Planck birimleri

Planck birimleri, aşağıdaki listede de gösterilen gibi SI tarafından kabul edilen ve yedi temel birimden türetilen fiziksel ölçü birimleridir. Bu yedi fiziksel sabit, eğer türetilen herhangi bir birimin sayısal değeri olarak kullanılırsa değeri 1 birim olur. Planck birimlerinin kuramsal fizikte derin anlamları vardır. Bunlar, fizik yasasının cebirsel ifadelerini, çok kolay biçimde basitleştirirler. Kuantum kütleçekimi gibi birleşik kuramların incelenmesi özel rol oynarlar.

1899'da Alman fizikçi Max Planck tarafından resmen önerildi. Bunlar doğal birimler olarak da bilinir. Çünkü tanımlarının kökeni yalnızca doğadan gelir, insanın elde edebileceği büyüklükler değillerdir. Planck birimleri, SI'da anılan SI olmayan birimlerde sınıflandırılan doğal birimlerdir. Fakat, bu birimler herhangi bir prototip nesne veya parçacığın bir özelliği olmaması için eşsiz olarak dikkate alınmışlardır, fakat vakumun bir özelliği olabilirler.

1 olarak normalleştirilen evrensel Planck birimleri ve sembolleri şunlardır;

kütle çekim sabiti, G,
indirgenmiş Planck sabiti, ħ,
bir vakumdaki ışık hızı, c,
Coulomb sabiti, (4πε₀)⁻¹ (bazen k_e veya k) ve

ve

Boltzmann sabiti, k_B (bazen k).

Planck, yalnızca, evrensel sabitlerdeki G, h, c ve k_B (doğal birimlere bakın) ve Tomilin temel birimlerini dikkate aldı.^[1] Planck, hiçbir elektromanyetik birimi benimsemedi. Planck birimlerinin bir doğal genelleştirilmesi (4πε₀)⁻¹ =1 biçimindedir.^[2]

Bu sabitlerden her biri en az bir kuramsal fizik kavramı ile ilişkilidir: Örneğin; c, elektromanyetizma ve özel görelilik; G, genel görelilik ve Newton'ın evrensel kütleçekim yasası; ħ, kuantum mekaniği; ε₀, elektrostatik ve k_B, istatistiksel mekanik ve termodinamik ile ilgilidir.

Dünya dışı yaşam olduğunu savunan bazı fizikçiler bir birimler sisteminin anlaşılabilmesi için çalışma yapıyor.^[3] İnsan tarafından doğrudan kullanılabilen temel SI birimleri metre ve saniyenin aksine, Planck uzunluğu ve Planck zamanı, ancak belirli fiziksel seviyelerle ilişkilidir.

Temel Planck birimleri

Ölçü özellikli tüm temel birim sistemlerinde, örneğin SI'da uzunluk temel birimi metredir. Planck birimler sisteminde uzunluk birimi Planck uzunluğu, zaman birimi de Planck zamanıdır, vb. Bu birimler Tablo 1'deki beş adet boyutsal olan evrensel fizik sabitinden türetilmiştir. Bunun yöntemi, fiziksel nicelikler Planck birimi olarak ifade edildiğinde, fizik yasasının temel denklemleri kullanılarak sabitlerin eliminasyonudur. Örneğin Newton'ın evrensel kütleçekim yasası şöyledir;

F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},

Şöyle de ifade edilebilir;

{\frac {F}{F_{\text{P}}}}={\frac {\left(m_{1}/m_{\text{P}}\right)\left(m_{2}/m_{\text{P}}\right)}{\left(r/l_{\text{P}}\right)^{2}}}.

Her iki denklem de boyutsal olarak tutarlıdır ve herhangi bir birim sisteminde eşdeğerdir. Fakat ikinci denklemde G elendiğinden dolayı yalnızca boyutsuz niceliklerle ilgilidir. Çünkü iki benzer boyutlu niceliklerin oranı, boyutsuz bir nicelik olur. Eğer bir stenografi dönüşümü yapılırsa, tüm fiziksel niceliklerin Planck birimleri ile ifade edilebileceği görülebilir. Yukarıda orandaki ilgili birimler ölçeklenmeksizin, basit fiziksel sembollerle ifade edilebilir;

F={\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\ .

