi Riemann küresi (veya genişletilmiş karmaşık düzlem) olarak isimlendirilir.

Aritmetik işlemler

Karmaşık sayıları toplanma, z ∈ C için tanımlanarak uzatılabilir,

z+\infty =\infty

herhangi bir karmaşık sayının z ile çarpımı şu şekilde tanımlanabilir:

z\times \infty =\infty

sıfır olmayan tüm karmaşık sayılar için z, ∞ × ∞ = ∞ olur. ∞ - ∞ ve 0 × ∞ un tanımsız kaldığını unutmayın. Karmaşık sayıların aksine, genişletilmiş karmaşık sayılar bir alan oluşturmaz, çünkü ∞ çarpımsal bir tersi yoktur. Yine de, C ∪ {∞} üzerinde şu şekilde bölünmeyi tanımlamak gelenekseldir:

{\frac {z}{0}}=\infty \quad {\text{ve}}\quad {\frac {z}{\infty }}=0

Kaynakça

^ B. Riemann: Theorie der Abel'sche Funktionen, J. Math. (Crelle) 1857; Werke 88-144. The name is due to Neumann C :Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abelsche Integrale, Leipzig 1865 (Teubner)

Dış bağlantılar

"Riemann sphere" 6 Ağustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Moebius Transformations Revealed 26 Ekim 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., by Douglas N. Arnold and Jonathan Rogness (a video by two University of Minnesota professors explaining and illustrating Möbius transformations using stereographic projection from a sphere)

Bernhard Riemann
Cauchy-Riemann denklemleri Genelleştirilmiş Riemann hipotezi Büyük Riemann hipotezi Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch teoremi Hirzebruch-Riemann-Roch teoremi Yerel zeta fonksiyonu Ölçülebilir Riemann eşleme teoremi Riemann (krater) Riemann Xi fonksiyonu Riemann eğrilik tensörü Riemann hipotezi Riemann integrali Riemann değişmezi Riemann eşleme teoremi Riemann formu Riemann problemi Riemann seri teoremi Riemann çözücü Riemann küresi Riemann toplamı Riemann yüzeyi Riemann zeta fonksiyonu Riemann diferansiyel denklemi Riemann minimal yüzeyi Riemann çemberi Bir yüzey üzerinde Riemann bağlantısı Riemann geometrisi Riemann-Hilbert yazışması Riemann-Hilbert problemleri Riemann-Lebesgue lemması Riemann-Liouville integrali Riemann-Roch teoremi Düzgün manifoldlar için Riemann-Roch teoremi Riemann-Siegel formülü Riemann-Siegel teta fonksiyonu Riemann-Silberstein vektörü Riemann-Stieltjes integrali Riemann-von Mangoldt formülü

İlgili Araştırma Makaleleri

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:

\text{[math]}

Karmaşık analiz ya da başka bir deyişle kompleks analiz, bir karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır. Bir değişkenli karmaşık analize ya da çok değişkenli karmaşık analizle beraber tümüne karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi de denilir.

Karmaşık analizde, tam fonksiyon veya başka bir deyişle integral fonksiyonu, karmaşık düzlemin tümünde holomorf olan karmaşık değerli bir fonksiyondur. Tam fonksiyonların tipik örnekleri polinomlar, üstel fonksiyon ve bunların toplamları, çarpımları ve bileşkeleridir. Her tam fonksiyon tıkız kümeler üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayan kuvvet serileri ile temsil edilebilir. Doğal logaritma ya da karekök fonksiyonu tam bir fonksiyona uzatılamaz.

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Giacinto Morera'nın ardından adlandırılan Morera teoremi, bir fonksiyonun holomorf olduğunu kanıtlamak için kullanılan temel bir sonuçtur. İtalyan matematikçi Giacinto Morera'nın adını taşımaktadır.

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Augustin Louis Cauchy'nin ismine atfedilen Cauchy integral teoremi, karmaşık düzlemdeki holomorf fonksiyonların çizgi integralleri hakkında önemli bir teoremdir.

Karmaşık analizde kutup ya da doğru bir söylemle bir meromorf fonksiyonun kutbu, 1/zⁿ 'nin z = 0 noktasındaki tekilliği gibi davranan matematiksel bir tekilliktir. Bu özellikle şu anlama gelir: Bir f(z) fonksiyonun z = a noktasındaki kutbu, z noktası a noktasına yaklaştıkça f(z)'yi sonsuza düzgün bir şekilde yaklaştıran noktadır.

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde Augustin Louis Cauchy ve Bernhard Riemann'a atfen Cauchy-Riemann denklemleri olarak adlandıran denklemler, türevlenebilir bir fonksiyonun açık bir kümede holomorf fonksiyon olması için gerekli ve yeterli şartları sağlayan kısmi diferansiyel denklemlerdir. Bu denklemler sistemi ilk defa Jean le Rond d'Alembert'in 1752 yılındaki çalışmasında ortaya çıkmıştır. Daha sonra, 1777 yılındaki çalışmasıyla Leonhard Euler bu sistemi analitik fonksiyonlarla ilişkilendirmiştir. Cauchy ise bu sistemi 1814'teki çalışmasındaki fonksiyonlar teorisinde kullanmıştır. Riemann'ın fonksiyonlar teorisi üzerine olan doktora tezinin tarihi ise 1851'dir.

Matematikte karmaşık düzlem, gerçel eksen ve ona dik olan sanal eksen tarafından oluşturulmuş, karmaşık sayıların geometrik bir gösterimidir. Karmaşık sayının gerçel kısmının x-ekseni boyuncaki yer değiştirmeyle, sanal kısmının ise y-eksenindeki yer değiştirmeyle temsil edildiği değiştirilmiş bir Kartezyen düzlem olarak düşünülebilir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Liouville teoremi tam fonksiyonların sınırlılığıyla ilgili temel bir teoremdir.

