QFT notasyon

Uzayzamanda 2 nokta düşünelim ${\displaystyle \,(x,y,z,t)}$ ve ${\displaystyle \,(x+dx,\,y+dy,\,z+dz,\,t+dt)}$

3-boyutlu uzaydaki uzaklık kavramını genişleterek ${\displaystyle \,ds}$ simgesiyle göstereceğimiz uzayzaman aralığı kavramına ulaşırız.

${\displaystyle \,ds^{2}=c^{2}dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})}$

bu yazılışa göre uzayzaman aralığı 3 ayrı kategoride düşünelibilir

• ${\displaystyle \,ds^{2}>0}$ (zamanımsı aralık)
• ${\displaystyle \,ds^{2}<0}$ (uzayımsı aralık)
• ${\displaystyle \,ds^{2}=0}$ (ışık aralığı)

3-boyutlu uzaydaki uzaklık ${\displaystyle \,dr^{2}=(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})}$ dönüşlerden etkilenmez çünkü pozitif reel sayıldır (vektör değildir).

Özel görelilik kuramı 4-boyutlu Minkowski uzayzamanı içindeki değişmezlik'leri (invariant) ya da bakışım'ları (symmetry) inceler. Bu kuramda yandeğişken yöney (covariant vector) ve karşıdeğişken yöney (contravariant vector) kavramları vardır.

• karşıdeğişken yöney: ${\displaystyle \,x^{\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)}$
• yandeğişken yöney: ${\displaystyle \,x_{\mu }=(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=(ct,-x,-y,-z)}$

aralıklarını yazarsak

• ${\displaystyle \,dx^{\mu }=(dx^{0},dx^{1},dx^{2},dx^{3})=(d(ct),dx,dy,dz)}$
• ${\displaystyle \,dx_{\mu }=(dx_{0},dx_{1},dx_{2},dx_{3})=(d(ct),-dx,-dy,-dz)}$

Notasyon kuralına göre ${\displaystyle \,ds}$ uzayzaman aralığı yandeğişken yöney ve karşıdeğişken yöney aralıklarının iççarpım'ından elde edilir.

${\displaystyle \,ds^{2}=dx^{\mu }dx_{\mu }=c^{2}dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})}$

Burada Einstein toplam uzlaşımı notasyonu kullanılır, yani ${\displaystyle \,ds^{2}=dx^{\mu }dx_{\mu }}$ simgesinde tekrar eden endeks ${\displaystyle \,\mu }$ yöney elemanlarının "iççarpım" işlemi sırasında her endeks için elde edilen çarpımın toplandığını simgesel olarak gösterir.

Notasyonun amacı kuramsal açıklamaları en kısa simgesel yazım ile anlatmaktır. Bir başka amacıda ${\displaystyle \,dx^{\mu }dx_{\mu }}$ simgesini form olarak ${\displaystyle \,dr^{2}}$ simgesine benzer kılmaktır.

yandeğişken aralık ve karşıdeğişken aralık şu şekilde birbirine dönüşür:

• ${\displaystyle \,dx_{\mu }=g_{\mu \nu }dx^{\mu }}$
• ${\displaystyle \,dx^{\mu }=g^{\mu \nu }dx_{\mu }}$

Dönüşümü sağlayan dizeye metrik tensör denir ve Minkowski uzayında metrik tensör ${\displaystyle \,g_{\mu \nu }}$ ve karşıtı ${\displaystyle \,g^{\mu \nu }}$ birbirine eşittir.

${\displaystyle g_{\mu \nu }=g^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle \,\partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3})=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\,\,^{,}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\,^{,}{\frac {\partial }{\partial y}}\,\,^{,}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

• ${\displaystyle \,\partial ^{\mu }=g^{\mu \nu }\partial _{\nu }}$

• ${\displaystyle \,\partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \,\partial ^{\mu }\partial _{\mu }\,\,\,}$ d'Alembertian operatörü olarak bilinir ve bir Lorentz değişmezi'dir.