Primoriyel

Primoriyel (İngilizce İngilizce: prime (=asal)'dan), matematikte ve bilhassa sayı teorisinde doğal sayılardan doğal sayılara tanımlanmış faktöriyele benzer şekilde art arda pozitif tam sayıları çarpacağı yerde sadece asal sayıları çarpar.

Birbiriyle çelişen iki tanımda kullanılan değişkenin mânâsı farklı yorumlanmaktadır: birincisi değişkeni asal sayıların sıralaması olarak yorumlar, dolayısıyla monoton artar. İkinci yorumu değişkeni birbiriyle çarpılacak asal sayılara işaret eder ve dolayısıyla her bileşik sayı için bir önceki değerle aynı değeri alır. Bu maddenin devamında ikinci tanım kullanılacaktır.

Primoriyel adı, bu fonksiyonla faktöriyel arasındaki analojiye işaret eden Harvey Dubner tarafından verilmiştir; faktöryel nasıl faktörlere ilgiliyse primoriyel de asal sayılarla (İng. İngilizce: prime numbers veya kısaca İngilizce: primes) benzer şekilde ilgilidir.

n'inci asal sayı p_n için primoriyel p_n#, ilk n asalın çarpımı olarak tarif edilir:^[1][2]${\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}}$

Burada p_k k'inci asal sayıdır.

Mesela p₅#, ilk beş asalın çarpımını gösterir:

${\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

İlk altı primoriyel p_n# are:

1, 2, 6, 30, 210, 2310. (OEIS'de A002110 dizisi)

Diziye p₀# = 1 de boş çarpım olarak eklenmiştir.

Asimtotik olarak primoriyel p_n#,

${\displaystyle p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n},}$

fonksiyonuna göre artarlar. Burada ${\displaystyle o(\cdot )}$ küçük o gösterimidir.^[2]

Genelde n pozitif tam sayısı için n# ≤ n olan bütün asalların çarpımı olarak da tarif edilebilir:^[1][3]${\displaystyle n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#}$

Burada ${\displaystyle \scriptstyle \pi (n)}$ asal sayan fonksiyon (OEIS'de A000720 dizisi) olup ≤ n olan asal sayıların kaç tane olduğunu haber verir.

Bu tanım, aynı zamanda şuna da eşittir.

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\n\times ((n-1)\#)&{\text{if }}n>1\ \And \ n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n>1\ \And \ n{\text{ is composite}}.\end{cases}}}$

Mesela 12#, 12'den küçük asal sayıların çarpımıdır:

${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

${\displaystyle \scriptstyle \pi (12)=5}$ olduğundan bu değer

${\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310}$

şeklinde hesaplanır.

Bu tanıma göre ilk 12 primoriyel n# şöyledir:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Görüldüğü gibi bileşik n için her terim n#, tarifinde de görüldüğü gibi bir önceki terimin eşidir (n − 1)#. Yukarıdaki örnekte 12 bileşik sayı olduğundan 12# = p₅# = 11#'dir.

n#'nin tabii logaritması birinci Çebişev fonksiyonu olup ${\displaystyle \theta (n)}$ veya ${\displaystyle \vartheta (n)}$ şeklinde yazılır. Bu fonksiyon büyük n 'ler için lineer n 'ye yaklaşır.^[4]

n# primoriyeli

${\displaystyle \ln(n\#)\sim n.}$

fonksiyonuna göre büyür.

Bütün bilinen asal sayıları çarpma fikri asal sayıların sonsuzluğu ile ilgili bâzı ispatlarda geçmekte olup başka bir asal sayının varlığını türetmek için kullanılır.

Primoriyeller, aritmetik artışlarda asal sayıları aramada bir rol oynar. Mesela 2236133941 + 23# bir asal sayıdır ve on üç asal sayıdan oluşan bir dizinin başıdır. Bu dizi, yukarıdaki asal sayıya 23# eklemekle elde edilir, on üçüncü ve sonuncu elemanı da 5136341251'dir. 23#, aynı zamanda on beş ve on altı asalın aritmetik progresyonunda ortak farkı teşkil eder.

Her yüksek derecede bileşik sayı primoriyellerin çarpımıdır (mesela 360 = 2·6·30).^[5]

Primoriyeller karesiz tam sayılar olup kendilerinden küçük herhangi bir sayıdan daha fazla farklı asal faktörleri vardır. Her primoriyel n için ${\displaystyle \phi (n)/n}$ kesri, kendisinden küçük her tam sayı için olan kesirden küçüktür. Burada ${\displaystyle \phi }$ Euler'in totient fonksiyonudur.

Birden büyük pozitif tam sayılar için Riemann zeta fonksiyonu,^[6] primorieller ve ${\displaystyle J_{k}(n)}$ Jordan'ın totient fonksiyonunu kullanarak hesaplanabilir:

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots }$

• Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.

• Bonse eşitsizliği
• Faktöriyel sayı sistemi
• Primoriyel asal sayı