Poisson denklemi

Matematikte, Poisson denklemi elektrostatik, makine mühendisliği ve teorik fizik'de geniş kullanım alanına sahip eliptik türdeki Kısmi diferansiyel denklemlerdir. Fransız matematikçi, geometrici ve fizikçi olan Siméon Denis Poisson'dan sonra isimlendirilmiştir. Poisson denklemi

${\displaystyle \Delta \varphi =f}$

Burada ${\displaystyle \Delta }$ Laplasyene ve f ve φ ise Çokkatlıda gerçek veya Karmaşık-değerli fonksiyonlara karşılık gelmektedir. Çokkatlı öklid uzayı olduğu zaman, Laplasyen ${\displaystyle {\nabla }^{2}}$ olarak belirtilir ve Poisson denklemi genel olarak

${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f.}$

şeklinde yazılır. 3 boyutlu Kartezyen koordinat sisteminde

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}$

formunu alır. f sıfır olduğunda denklem;

${\displaystyle \Delta \varphi =0.\!}$

halini alır. Bu Poisson denklemi, Green fonksiyonu kullanılarak çözülebilir; Green Fonksiyonunun Poisson denklemi için genel çözümünü Sönümlü Poisson denklemi başlığında verilmiştir. Nümerik çözüm için çok fazla değişik türden metot bulunmaktadır; rahatlatma metodu, yinelemeli algoritma sadece bir örnek...

Elektrostatiğin köşe taşlarından biri de Poisson denklemleri ile açıklanan problemlerin çözümünü ortaya atıp çözmektir. Verilmiş bir yük dağılımı için Elektriksel gerilimi bulmak için genelde kullandığımız yol bu olduğu için, φ'yi verilmiş f cinsinden bulmak önemli pratik bir sorundur.

Elektrostatikteki Poisson denkleminin türeyişi şu şekildedir. Uluslararası Birimler Sisteminin Öklid uzayında kullanıldığını var sayarsak ve differansiyel kontrol hacimdeki elektrik için Gauss Yasası ile başlarsak:

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}}$

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot }$, Diverjansa

${\displaystyle \mathbf {D} }$, elektrik deplasman alanına

${\displaystyle \rho _{f}}$, serbest yükün yük yoğunluğuna (yani dışarıdan getirilmiş yüklere) tekamül etmektedir.

Ortamın lineer, izotropik ve homojen olduğunu kabul edersek;

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$

${\displaystyle \varepsilon }$, ortamın geçirgenliği

${\displaystyle \mathbf {E} }$, elektrik alan'dır.

Yerine koyma ve sadeleştirme işlemlerinden sonra;

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}}$

elde ederiz. Değişken bir manyetik alan, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ olmadığı zaman, Faraday-Lenz yasası gereğince,

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\dfrac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0}$

${\displaystyle \nabla \times }$, Rotasyonele

${\displaystyle t}$ ise zamana karşılık gelmektedir.

Elektrik Alanın Rotasyoneli sıfır olduğundan, o bir skaler elektrik potansiyel birler elektrik potansiyel olarak tanımlanır.

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi }$

${\displaystyle \mathbf {E} }$’yi yerine koyma metodu ile yok edersek, Poisson denkleminin bir formunu elde ederiz:

${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \varphi ={\nabla }^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.}$

Potansiyel için Poisson denklemini çözmek yük yoğunluğu dağılımının bilinmesini gerektirir. Eğer yük yoğunluğu sıfır ise denklem Laplace denklemine dönüşür. Eğer ki yük yoğunluğu Boltzmann dağılımına tekamül ederse denklem Poisson-Boltzman denklemi halini alır. Poisson Boltzmann denklemi Debye-Hückel denkleminin gelişmesinde büyük rol oynar.

(Not: Yukarıdaki tartışma manyetik alanın zamanla değişmediğini kabullenim olarak alsa da aynı Coulomb ölçümlemesi kullanıldığı sürece zamanla gerçekten bir değişim olsa bile Poisson denklemi ortaya çıkar. Yalnız, genel bağlamda ${\displaystyle \varphi }$ hesaplamak artık ${\displaystyle \mathbf {E} }$’yi hesaplamak için yeterli değildir, çünkü ikincisi aynı zamanda manyetik vektör potansiyeline bağlıdır, ki bu da bağımsız olarak hesaplanmalıdır.)

Eğer ki durgun küresel simetrik bir Gauss yük yoğunluğu ${\displaystyle \rho _{f}(r)}$ var ise:

${\displaystyle \rho _{f}(r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},}$

burada Q toplam yüktür. Dolayısıyla Poisson denkleminin çözümü φ (r),

${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =-{\rho _{f} \over \varepsilon }}$,

burada ${\displaystyle \varphi (r)}$ şöyle gösterilir;

${\displaystyle \varphi (r)={1 \over 4\pi \varepsilon }{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)}$

ki burada erf(x) hata fonksiyonuna tekamül etmektedir. Bu çözüm bariz bir biçimde ${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi }$yi hesaplayarak kontrol edilebilir. Dikkate alınmalı ki, tahmin edildiği şekilde σ den çok büyük bir r için erf fonksiyonu 1'e ve potansiyel noktasal yük potansiyeli φ (r), ${\displaystyle {1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{Q \over r}}$'e yaklaşmaktadır. Ayrıca, erf fonksiyonu kendi argümanı arttıkça 1'e çok hızlı şekilde yaklaşmaktadır; pratikte r > 3σ için göreli hata binde birden küçüktür.

• Ayrık Poisson denklemi
• Poisson–Boltzmann denklemi
• Poisson denklemi için benzersizlik teoremi

• "Poisson's equation". PlanetMath. 18 Şubat 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. .
• "Poisson's Equation for a Point Source". COMSOL Multiphysics model gallery. 8 Mart 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. .