İçeriğe atla

Radon-Nikodym teoremi

Matematikte Radon-Nikodym teoremi, aynı ölçülebilir uzayda tanımlanmış iki ölçü arasındaki ilişkiyi ifade eden bir sonuçtur. Burada ölçü ile kastedilen ölçülebilir bir uzayın ölçülebilir alt kümelerine tutarlı bir büyüklük atayan bir küme fonksiyonudur. Ölçü örnekleri arasında alan ve hacim verilebilir.

Verilen bir ölçüyü yeni bir ölçüye dönüştürmenin bir yolu, uzayın her noktasına bir yoğunluk atamak ve ardından istenilen ölçülebilir alt küme üzerinde integral almaktır ve şu şekilde ifade edilebilir:

Burada ν, ölçülebilir herhangi bir alt küme A için tanımlanan yeni ölçüdür. f fonksiyonu ise verilen bir noktadaki yoğunluktur. İntegral, μ ölçüsüne göre alınır ve bu ölçü genellikle gerçel doğru R üzerindeki veya n boyutlu Öklid uzayı Rn'deki Lebesgue ölçüsüdür. Bu ölçü, uzunluk, alan ve hacim gibi standart kavramlara karşılık gelir. Örneğin, kütle yoğunluğu f ve üç boyutlu uzay R3'teki Lebesgue ölçüsü μ ile gösterilirse, o zaman ν(A) uzaysal bir bölge A'daki toplam kütleye eşit olacaktır.

Radon-Nikodym teoremi esasen, belirli koşullar altında, herhangi bir ν ölçüsünün aynı uzaydaki başka bir μ ölçüsüne göre bu şekilde ifade edilebileceğini belirtir. f fonksiyonu o zaman Radon-Nikodym türevi olarak adlandırılır ve şeklinde gösterilir.[1] Radon-Nikodym teoreminin önemli bir uygulaması olasılık teorisinde görülür. Bu uygulamada, rassal bir değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu elde edilir.

Teorem, bu sonucu 1913'te Rn için kanıtlayan Johann Radon'un ve yine aynı sonucu daha bir genel durumda 1930'da kanıtlayan Otto Nikodym'in adını almıştır.[2] 1936'da Hans Freudenthal, bugün Riesz uzay teorisinde bir sonuç olan Freudenthal spektral teoremini kanıtlayarak Radon-Nikodym teoremini genelleştirdi. Bu sonuçta, Radon-Nikodym teoremi özel bir sonuç olarak elde edilir.[3]

Y Banach uzayıysa ve Radon-Nikodym teoreminin genellemesi Y değerlerine sahip fonksiyonlar için de geçerliyse (mutatis mutandis), o zaman Y'nin Radon-Nikodym özelliğine sahip olduğu söylenir. Bütün Hilbert uzayları Radon-Nikodym özelliğine sahiptir.

Teoremin ifadesi

ölçü uzayı, ve de bu uzayın üzerinde tanımlı σ-sonlu ölçü olsun. Eğer ise (yani, ölçüsü 'ye göre mutlak sürekli ölçü ise), o zaman ölçülebilir herhangi bir için eşitliğini sağlayan -ölçülebilir bir fonksiyonu vardır.

Radon-Nikodym türevi

Yukarıdaki eşitliği sağlayan fonksiyonu 'ye göre sıfır ölçülü kümeler haricinde biriciktir. Diğer deyişle, eğer aynı özelliği sağlayan başka bir fonksiyonu olsaydı, o zaman ile fonksiyonları 'ye göre hemen hemen her yerde birbirine eşit olurdu. Sonuç olarak, böyle bir fonksiyonu genelde olarak yazılır ve fonksiyona Radon–Nikodym türevi' denilir. Buradaki gösterim ve türev terimi kastidir; kalkülüsteki türeve benzeyecek şekilde bir ölçünün yoğunluğunun değişim oranının diğerininkine oranını gösterir.

İşaretli veya karmaşık ölçülere genelleştirilmesi

Benzer bir teorem işaretli ve karmaşık ölçüler için de kanıtlanabilir. Eğer negatif olmayan σ-sonlu bir ölçü, sonlu-değer alan işaretli veya karmaşık bir ölçü ve ise, o zaman üzerinde tanımlı, gerçel veya karmaşık değerli,'ye göre integrali olan ve ölçülebilir herhangi bir için

ilişkisini sağlayan bir fonksiyonu vardır.

Örnekler

Aşağıdaki örneklerde, X kümesi [0,1] aralığı, ise X üzerinde Borel sigma-cebiridir.

