İçeriğe atla

Richard Dedekind

Richard Dedekind
Doğum6 Ekim 1831(1831-10-06)
Braunschweig, Braunschweig Dükalığı
Ölüm12 Şubat 1916 (84 yaşında)
Braunschweig, Alman İmparatorluğu
MilliyetAlman
Mezun olduğu okul(lar)Collegium Carolinum
University of Göttingen
Tanınma nedeniDedekind kesimi
Dedekind-Peano aksiyomları
Soyut cebir
Cebirsel sayı teorisi
Reel sayılar
Mantıkçılık
Kariyeri
DalıMatematik
Matematik felsefesi
Doktora
danışmanı
Carl Friedrich Gauss

Julius Wilhelm Richard Dedekind (6 Ekim 1831 - 12 Şubat 1916), sayılar teorisi, soyut cebir (özellikle halka teorisi ve aritmetiğin aksiyomatik temelleri) konularına önemli katkılarda bulunan bir Alman matematikçiydi. En iyi bilinen katkısı, Dedekind kesimi kavramı aracılığıyla reel sayıların tanımıdır. Ayrıca modern küme teorisi ve Mantıkçılık' olarak bilinen matematik felsefesi'nin gelişiminde öncü olarak kabul edilir.

Yaşamı

Dedekind'in babası, Braunschweig'deki Collegium Carolinum'un yöneticisi Julius Levin Ulrich Dedekind'di. Annesi, Collegium'daki bir profesörün kızı Caroline Henriette Dedekind'dir (evlenmeden önceki soyadı Emperius).[1] Richard Dedekind'in kendisinden büyük üç kardeşi vardı. Bir yetişkin olarak, Julius Wilhelm isimlerini asla kullanmadı. Hayatının çoğunu yaşadığı ve öldüğü Braunschweig'de (İngilizcede genellikle "Brunswick" olarak adlandırılır) doğdu.

İlk olarak 1848'de Collegium Carolinum'a katıldı ve 1850'de Göttingen Üniversitesi'ne transfer oldu. Orada, Dedekind'e sayı teorisi konularını profesör Moritz Stern öğretti. Gauss, çoğunlukla ilkokul düzeyinde olmasına rağmen hâlâ öğretmenlik yapıyordu ve Dedekind onun son öğrencisi oldu. Dedekind doktorasını 1852'de Über die Theorie der Eulerschen Integrale ("Euler integralleri Teorisi Üzerine") başlıklı teziyle aldı. Bu tezde, Dedekind'in sonraki yayınlarında sergilediği yeteneği görünmüyordu.

O zamanlar Göttingen değil Berlin Üniversitesi, Almanya'daki matematiksel araştırmaların ana merkeziydi.

Böylece Dedekind, çağdaşı olan ve birlikte 1854'te habilitasyon ile ödüllendirilecek olan Bernhard Riemann ile iki yıllık eğitim almak için Berlin'e gitti. Dedekind, olasılık ve geometri üzerine dersler vererek Privatdozent olarak öğretmenlik yapmak üzere Göttingen'e döndü. Peter Gustav Lejeune Dirichlet ile bir süre çalıştı ve iyi arkadaş oldular. Matematik bilgisindeki kalıcı zayıflıklar nedeniyle, eliptik ve abelyen fonksiyonlar üzerinde çalıştı. Yine de Göttingen'de Galois teorisi ile ilgili konferans veren ilk kişiydi. Bu sıralarda, cebir ve aritmetik için gruplar kavramının önemini anlayan ilk kişilerden biri oldu.

1858'de Zürih'teki Politeknik okulunda (şimdiki ETH Zürih) öğretmenliğe başladı. Collegium Carolinum 1862'de Technische Hochschule (Teknoloji Enstitüsü)'ne yükseltildiğinde, Dedekind, hayatının geri kalanını Enstitü'de ders vererek geçirdiği memleketi Braunschweig'e döndü. 1894'te emekli oldu, ancak ara sıra öğretmenlik yaptı ve yayın yapmaya devam etti. Hiç evlenmedi, bunun yerine kız kardeşi Julia ile yaşadı.