Matematikte açıkorur gönderim ya da açıkorur dönüşüm tanımlı olduğu kümenin her noktasında yerel olarak açıları koruyan bir fonksiyona verilen addır. Bu tanımı haliyle, açıkorur gönderimlerin her zaman uzunlukları koruması ya da yönleri koruması beklenmez.

Matematikte karmaşık bir fonksiyonun Laurent serisi bu fonksiyonun negatif dereceli terimler de içeren kuvvet serisi temsilidir. Karmaşık fonksiyonların Taylor serileri açılımının mümkün olmadığı durumlarda bu fonksiyonları açıklamak için de kullanılabilir. Laurent serisi ilk defa 1843'te Pierre Alphonse Laurent tarafından yayınlanmış ve bu matematikçinin adını almıştır. Karl Weierstrass 1841'de bu seriyi bulmuş olabilir ancak o zamanda ilk yayınlayan olamamıştır.

Meromorf fonksiyon, özellikle karmaşık analizde, bir fonksiyon çeşidi. Daha açık bir ifadeyle, meromorf fonksiyon, karmaşık düzlemin açık bir D kümesi üzerinde fonksiyonun kutup noktalarından oluşan belli bir korunmalı noktalar kümesi haricinde D 'nin geriye kalan diğer noktalarının tümünde holomorf olan fonksiyondur. Meromorf kelimesi Yunanca "kısım", "parça" anlamına gelen “meros” ve "tüm", "bütün" anlamına gelen “holos” kelimelerinin tezat bir birleşiminden ortaya çıkmış bir kelimedir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Hurwitz teoremi, matematikçi Adolf Hurwitz'in ispatladığı ve bu yüzden onun ismini almış önemli bir sonuçtur. Genel bir şekilde ifade etmek gerekirse, Hurwitz teoremi karmaşık düzlemdeki bir bölge üzerinde tanımlı bir holomorf fonksiyonlar dizisinin sıfırları ile bu dizinin limiti olan fonksiyonun sıfırlarını ilişkilendirir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorf bir f fonksiyonunun sıfırı veya kökü f(a) = 0 eşitliğini sayılan karmaşık a sayısına verilen bir addır. Başka bir deyişle, holomorf fonksiyonların sıfır değerini aldığı karmaşık sayılara o fonksiyonun sıfırları adı verilir.

Hiperbolik düzlemin dönüşüm grubu, genel Möbius grubunun alt grubu olup $\text{[math]}$ ile gösterilir. Üst yarı düzlemi koruyan bu grup Riemann küresi üzerinde tanımlıdır. $\text{[math]}$ nin etkisi altında hiperbolik doğrular yine hiperbolik doğrulara giderken, herhangi iki eğri arasındaki açının mutlak değerinin, hiperbolik uzunluk ve uzaklığın korunması grubun karakteristik özelliklerinden bazılarıdır. Bu özelliklerden önemli bir sonuca, hiperbolik düzlemin dönüşüm grubuyla hiperbolik yarı düzlemin izometri grubunun eşyapılı olduğuna, varmak mümkündür.

Matematikte Riemann yüzeyi, özellikle karmaşık analizde bahsi geçen tek boyutlu karmaşık bir manifolddur. Bu yüzey(ler) ilk olarak Bernhard Riemann tarafından incelenmiş ve isimlendirilmiş. Riemann yüzeyleri, karmaşık düzlemin deforme olmuş versiyonları olarak düşünülebilir: her noktanın yakınında karmaşık düzlemin yerel olarak yamaları gibi görünürler, ama topolojisi oldukça farklı olabilmektedir.

Holomorf fonksiyonlar karmaşık analizin temel çalışma araçlarından biridir. Bu fonksiyonlar karmaşık düzlemin yani C'nin açık bir altkümesinde tanımlı, bu altkümedeki her noktada karmaşık anlamda türevli ve aldığı değerler yine C içinde olan fonksiyonlardır.

<span class="mw-page-title-main">Düzlemsel eğri</span>

Matematikte, bir düzlem eğrisi veya düzlemsel eğri, bir düzlem içinde yer alan bir eğri olup söz konusu düzlem, bir Öklid düzlemi, bir afin düzlem veya bir projektif düzlem olabilir. En sık çalışılan durumlar, düzgün düzlem eğrileri ve cebirsel düzlem eğrisidir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorfluk bölgesi, üzerinde tanımlı olan holomorf fonksiyolardan en az bir tanesinin daha büyük bir bölgeye holomorf özelliğini koruyarak devam ettirelemediği bölgelere verilen addır. Karmaşık düzlemdeki açık kümelerin hepsi holomorfluk bölgesidir. Ancak, karmaşık düzlemde geçerli olan bu sonucun dengi bir sonuç yüksek boyutlu uzayda herhangi bir bölge için geçerli değildir. Bu yüzden, holomorfluk bölgelerin belirleyici özelliklerini bulmak yirminci yüzyılın ilk yarısında çok değişkenli karmaşık analizde en yoğun çalışılmış konulardan birisi olmuştur. Bu farklılığı ilk defa Fritz Hartogs göz önüne sermiştir ve sonuç en genel haliyle Hartogs devam (genişleme) teoremi olarak bilinmektedir.

Matematikte, çok değişkenli karmaşık analiz ya da çok boyutlu karmaşık analiz, karmaşık koordinat uzayı $\text{[math]}$ de ya da bu uzayın altkümeleri üzerinde tanımlı ve karmaşık değer alan fonksiyonların teorisi; yani, birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisidir.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.