Richardson sayısı

Richardson sayısı (Ri), Lewis Fry Richardson (1881–1953) adını taşıyan^[1] boyansi teriminin akış kayma gerilmesi terimine oranını ifade eden bir boyutsuz sayı:^[2]

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\text{boyansi terimi}}{\text{akış kayma gerilmesi terimi}}}={\frac {g}{\rho }}{\frac {\partial \rho /\partial z}{(\partial u/\partial z)^{2}}}}$

burada ${\displaystyle g}$ yerçekimi, ${\displaystyle \rho }$ yoğunluk, ${\displaystyle u}$ akış sürati ve ${\displaystyle z}$ derinlik anlamına gelir.

Richardson sayısı veya çeşitli türevleri, hava tahmini ve okyanuslar, göller ve rezervuarlardaki yoğunluk ve bulanıklık akıntılarını araştırmada önemli bir pratik kullanıma sahiptir.

Yoğunluk farklarının küçük olduğu akışlar incelendiğinde (Boussinesq yaklaşımı), indirgenmiş yerçekimi g' kullanmak yaygındır ve bu durumda ilgili parametre densimetrik Richardson sayısıdır:

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {-\partial g'/\partial z}{(\partial u/\partial z)^{2}}}}$

Bu parametre, atmosferik veya okyanus akışları incelendiğinde sıklıkla kullanılmaktadır.

Richardson sayısı birden çok küçükse, boyansi akışta önemsizdir. Eğer birden çok büyükse, boyansi baskın hale gelir (bu, akışkanları homojenleştirecek yeterli kinetik enerjinin olmadığı anlamına gelir).

Richardson sayısı bir mertebesindeyse, akış muhtemelen boyansi etkisiyle gerçekleşir: akışın enerjisi başlangıçta sistemdeki potansiyel enerjiden kaynaklanır.

Havacılık alanında, Richardson sayısı beklenen hava türbülansını tahmin etmek için genel bir ölçüt olarak kullanılır. Düşük bir değer, daha yüksek türbülans derecesine işaret eder. 10 ile 0.1 aralığındaki değerler tipiktir ve birin altındaki değerler belirgin türbülansa işaret eder.

Termal konveksiyon problemlerinde, Richardson sayısı doğal konveksiyonun zorlanmış konveksiyona kıyasla önem derecesini ifade eder. Richardson sayısı bu bağlamda şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {g\beta (T_{\text{hot}}-T_{\text{ref}})L}{V^{2}}}}$

burada g yerçekimi ivmesi, ${\displaystyle \beta }$ ısıl genleşme katsayısı, T_hot sıcak yüzey sıcaklığı, T_ref referans sıcaklık, L karakteristik uzunluk ve V karakteristik sürattir.

Richardson sayısı ayrıca Grashof sayısı ve Reynolds sayısı kombinasyonu ile de ifade edilebilir:

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr} }{\mathrm {Re} ^{2}}}.}$

Genellikle, Ri < 0.1 olduğunda doğal konveksiyon önemsizdir, Ri > 10 olduğunda zorlanmış konveksiyon önemsizdir ve 0.1 < Ri < 10 olduğunda her ikisi de önemsiz değildir. Genellikle zorlanmış konveksiyonun doğal konveksiyona göre daha büyük olduğu, ancak zorlanmış akış hızlarının aşırı düşük olduğu durumlar dışında olduğu unutulmamalıdır. Bununla birlikte, yükselme kuvveti genellikle karışık konveksiyon (İng. mixed convection) akışının laminer-türbülanslı geçişini tanımlamada önemli bir rol oynar.^[3] Su dolu termal enerji depolama tanklarının tasarımında, Richardson sayısı kullanışlı olabilir.^[4]

Atmosfer biliminde, Richardson sayısının çeşitli ifadeleri yaygın olarak kullanılır: akı Richardson sayısı (İng. flux Richardson number) (temel olan), gradyan Richardson sayısı (İng. gradient Richardson number) ve kitle Richardson sayısı (İng. bulk Richardson number).