Dedekind, Berlin ve Roma Akademilerine (1880) ve Fransız Bilimler Akademisi'ne (1900) seçildi. Oslo, Zürih ve Braunschweig Üniversitelerinden fahri doktora aldı.

Çalışmaları

1886 öncesi Dedekind

Polytechnic okulunda ilk kez kalkülüs öğretirken, Dedekind artık reel sayılar kavramın standart bir tanımı olan Dedekind kesimi (Almanca: Schnitt) olarak bilinen kavramı geliştirdi. Kesim fikri, bir irrasyonel sayının rasyonel sayıları iki sınıfa (kümelere) ayırmasıdır, bir sınıfın (daha büyük) tüm sayıları diğer (daha küçük) sınıfın tüm sayılarından kesinlikle daha büyüktür. Örneğin, karekök 2, kareleri 2'den küçük olan tüm negatif olmayan sayıları ve negatif sayıları küçük sınıfa ve kareleri 2'den büyük olan pozitif sayıları büyük sınıfa tanımlar. Sayı doğrusu sürekliliğindeki her konum ya bir rasyonel ya da irrasyonel sayı içerir. Böylece boş konumlar, boşluklar veya süreksizlikler yoktur. Dedekind, irrasyonel sayılar ve Dedekind kesimleri konusundaki düşüncelerini Stetigkeit und irrationale Zahlen ("Süreklilik ve irrasyonel sayılar") adlı broşüründe yayınlamıştır;[2] modern terminolojide, Vollständigkeit yani tamlık.

Dedekind, iki kümeyi birebir örten olduğunda "benzer" olarak tanımladı.[3] sonsuz kümenin ilk kesin tanımını vermek için benzerliğe başvurdu: Bir küme, "kendisinin uygun bir parçasına benzer"[4] olduğunda; modern terminolojide, uygun altkümelerinden biriyle eş sayılı ise sonsuzdur. Böylece doğal sayıların N kümesinin, üyeleri N’nin her üyesinin karesi olan N alt kümesine benzer olduğu gösterilebilir, (N N2):

N1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
N21 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Dedekind'in bu alandaki çalışması, genellikle kümeler teorisi'nin kurucusu olarak kabul edilen Georg Cantor'un çalışmasını öngördü. Benzer şekilde, matematiğin temelleri'ne yaptığı katkılar, Gottlob Frege ve Bertrand Russell gibi Mantıkçılık'ın önde gelen savunucuları tarafından yapılan daha sonraki çalışmaları tahmin ediyordu.

Dedekind, Lejeune Dirichlet, Gauss ve Riemann'ın toplu eserlerinin editörlüğünü yaptı. Dedekind'in Lejeune Dirichlet'in çalışması üzerine çalışması, onu daha sonraki cebirsel sayı cisimleri ve idealler üzerine yaptığı çalışmasına götürdü. 1863'te Lejeune Dirichlet'in sayılar teorisi hakkındaki derslerini Vorlesungen über Zahlentheorie ("Sayı Teorisi Üzerine Dersler") olarak yayınladı ve hakkında şöyle yazıldı:

Kitap kesinlikle Dirichlet'in derslerine dayansa ve Dedekind'in kendisi hayatı boyunca kitaba Dirichlet'in kitabı olarak atıfta bulunsa da, kitabın kendisi tamamen Dedekind tarafından ama çoğunlukla Dirichlet'in ölümünden sonrasını öngörerek yazılmıştır.