  • , X üzerinde tanımlı uzunluk ölçüsü olsun. ise X'in altkümesi Y'ye Y'nin uzunluğunun iki katını atasın. O zaman, .
  • , X üzerinde tanımlı uzunluk ölçüsü olsun. ise X'in altkümesi Y'ye {0.1, …, 0.9} kümesinin Y içinde olan eleman sayısını atasın. O zaman, ölçüsü 'ye göre mutlak sürekli değildir; çünkü, ölçüsü, 'ye göre ölçüsü sıfır olan noktalar kümesine sıfır olmayan ölçü değerleri tayin etmektedir. Gerçekten de, türevi yoktur. Mesela, herhangi bir için, 'den 'a kadar integrali 1 olan sonlu bir fonksiyon yoktur.
  • ölçüsü X üzerinde tanımlı uzunluk ölçüsü, ölçüsü 0 merkezli Dirac ölçüsü (0'ı içeren herhangi bir kümenin ölçüsü 1, geri kalan kümelerin ölçüsü ise 0) ve son olarak olsun. O zaman, ölçüsü 'ye göre mutlak süreklidir ve olur. Yani, 'da türev 0, olduğunda ise türev 1 olur.[4]

Özellikler

  • ν, μ ve λ aynı ölçülebilir uzayda σ-sonlu ölçü olsunlar. Eğer νλ ve μλ (hem ν hem de μ, λ 'ya göre mutlak sürekli) ise, o zaman λ'ya göre hemen hemen her yerde

olur.
  • Eğer νμλ ise, o zaman λ'ya göre hemen hemen her yerde

olur. Bilhassa, μν ve νμ ise, o zaman ν'ye göre hemen hemen her yerde
olur.
  • μλ ise ve g fonksiyonun μ'ye göre integrali varsa, o zaman

  • ν sonlu işaretli veya karmaşık ölçü ise, o zaman

Uygulamalar

Olasılık teorisi

Teorem, olasılık teorisinin fikirlerini gerçel sayılar üzerinde tanımlanan olasılık kütle ve yoğunluk fonksiyonlarından keyfi kümeler üzerinde tanımlanan olasılık ölçülerine genişletmede çok önemlidir. Bir olasılık ölçüsünden diğerine geçmenin mümkün olup olmadığını ve nasıl mümkün olduğunu söyler. Örneğin, olasılık ölçüleri için koşullu beklentinin varlığını kanıtlamak için kullanılabilir.

Finansal matematik

Diğer alanların yanı sıra, teorem, Finansal matematikte özellikle Girsanov teoremi aracılığıyla yaygın olarak kullanılır. Bu tür ölçü değişiklikleri, türevlerin adil fiyatlandırılmasının temel taşıdır ve gerçek dünyada gözlemlenmiş olasılıkları riske duyarsız olasılıklara dönüştürmek için kullanılır.

Bilgi ıraksaklıkları

μ ve ν X üzerinde ölçü olsun. μν ise

  • ν 'den μ 'ye Kullback–Leibler ıraksaklığı
olarak tanımlanır.
  • α > 0 ve α ≠ 1 için, ν 'den μ 'ye α mertebeden Rényi ıraksaklığı
olarak tanımlanır.

σ-sonluluk varsayımının gerekliliği

μ'nün σ-sonlu olmadığı ve Radon-Nikodym teoreminin geçerli olmadığı bir örnek verelim. Gerçel sayılar üzerinde Borel σ-cebirini ele alalım. Bir Borel kümesi A'nın sayma ölçüsü μ, eğer A sonlu ise A'nın eleman sayısını verir; aksi takdirde, A'nın sayma ölçüsü olur. μ'nün gerçekten bir ölçü olduğu kolaylıkla kontrol edilebilir. Ancak, μ, σ-sonlu değildir. Çünkü, sonlu kümelerin sayılabilir birleşimleri herhangi bir Borel kümesini vermeyebilir. Diğer deyişle, bu halde yazılamayacak Borel kümeleri vardır. ν'nün bu Borel cebiri üzerindeki olağan Lebesgue ölçüsü olduğunu varsayalım. O zaman, ν ölçüsü, μ'ye göre mutlak süreklidir. Çünkü bir A kümesi için μ(A) = 0 olması ancak A boş küme ise gerçekleşir; bu durumda ν(A) da zaten sıfırdır.