• Akı Richardson sayısı ${\displaystyle Ri_{f}}$, türbülans kinetik enerjisinin boyansi üretiminin (veya baskılanmasının) kayma gerilimi ile türbülans üretimine oranıdır.^[5] Matematiksel olarak, bu şu şekilde ifade edilir:

${\displaystyle Ri_{f}={\frac {(g/T_{v}){\overline {w'\theta '}}}{{\overline {u'w'}}{\frac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}}+{\overline {v'w'}}{\frac {\partial {\overline {v}}}{\partial z}}}}}$,

burada ${\displaystyle T_{v}}$ gerçek sıcaklık (İng. virtual temperature), ${\displaystyle \theta _{v}}$ gerçek potansiyel sıcaklık (İng. virtual potential temperature), ${\displaystyle z}$ yükseklik, ${\displaystyle u}$ rüzgarın ${\displaystyle x}$ bileşeni, ${\displaystyle v}$ rüzgarın ${\displaystyle y}$ bileşeni ve ${\displaystyle w}$ rüzgarın ${\displaystyle z}$ (dikey) bileşenidir. Üst çizgi (ör. ${\displaystyle w'}$), ilgili alanın Reynolds ortalamasından sapmasını gösterir.

• Gradyan Richardson sayısı ${\displaystyle Ri_{g}}$, "K-teorisi" kullanılarak akı Richardson sayısının yaklaşık olarak elde edilmesiyle elde edilir. Bu şu şekilde sonuçlanır:^[6]

${\displaystyle Ri_{g}={\frac {(g/T_{v}){\frac {\partial \theta _{v}}{\partial z}}}{({\frac {\partial u}{\partial z}})^{2}+({\frac {\partial v}{\partial z}})^{2}}}}$.

• Kitle Richardson sayısı ${\displaystyle Ri_{b}}$, gradyan Richardson sayısının türevlerine bir sonlu farklar yaklaşımı yapılarak elde edilir, bu da şu şekilde ifade edilir:^[7]

${\displaystyle Ri_{b}={\frac {(g/T_{v0})\Delta \theta _{v}\Delta z}{(\Delta u)^{2}+(\Delta v)^{2}}}}$.

Burada, herhangi bir değişken ${\displaystyle f}$ için, ${\displaystyle \Delta f:=f_{z1}-f_{z0}}$, yani ${\displaystyle f}$'nin ${\displaystyle z1}$ yüksekliğindeki değeri ile ${\displaystyle z0}$ yüksekliğindeki değeri arasındaki fark anlamına gelir. Alt referans seviyesi ${\displaystyle z0=0}$ olarak alınırsa, ${\displaystyle u_{z0}=v_{z0}=0}$ (kayma olmama koşulu (İng. no-slip boundary condition) nedeniyle), bu ifade şu şekilde sadeleşir:

${\displaystyle Ri_{b}={\frac {(g/\theta _{v0})(\theta _{vz1}-\theta _{v0})z}{(u_{z1})^{2}+(v_{z1})^{2}}}}$.

Oşinografi alanında, Richardson sayısı tabakalaşmayı dikkate alan daha genel bir forma sahiptir. Bu sayı, su sütunundaki mekanik ve yoğunluk etkilerinin göreceli önemini ölçer ve Taylor–Goldstein denklemi ile tanımlanır. Bu denklem, kayma akışları tarafından tetiklenen Kelvin–Helmholtz kararsızlığını modellemek için kullanılır.

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {N^{2}}{(\mathrm {d} u/\mathrm {d} z)^{2}}}}$

burada N Brunt–Väisälä frekansı ve u rüzgar süratidir.

Yukarıda tanımlanan Richardson sayısı her zaman pozitif olarak kabul edilir. N²'nin negatif bir değeri (yani, karmaşık N) aktif konvektif devrilmeler (İng. active convective overturning) ile dengesiz yoğunluk gradyanlarını gösterir. Bu tür durumlarda, negatif Ri'nin büyüklüğü genellikle ilgi çekici değildir. Ri < 1/4 olduğunda, hız kaymasının tabakalı bir akışkanın tabakalı kalma eğilimini aşması için gerekli bir koşul olduğu ve genellikle bir miktar karışımın (türbülans) gerçekleşeceği gösterilebilir. Ri büyük olduğunda, tabakalaşma boyunca türbülanslı karışım genellikle baskılanır.^[8]