—Edwards, 1983

Vorlesungen'in 1879 ve 1894 basımları, halka teorisi için temel olan bir ideal kavramını tanıtan ilaveleri içeriyordu. (Daha sonra Hilbert tarafından tanıtılan "halka" kelimesi Dedekind'in çalışmasında geçmiyor.) Dedekind, ideal'i, tamsayı katsayılı polinom denklemlerini sağlayan cebirsel tamsayılardan oluşan bir dizi sayının alt kümesi olarak tanımladı. Kavram Hilbert'in ve özellikle Emmy Noether'in elinde daha da geliştirildi. İdealler Ernst Eduard Kummer'in ideal sayı'larını genelleştirir, Kummer'in 1843 Fermat'nın Son Teoremi'ni kanıtlama girişiminin bir parçası olarak tasarlanmıştır. (Böylece Dedekind'in Kummer'in en önemli öğrencisi olduğu söylenebilir.) 1882 tarihli bir makalede, Dedekind ve Heinrich Martin Weber idealleri, Riemann yüzeylerine uygulayarak Riemann–Roch teoreminin cebirsel bir kanıtını verdi.

1888'de, Was sind was sollen die Zahlen? ("Sayılar nedir ve ne işe yararlar?" Ewald 1996: 790)[5] başlıklı, sonsuz küme tanımını içeren kısa bir monografi yayınladı. Ayrıca, ilkel kavramları sayı bir ve ardıl fonksiyonu olan doğal sayılar için aksiyomatik bir temel önerdi. Ertesi yıl, Giuseppe Peano, Dedekind'den alıntı yaparak, eşdeğer fakat daha basit ve şimdi standart olan bir aksiyomlar kümesi formüle etti.

Dedekind cebir'e başka katkılarda da bulundu. Örneğin 1900 civarında modüler kafesler üzerine ilk makale yazdı. 1872'de Interlaken'de tatildeyken Dedekind, Georg Cantor ile tanıştı. Böylece kalıcı bir karşılıklı saygı ilişkisi başladı ve Dedekind, Cantor'un sonsuz kümelerle ilgili çalışmasına hayran olan ilk matematikçilerden biri oldu ve Cantor'un Leopold Kronecker ile felsefi olarak Cantor'un sonlu ötesi sayılara karşı olan anlaşmazlıklarında değerli bir müttefik olduğunu kanıtladı.[6]

Bibliyografya

İngilizce birincil literatür;

  • 1890: "Letter to Keferstein" in Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard Univ. Press: 98–103.
  • 1963 (1901): Essays on the Theory of Numbers. Beman, W. W., ed. and trans. Dover. Contains English translations of Stetigkeit und irrationale Zahlen and Was sind und was sollen die Zahlen?
  • 1996: Theory of Algebraic Integers. Stillwell, John, ed. and trans. Cambridge Uni. Press. A translation of Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen.
  • Ewald, William B., ed., 1996. From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 vols. Oxford Uni. Press.
    • 1854: "On the introduction of new functions in mathematics," 754–61.
    • 1872: "Continuity and irrational numbers," 765–78. (translation of Stetigkeit...)
    • 1888: What are numbers and what should they be?, 787–832. (translation of Was sind und...)
    • 1872–82, 1899: Correspondence with Cantor, 843–77, 930–40.

Almanca birincil literatür;

Ayrıca bakınız

  • Richard Dedekind'in adını taşıyan şeylerin listesi
  • Dedekind kesimi
  • Dedekind alanı
  • Dedekind eta fonksiyonu
  • Dedekind-sonsuz küme
  • Dedekind sayısı
  • Dedekind psi fonksiyonu
  • Dedekind toplamı
  • Dedekind zeta fonksiyonu
  • İdeal (halka teorisi)

Notlar

  1. ^ James, Ioan (2002). Remarkable Mathematicians. Cambridge University Press. s. 196. ISBN 978-0-521-52094-2. 
  2. ^ Ewald, William B., ed. (1996) "Continuity and irrational numbers", p. 766 in From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 vols. Oxford University Press. full text 17 Mayıs 2022 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  3. ^ The Nature and Meaning of Numbers. Essays on the Theory of Numbers. Part III, Paragraph 32: Dover. 1901 [1963]. ilk baskının yayıncısı: Open Court 
  4. ^ The Nature and Meaning of Numbers. Essays on the Theory of Numbers. Part V, Paragraph 64: Dover. 1901 [1963]. ilk baskının yayıncısı: Open Court 
  5. ^ Richard Dedekind (1888). Was sind und was sollen die Zahlen?. Braunschweig: Vieweg.  Online available at: MPIWG 13 Mayıs 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. GDZ 27 Mayıs 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. UBS
  6. ^ Aczel, Amir D. (2001), The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity, Pocket Books nonfiction, Simon and Schuster, s. 102, ISBN 9780743422994 .
  7. ^ Bell, E. T. (1933). "Book Review: Richard Dedekind. Gesammelte mathematische Werke". Bulletin of the American Mathematical Society. 39: 16-17. doi:10.1090/S0002-9904-1933-05535-0. 