Şimdi, diyelim ki Radon–Nikodym teoremi bu durumda sağlansın. Yani, elimizde ölçülebilir bir f fonksiyonu vardır öyle ki

tüm Borel kümeleri için sağlanır. Bu halde, A'yı A = {a} gibi tek noktadan oluşan bir küme alırsak, yukarıdaki integral her a sayısı için

verecektir. O zaman, f sıfır olur. Sonuç olarak, Lebesgue ölçüsü ν de sıfır olacaktır. Bu, bir çelişkidir.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  1. ^ Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. Third. New York: John Wiley & Sons. ss. 419-427. ISBN 0-471-00710-2. 
  2. ^ Nikodym, O. (1930). "Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon" (PDF). Fundamenta Mathematicae (Fransızca). Cilt 15. ss. 131-179. JFM 56.0922.02. 9 Eylül 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 30 Ocak 2018. 
  3. ^ Zaanen, Adriaan C. (1996). Introduction to Operator Theory in Riesz Spaces. Springer. ISBN 3-540-61989-5. 
  4. ^ "Calculating Radon Nikodym derivative". Stack Exchange. 7 Nisan 2018. 

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Del işlemcisi</span>

Yöney analizinde del işlemcisi, 3 boyutlu Kartezyen koordinatlarda nabla işlemcisine denk gelir ve simgesiyle gösterilir.

<span class="mw-page-title-main">Student'in t dağılımı</span>

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında t-dağılımı ya da Student'in t dağılımı genel olarak örneklem sayısı veya sayıları küçük ise ve anakütle normal dağılım gösterdiği varsayılırsa çıkartımsal istatistik uygulaması için çok kullanılan bir sürekli olasılık dağılımıdır. Çok popüler olarak tek bir anakütle ortalaması için güven aralığı veya hipotez sınaması ve iki anakütle ortalamasının arasındaki fark için güven aralığı veya hipotez sınamasında, yani çıkarımsal istatistik analizlerde, uygulama görmektedir.

<span class="mw-page-title-main">Ki-kare dağılımı</span>

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında ki-kare dağılım özellikle çıkarımsal istatistik analizde çok geniş bir pratik kullanım alanı bulmuştur.

<span class="mw-page-title-main">Normal dağılım</span> sürekli olasılık dağılım ailesi

Normal dağılım, aynı zamanda Gauss dağılımı veya Gauss tipi dağılım olarak isimlendirilen, birçok alanda pratik uygulaması olan, çok önemli bir sürekli olasılık dağılım ailesidir.

<span class="mw-page-title-main">Weibull dağılımı</span> Olasılık dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında Weibull dağılımı ) bir sürekli olasılık dağılımı olup olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle ifade edilir:

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, çokdeğişirli normal dağılım veya çokdeğişirli Gauss-tipi dağılım, tek değişirli bir dağılım olan normal dağılımın çoklu değişirli hallere genelleştirilmesidir.

Koşullu beklenti, koşullu beklenen değer veya koşullu ortalama, olasılık kuramı bilim dalında bir reel değerli rassal değişken için bir koşullu olasılık dağılımı na göre matematiksel beklentidir.

Matematiksel çözümlemede Cesàro toplamı bir sonsuz diziye toplam değeri atamanın farklı bir yoludur. Bir dizi A toplamına yakınsıyorsa bu dizinin Cesàro toplamı da A olur. Cesàro toplamı, yakınsamayan dizilere de değer atayabilmektedir. Ne var ki, artı sonsuz değerine yönelen bir dizi hiçbir koşulda sonlu bir toplam değerine sahip olamayacaktır.

Matematik'te, Bell serisi formal kuvvet serisi aritmetik fonksiyon özellikleri çalışmasında kullanılır. Bell serisi Eric Temple Bell tarafından geliştirildi.

<span class="mw-page-title-main">Gauss fonksiyonu</span>

Matematikte Gauss fonksiyonu, bir fonksiyon biçimidir ve şöyle ifade edilir:

Matematik'te Lp uzayı, sonlu boyutlu vektör uzayı için p-norm'un doğal bir genelleme kullanarak tanımlı fonksiyon uzayı'dır.Bazen Lebesque uzayı denir.İlk Frigyes Riesz tarafından Bourbaki grubu Bourbaki 1987 olarak tanıtılmasına rağmen,Henri Lebesgue Dunford & Schwartz 1958, III.3, adına ithaf edilmiştir. fonksiyonal analiz'de Banach uzayı'nın ve topolojik vektör uzaylarının önemli bir sınıfını Lp uzayı formu oluşturur.Lebesgue uzayının fizik, istatistik, finans, mühendislik ve diğer disiplinlerde uygulamaları var.

Doğrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte matris çarpımı, bir matris çiftinde yapılan ve başka bir matris üreten ikili işlemdir. Reel veya karmaşık sayılar gibi sayılarda temel aritmetiğe uygun olarak çarpma yapılabilir. Başka bir ifade ile matrisler, sayı dizileridir. Bu yüzden, matris çarpımını ifade eden tek bir yöntem yoktur. "Matris çarpımı" terimi çoğunlukla, matris çarpımının farklı yöntemlerini ifade eder. Matris çarpımının anahtar özellikleri şunlardır: Asıl matrislerin satır ve sütun sayıları, ve matrislerin girişlerinin nasıl yeni bir matris oluşturacağıdır.

