Polinom bölme

Cebirde polinom bölme, bir polinomu, eşit ya da daha düşük dereceli bir polinoma bölme algoritmasıdır. Uzun bölme olarak adlandırılan aritmetik yöntemin genellemesi olan algoritma, karmaşık bir bölme işlemini basite indirgediğinden elle yapılabilmektedir.

f(x) ve g(x) bir polinom (g(x) sıfırdan farklı olmak koşuluyla) olmak üzere

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x)}}}$

eşitliğini sağlayan q(x) ve r(x) polinomları bulunur. Burada r(x)'in derecesi g(x)'inkinden küçüktür.

Sentetik bölme işlemine f(x) pay, g(x) sıfırdan farklı bir payda olarak uygulandığında bölüm q(x) ve kalan r(x) olarak bulunacaktır. Bu yöntemde bölünen düzenli (cebirsel olmayan) bir ifade biçiminde yazılır.

${\displaystyle g(x){\overline {\vert f(x)}}}$

En büyük derece dışındaki tüm terimlerin, katsayıları sıfır olsa bile yazılması gerekir.

${\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}}$

işlemi yapılırken ifade önce aşağıdaki biçimde yazılır.

${\displaystyle x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}}$

Bölüm ve kalan şu biçimde hesaplanabilir:

1. Payın ilk terimi paydanın en yüksek dereceli terimine bölünür ve sonuç, (x³ ÷ x = x³ · x^-1 = x^3-1 = x²) çizgisinin üstüne yazılır.

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\end{matrix}}}$

2. Elde edilen sonuç paydayla çarpılır ve bu ifade (x² · (x - 3) = x³ - 3x²) terimlerinin altına yazılır.

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;x^{3}-3x^{2}\end{matrix}}}$

3. Çıkarma işlemi yapılır ve sonuç aşağıya yazılır. ((x³ - 12x²) - (x³ - 3x²) = -12x² + 3x² = -9x²) Payın bir sonraki terimi aşağıya alınır.

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;{\underline {x^{3}-3x^{2}}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\end{matrix}}}$

4. Önceki adımlar yinelenir.

${\displaystyle {\begin{matrix}\;x^{2}-9x\\\qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\end{matrix}}}$

5. 4. adım yinelenir.

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \quad \;\,x^{2}\;-9x\quad -27\\\qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27x+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}}$

Çizginin üstünde kalan polinom bölümü verirken en alttaki ifade (-123) kalandır.

${\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=x^{2}-9x-27-{\frac {123}{x-3}}}$

İlköğretim öğrencilerine verilen uzun bölme algoritması bu yöntemin özel bir durumu olarak görülebilir.

Sentetik bölme, iki polinomu, yukarıda açıklanan uzun bölme işlemindeki kayıtları tutmadan bölmek için kullanılan bir yöntemdir. Ne var ki, bu yöntem yalnızca tek değişkenli polinomları bölmek için kullanılmaktadır.

b bir rasyonel sayı olmak üzere, (x + b) ifadesinde b'den önce gelen im çizginin soluna yazılır. Böylece, olağan bölme işlemindeki çıkarma işlemleri yerine yalnızca toplama işlemi yapılır. Bu, elle yapılan bölme işlemlerindeki hata payını azaltmaktadır.

Ruffini kuralıyla bölme olarak da adlandırılan sentetik bölme Paolo Ruffini tarafından 1809 yılında bulunmuştur.

YUkarıdaki örnek bu yöntemle çözülecek olursa

${\displaystyle x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}}$

yazımıyla başlayan çözüm yalnızca katsayılara odaklanır.

${\displaystyle {\begin{matrix}3&|&1&-12&0&-42\end{matrix}}}$

Çizgiden sonra gelen ilk katsayı üçüncü satıra alınır.

${\displaystyle {\begin{matrix}3&|&1&-12&0&-42\\&|&&&&\\&|&1&&&\\\end{matrix}}}$

Aşağıya alınan sayı çizginin önündeki sayıyla çarpılır ve sonuç hemen yandaki sütuna yazılır.

${\displaystyle {\begin{matrix}3&|&1&-12&0&-42\\&|&&3&&\\&|&1&&&\\\end{matrix}}}$

Bu sütunda gerekli toplama işlemi gerçekleştirilir.

${\displaystyle {\begin{matrix}3&|&1&-12&0&-42\\&|&&3&&\\&|&1&-9&&\\\end{matrix}}}$

Önceki iki adım yinelendiğinde şu sonuca ulaşılmaktadır:

${\displaystyle {\begin{matrix}3&|&1&-12&0&-42\\&|&&3&-27&-81\\&|&1&-9&-27&-123\\\end{matrix}}}$

Son satırdaki sayılar en sağdaki dışında bölümün katsayılarını vermektedir. Kalan ise en sağdaki sayıdır. Kalanın hemen solunda yer alan sayıdan başlayarak sola doğru dereceler artar ve bölme sonucu

${\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=x^{2}-9x-27-{\frac {123}{x-3}}}$

olarak hesaplanır.

Yukarıda açıklanan sentetik bölme işlemi yalnızca birinci dereceden paydalara uygulanabilmektedir. Yine de, ikinci dereceden ya da daha yüksek dereceli tek değişkenli polinomlar için kullanılan bir kısayol da bulunmaktadır.

${\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x^{2}+x-3}}}$

işlemi

${\displaystyle {\begin{matrix}-1&3&|&1&-12&0&-42\end{matrix}}}$

yazımıyla başlar. Sağdaki ilk katsayının altı çizilir, bu sayı soldaki katsayılarla çarpılır ve elde edilen sonuçlar sağdaki sütunlara geçirilir.

${\displaystyle {\begin{matrix}-1&3&|&{\underline {1}}&-12&0&-42\\&&|&&-1&3&\\\end{matrix}}}$

Toplama işlemi yapılır.

${\displaystyle {\begin{matrix}-1&3&|&{\underline {1}}&-12&0&-42\\&&|&&-1&3&\\&&|&&-13&3&-42\\\end{matrix}}}$

Önceki iki adım yinelenir.

${\displaystyle {\begin{matrix}-1&3&|&{\underline {1}}&-12&0&-42\\&&|&&-1&3&\\&&|&&{\underline {-13}}&3&-42\\&&|&&&13&-39\\&&|&&&16&-81\\\end{matrix}}}$

Altı çizili sayılar bölümün katsayılarını gösterirken en alt satırda kalan sayılar kalanın katsayılarını ifade etmektedir. Terimler sağdan sola artan derecelerle yazılır ve bölme sonucu

${\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x^{2}+x-3}}=x-13+{\frac {16x-81}{x^{2}+x-3}}}$

olarak hesaplanır.

• Polinom kalanı kuramı
• Öklit bölgesi
• Gröbner tabanı
• İki polinomun en büyük ortak böleni