Kaynakça

Konuyla ilgili yayınlar

Dedekind hakkında ikincil literatürün çevrimiçi bir bibliyografyası bulunmaktadır. Ayrıca Stillwell'in Dedekind hakkında yazdığı "Introduction"’a (1996) bakılabilir.

Dış bağlantılar

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Matematik</span> nicelik, yapı, uzay ve değişim gibi konularla ilgilenen bilim dalı

Matematik ; sayılar, felsefe, uzay ve fizik gibi konularla ilgilenir. Matematikçiler ve filozoflar arasında matematiğin kesin kapsamı ve tanımı konusunda görüş ayrılığı vardır.

Sayı, sayma, ölçme ve etiketleme için kullanılan bir matematiksel nesnedir. En temel örnek, doğal sayılardır. Sayılar, sayı adı (numeral) ile dilde temsil edilebilir. Daha evrensel olarak, tekil sayılar rakam adı verilen sembollerle temsil edilebilir; örneğin, "5" beş sayısını temsil eden bir rakamdır. Yalnızca nispeten az sayıda sembolün ezberlenebilmesi nedeniyle, temel rakamlar genellikle bir rakam sisteminde organize edilir, bu da herhangi bir sayıyı temsil etmenin organize bir yoludur. En yaygın rakam sistemi Hint-Arap rakam sistemidir, bu sistem on temel sayısal sembol, yani rakam kullanılarak herhangi bir negatif olmayan tam sayının temsil edilmesine olanak tanır. Sayılar sayma ve ölçme dışında, etiketlerde, sıralamada ve kodlarda kullanılmak için de sıklıkla kullanılır. Yaygın kullanımda, bir rakam ile temsil ettiği sayı net bir şekilde ayrılmaz.

<span class="mw-page-title-main">Tam sayı</span> sıfırın sağında bulunan sayılar büyükken solunda bulunan sayılar küçüktür

Tam sayılar, sayılar kümesinde yer alan sıfır (0), pozitif yönde yer alan doğal sayılar ve bunların negatif değerlerinden oluşan negatif sayılardan oluşan sayı kümesidir.

<span class="mw-page-title-main">Leopold Kronecker</span> Sayılar teorisi ve cebir üzerine çalışan Alman matematikçi (1823-1891)

Leopold Kronecker sayı teorisi, cebir ve mantık üzerine çalışan bir Alman matematikçiydi. Georg Cantor'un küme teorisi üzerine çalışmalarını eleştirdi ve Weber (1893) tarafından "Almanca: Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk " söylemiyle alıntılandı. Kronecker, Ernst Kummer'in öğrencisi ve ömür boyu arkadaşıydı.

<span class="mw-page-title-main">Doğal sayılar</span> sayma sayıları kümesine 0ın eklenmesiyle oluşan sayılar kümesi

