Poincaré yinelenme teoremi

Matematikteki Poincaré yinelenme teoremine göre, dinamikleri hacmini koruyan ve sınırlı mekansal hacimle sınırlanan bir sistem, yeterli süre sonra, baştaki durumuyla aynı olacak veya ona çok yakın bir biçimde yinelenecektir.

Teorem adını, 1890 yılında geliştiren Henri Poincaré'den alır.

Sıradan bir diferansiyel denklem tarafından tanımlanan herhangi bir dinamik sistem, kendi üzerinde faz uzayını haritalayan bir akış haritası belirler. Faz uzayındaki bir kümenin hacmi akış altında değişmez ise sistemin hacim koruyucu olduğu söylenir. Örneğin, tüm Hamilton sistemleri Liouville teoremi nedeniyle hacim koruyucudur. O halde teorem şudur: Eğer akış hacmi koruyorsa ve sadece sınırlı yörüngelere sahipse, bulunan her açık kümesi için o kümeyle sonsuz sıklıkta kesişen bir küme daha vardır.^[1]

Ayrık enerji öz durumlu zamandan bağımsız kuantum mekanik sistemler için benzer bir teorem geçerlidir. Her biri için ${\displaystyle \varepsilon >0}$ and ${\displaystyle T_{0}>0}$ T'den daha büyük bir zaman vardır ${\displaystyle T_{0}}$, öyle ki ${\displaystyle ||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |<\varepsilon }$, nerede ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ t anında sistemin durum vektörünü gösterir.^[2][3][4]

İspatın temel unsurları aşağıdaki gibidir. Sistem zamanla şunlara göre gelişir:

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\exp(-iE_{n}t)|\phi _{n}\rangle }$

burada ${\displaystyle E_{n}}$ enerji öz değerleri (doğal birimleri kullanıyoruz, bu nedenle ${\displaystyle \hbar =1}$) ve ${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$ enerji öz durumlarıdır. Zamandaki durum vektörünün farkının Kare normu ${\displaystyle T}$ ve zaman sıfır, olarak yazılabilir:

${\displaystyle ||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]}$

Toplamı T'den bağımsız bir n = N de kesebiliriz, çünkü

${\displaystyle \sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]\leq 2\sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}}$

N'yi artırarak keyfi olarak küçük yapılabilir; ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}}$, başlangıç durumunun kare normu olan 1'e yakınsar.

Sonlu toplam

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]}$

aşağıdaki yapıya göre, t zamanının belirli seçimleri için keyfi olarak küçük yapılabilir. Keyfi bir seçim yapın ${\displaystyle \delta >0}$ ve sonra tam sayılar olacak şekilde T'yi seçin ${\displaystyle k_{n}}$ bu tatmin edici

${\displaystyle |E_{n}T-2\pi k_{n}|<\delta }$,

tüm sayılar için ${\displaystyle 0\leq n\leq N}$. Bu özel seçim için T,

${\displaystyle 1-\cos(E_{n}T)<{\frac {\delta ^{2}}{2}}.}$

bu nedenle,

${\displaystyle 2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}}$.

Durum vektörü ${\displaystyle |\psi (T)\rangle }$ böylece keyfi olarak başlangıç durumuna yakın bir şekilde döndürür ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$.

• Boltzmann beyni
• Ergodik kuramı