Dalga vektörü, fizikte dalgayı ifade etmemize yardımcı olan vektördür. Herhangi bir vektör gibi, yöne ve büyüklüğe sahiptir. Büyüklüğü dalga sayısı ve açısal dalga sayısıdır. Yönü ise genellikle dalga yayılımının yönüdür. İzafiyet kuramında, dalga vektörü, aynı zamanda dört vektör olarak tanımlanabilir.

<span class="mw-page-title-main">Elektromanyetizmanın eşdeğişim formülasyonu</span>

Klasik manyetizmanın eşdeğişimli formülasyonu klasik elektromanyetizma kanunlarının(özellikle de, Maxwell denklemlerini ve Lorentz kuvvetinin) Lorentz dönüşümlerine göre açıkça varyanslarının olmadığı, rektilineer eylemsiz koordinat sistemleri kullanılarak özel görelilik disiplini çerçevesinde yazılma sekillerini ima eder. Bu ifadeler hem klasik elektromanyetizma kanunlarının herhangi bir eylemsiz koordinat sisteminde aynı formu aldıklarını kanıtlamakta kolaylık sağlar hem de alanların ve kuvvetlerin bir referans sisteminden başka bir referans sistemine uyarlanması için bir yol sağlar. Bununla birlikte, bu Maxwell denklemlerinin uzay ve zamanda bükülmesi ya da rektilineer olmayan koordinat sistemleri kadar genel değildir.

Palatini özdeşliği, genel görelilik ve tensör hesabında;

şeklindeki ifadedir.

Einstein-Hilbert etkisi genel görelilikte en küçük eylem ilkesi boyunca Einstein alan denklemleri üretir. Hilbert etkisi genel görelilikte yerçekiminin dinamiğini tarifleyen fonksiyonel işlemdir. metrik işaretiyle, etkinin çekimsel kısmı,

<span class="mw-page-title-main">Stres-enerji tensörü</span>

Stres-enerji tensörü, fizikte uzayzaman içerisinde enerji ve momentumun özkütle ve akısını açıklayan, Newton fiziğindeki stres tensörünü genelleyen bir tensördür. Bu, maddedinin, radyasyonun ve kütleçekimsel olmayan kuvvet alanının bir özelliğidir. Stres-enerji tensörü, genel göreliliğin Einstein alan denklemlerindeki yerçekimi alanının kaynağıdır, tıpkı kütle özkütlesinin Newton yerçekiminde bu tip bir alanın kaynağı olması gibi.

<span class="mw-page-title-main">Planck yasası</span> belirli bir sıcaklıkta termal denge durumunda bulunan bir kara cisim ışımasının yaydığı elektromanyetik radyasyonu ifade eden terim

Planck yasası belirli bir sıcaklıkta termal denge durumunda bulunan bir kara cisim ışımasının yaydığı elektromanyetik radyasyonu ifade eder. Yasa 1900 yılında Max Planck bu ismi önerdikten sonra isimlendirilmiştir. Planck yasası modern fiziğin ve kuantum teorisinin öncül bir sonucudur.

<span class="mw-page-title-main">Ölçü (matematik)</span> uzunluk, alan, hacim ve integralin bir genellemesi olarak görülebilecek bir kümenin bazı alt kümelerine sayılar atayan işlev

Matematiksel analizde, küme üzerindeki bir ölçü, bu kümenin her bir uygun alt kümesine bir sayı atamanın sistematik bir yoludur ve sezgisel olarak kümenin boyutu olarak yorumlanır. Bu anlamda ölçü, uzunluk, alan ve hacim kavramlarının bir genellemesidir. Özellikle önemli bir örnek, Öklid geometrisinin geleneksel uzunluğunu, alanını ve hacmini n-boyutlu Öklid uzayının Rn uygun alt kümelerine atayan bir Öklid uzayındaki Lebesgue ölçüsüdür. Örneğin, gerçek sayılardaki [0, 1] aralığının Lebesgue ölçüsü, kelimenin günlük anlamındaki uzunluğudur ve tam olarak 1'dir.

Chandrasekhar sayısı, manyetik konveksiyon süreçlerinde, Lorentz kuvveti ile viskozite arasındaki oransal ilişkiyi ifade etmek için kullanılan bir boyutsuz nicelik olarak tanımlanır. Bu sayı, Hindistan kökenli astrofizikçi Subrahmanyan Chandrasekhar'ın adıyla anılmaktadır.