Doğal sayılar, şeklinde sıralanan tam sayılardır ve kimi tanımlamalara göre 0 sayısı da bu kümeye dâhil edilebilir. Aralarında standart ISO 80000-2'nin de bulunduğu bazı tanımlar doğal sayıları 0 ile başlatır ve bu durum negatif olmayan tam sayılar için 0, 1, 2, 3, ... şeklinde bir karşılık bulurken, bazı tanımlamalar 1 ile başlamakta ve bu da pozitif tam sayılar için 1, 2, 3, ... şeklinde bir eşlenik oluşturur. Doğal sayıları sıfır olmadan ele alan metinlerde, sıfırın da dahil edildiği doğal sayılar bazen tam sayılar olarak adlandırılırken diğer bazı metinlerde bu terim, negatif tam sayılar da dahil olmak üzere tam sayılar için kullanılmaktadır. Özellikle ilkokul seviyesindeki eğitimde, doğal sayılar, negatif tam sayıları ve sıfırı dışlamak ve saymanın ayrık yapısını, gerçek sayıların bir karakteristiği olan ölçümün sürekliliğiyle karşıtlık oluşturmak amacıyla sayma sayıları olarak adlandırılabilir.

<span class="mw-page-title-main">Asal sayı</span> sadece iki pozitif tam sayı böleni olan doğal sayılardır

Bir asal sayı, yalnızca 1'den büyük olup kendisinden küçük iki doğal sayının çarpımı olarak ifade edilemeyen bir doğal sayıdır. 1'den büyük ve asal olmayan doğal sayılara bileşik sayı adı verilir. Örneğin, 5 bir asal sayıdır çünkü onu bir çarpım olarak ifade etmenin mümkün olan yolları, 1 × 5 veya 5 × 1, yalnızca 5 sayısını içermektedir. Ancak, 4 bir bileşik sayıdır çünkü bu, her iki sayının da 4'ten küçük olduğu bir çarpım şeklindedir. Asal sayılar, aritmetiğin temel teoreminden ötürü sayı teorisi alanında merkezi öneme sahiptir: 1'den büyük her doğal sayı, ya bir asal sayıdır ya da asal sayıların çarpımı olarak, sıralamalarından bağımsız bir şekilde, benzersiz olarak çarpanlarına ayrılabilir.

<span class="mw-page-title-main">Georg Cantor</span> Alman matematikçi, küme teorisinin mucidi (1845-1918)

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, Alman matematikçi. Kümeler kuramının kurucusudur. Kümeler arasında birebir eşlemenin önemini ortaya koydu, "sonsuz küme" kavramına matematiksel bir tanım getirdi ve gerçel sayıların sonsuzluğunun doğal sayıların sonsuzluğundan "daha büyük" olduğunu ispatladı. Ayrıca kardinal sayı ve ordinal sayı kavramlarını ortaya atmış ve bu sayıların aritmetiğini tanımlamıştır. Cantor'un buluşlarının matematik ve felsefede önemli yeri vardır.

<span class="mw-page-title-main">Henri Léon Lebesgue</span> Fransız matematikçi (1875 – 1941)

Henri Léon Lebesgue, 17. yüzyıl integral kavramının-bir eksen ile o eksen için tanımlanmış bir fonksiyonun eğrisi arasındaki alanı toplamak- bir genellemesi olan entegrasyon teorisi ile tanınan Fransız matematikçiydi. Teorisi ilk olarak 1902'de Nancy Üniversitesi'ndeki Intégrale, longueur, aire tezinde yayınlandı.

<span class="mw-page-title-main">Peter Gustav Lejeune Dirichlet</span>

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, sayı teorisi ve Fourier serileri teorisi ile matematiksel analizdeki diğer konulara derin katkılarda bulunan Alman bir matematikçiydi. Bir fonksiyonun modern biçimsel tanımını veren ilk matematikçilerden biri olarak kabul edilmektedir.

<span class="mw-page-title-main">Küme</span> matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir.

Küme, matematikte farklı nesnelerin topluluğu veya yığını olarak tanımlanmaktadır. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir. Fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade etmektedir. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıkça ifade edilmektedir. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif etmektedir. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin topluluğuna küme denir." biçiminde bir tanımlama yapılmaktadır.

Matematikte, birkaç fonksiyon ya da fonksiyon gruplarının kendi isimleri yeterli öneme layıktır. Bu makaleler fonksiyonları açıklamak için olan daha ayrıntılı olarak gösteren bir listedir. İstatistik dışı ve matematiksel fizik gelişmeleri sonucu özel fonksiyonlar büyük bir teori olmuştur. Modern bir, soyut incelik fonksiyon uzayıları geniş karşılaştırma görünümü, sonsuz-boyutlu ve 'isimsiz' fonksiyonlar içindeki ve simetri ya da ilişki harmonik analiz ve grup temsilileri gibi özellikler ile özel fonksiyonlar ile seçilmiştir.

<span class="mw-page-title-main">Ernst Zermelo</span> Alman mantıkçı ve matematikçi

Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, çalışmalarının matematiğin temelleri üzerinde büyük etkileri olan bir Alman mantıkçı ve matematikçiydi. Zermelo–Fraenkel aksiyomatik küme teorisini geliştirmedeki rolü ve iyi-sıralılık ilkesi için kanıtıyla tanınır. Ayrıca, 1929'da satranç oyuncularını sıralama üzerine çalışması, ikili karşılaştırma için bu yöntemi kullanan çeşitli uygulamalı alanlar üzerinde derin bir etkisi olmaya devam eden bir modelin ilk tanımıdır.

<span class="mw-page-title-main">Alan Baker</span> İngiliz matematikçi (1939-2018)

Alan Baker, sayı teorisindeki etkili yöntemler, özellikle de transandantal sayı teorisinden doğan konular üzerine yaptığı çalışmalarla tanınan İngiliz bir matematikçiydi.

Cyreneli Theodorus, MÖ 5. yüzyılda yaşamış eski bir Libyalı Yunan matematikçi. Günümüze ulaşan ve ilk elden anlatılanlar, Platon'un diyaloglarından üçünde; Theaetetus, Sofist ve Devlet Adamı (Statesman) yer alır. Önceki diyalogda, şimdi Theodorus Sarmalı olarak bilinen matematiksel bir teoremi öne sürmektedir.

Bu, Wikipedia'da yer alan sayı teorisi konularıyla ilgili sayfaların bir listesidir.

<span class="mw-page-title-main">Wacław Sierpiński</span>

Wacław Franciszek Sierpiński (Lehçe: ˈvat͡swaf fraɲˈt͡ɕiʂɛk ɕɛrˈpij̃skʲi Polonyalı bir matematikçiydi. Küme teorisine, sayı teorisi, fonksiyonlar teorisi ve topolojiye yaptığı katkılarla biliniyordu. 700'ün üzerinde makale ve 50 kitap yayınladı.

<span class="mw-page-title-main">Øystein Ore</span>

Øystein Ore halka teorisi, Galois bağlantıları, çizge teorisi ve matematik tarihi konularında yaptığı çalışmalarla bilinen Norveçli matematikçi.

<span class="mw-page-title-main">Analitik sayı teorisi</span>

Matematikte analitik sayı teorisi, tam sayılarla ilgili problemleri çözmek için matematiksel analiz yöntemlerini kullanan sayılar teorisinin dalıdır. Dirichlet'in aritmetik ilerlemeler üzerindeki teoreminin ilk kanıtını sunmak için Peter Gustav Lejeune Dirichlet tarafından 1837'de Dirichlet L - fonksiyonlarının tanıtılmasıyla kullanılmaya başlandığı söylenir. Asal sayılar ve toplam sayı teorisi üzerindeki sonuçlarıyla bilinmektedir.

Naif küme teorisi, 19. yüzyılın sonlarında geliştirilen orijinal küme teorisidir. Bu teori, bir kümenin bazı ortak özelliklerle birleştirilen farklı şeylerin bir koleksiyonu olarak düşünülmesini sağlar. Ayrık matematikten zaten bilinen örneğin, bir kümede hangi öğelerin bulunduğunu gösteren Venn diyagramları veya Boole cebiri gibi kavramların çoğu kullanılır. Saf küme teorisindeki ciddi kusurların keşfine yanıt olarak geliştirilen aksiyomatik küme teorisi ile karıştırılmamalıdır. Çağdaş matematik ve mühendisliğin birçok alanı için yeterince güçlüdür.

Bu bir sayılar teorisi zaman çizelgesidir.