Yukarıdaki birinci denklemde Gnin elenmesi sonucu elde edilen bu son denklemin anlaşılabilmesi için F, m₁, m₂ ve r niceliklerinin boyutsuz sayısal değerleri, Planck birimlerine dönüştürülmelidir. Planck birimlerinin ve diğer doğal birimlerin niçin kullanıldığının bir göstergesi; G = c = 1,

Tablo 1: Temel fizik sabitleri
Sabit	Sembol	Boyut	SI birimlerindeki kararsızlık değeri^[4]
Bir vakumdaki ışık hızı	c	L T ⁻¹	2,99792458×10⁸ m s⁻¹ (metre olarak tam ifadesi)
Kütle çekimi sabiti	G	L³ M⁻¹ T ⁻²	6,67384(80) × 10⁻¹¹ m³kg⁻¹ s⁻²
İndirgenmiş Planck sabiti	ħ = h/2π h, Planck sabitidir	L² M T ⁻¹	1,054571726(47) × 10⁻³⁴ J s
Coulomb sabiti	(4πε₀)⁻¹ ε₀, Yalıtkanlık sabitidir	L³ M T ⁻² Q⁻²	8.9875517873681764×10^⁹ kg m³ s⁻² C⁻² (amper ve metre olarak tam ifadesi)
Boltzmann sabiti	k_B	L² M T ⁻² Θ⁻¹	1,3806488(13) × 10⁻²³ J/K

Boyut sembolleri: L = uzunluk, M = kütle, T = zaman, Q = elektriksel yük, Θ = sıcaklık.
Not: Tabloda parantezler içindeki iki rakam, (örneğin yerçekimi sabiti değerindeki 80 sayısı) yaklaşık değerin standart hatasını verir.

Yukarıda da görüldüğü gibi her biri 1 Planck kütlesine sahip olan ve aralarında 1 Planck uzunluğu kadar mesafe olan iki cismin kütleçekim kuvvetine, 1 Planck kuvveti denir. Ayrıca ışık hızı, 1 Planck uzunluğundaki mesafeyi 1 Planck zamanında kat eder. Beş temel Planck biriminin büyüklük değerlerini SI veya diğer birim sistemlerini tanımlamak için, yukarıdaki iki denklem ve aşağıdaki beş denklem yeterlidir:

l_{\text{P}}=ct_{\text{P}}

F_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}l_{\text{P}}}{t_{\text{P}}^{2}}}=G{\frac {m_{\text{P}}^{2}}{l_{\text{P}}^{2}}}

E_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{t_{\text{P}}^{2}}}=\hbar {\frac {1}{t_{\text{P}}}}

F_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}l_{\text{P}}}{t_{\text{P}}^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{\text{P}}^{2}}{l_{\text{P}}^{2}}}

E_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{t_{\text{P}}^{2}}}=k_{\text{B}}T_{\text{P}}.

Bilinmeyen beş sonuç için yukarıdaki beş denklemin çözümü, Tablo 2'deki beş temel Planck birimini verir:

Tablo 2: Temel Planck birimleri

{{| class="wikitable" ! Boyut ! İfade ! Değer^[4] (SI birimleri) |- align="left" | Planck uzunluğu | Uzunluk (L) | $l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$ | 1.616 199(97) × 10⁻³⁵ m^[5] |- | Planck kütlesi | Kütle (M) | $m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}$ | 2.176 51(13) × 10⁻⁸ kg^[6] |- | Planck zamanı | Zaman (T) | $t_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}}{c}}={\frac {\hbar }{m_{\text{P}}c^{2}}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}$ | 5.391 06(32) × 10⁻⁴⁴ s^[7] |- | Planck yükü | Elektriksel yük (Q) | $q_{\text{P}}={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}$ | 1.875 545 956(41) × 10⁻¹⁸ C^[8]^[9]^[10] |- | Planck sıcaklığı | Sıcaklık (Θ) | $T_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}c^{2}}{k_{\text{B}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk_{\text{B}}^{2}}}}$ | 1.416 833(85) × 10³² K^[11] |}

Türetilen Planck birimleri

Herhangi bir ölçü sisteminde, birçok fiziksel nicelik için türetilen birimler temel birimlerden elde edilmiştir. Tablo 3'te örnek olarak türetilen Planck birimleri verilmiştir. Bunlardan bazıları nadiren kullanılır.

Tablo 3: Türetilen Planck birimleri

Boyut	İfade	Yaklaşık SI eşdeğeri
Planck alanı	Alan (L²)	$l_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}$	2.61223 × 10⁻⁷⁰ m²
Planck hacmi	Hacim (L³)	$l_{\text{P}}^{3}=\left({\frac {\hbar G}{c^{3}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\sqrt {\frac {(\hbar G)^{3}}{c^{9}}}}$	4.22419 × 10⁻¹⁰⁵ m³
Planck momentumu	Momentum (LMT⁻¹)	$m_{\text{P}}c={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}$	6.52485 kg m/s
Planck enerjisi	Enerji (L²MT⁻²)	$E_{\text{P}}=m_{\text{P}}c^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}$	1.9561 × 10⁹ J
Planck kuvveti	Kuvvet (LMT⁻²)	$F_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}$	1.21027 × 10⁴⁴ N
Planck gücü	Güç (L²MT⁻³)	$P_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{5}}{G}}$	3.62831 × 10⁵² W
Planck yoğunluğu	Yoğunluk (L⁻³M)	$\rho _{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\frac {\hbar t_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}$	5.15500 × 10⁹⁶ kg/m³
Planck açısal frekansı	Açısal frekans (T⁻¹)	$\omega _{\text{P}}={\frac {1}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}$	1.85487 × 10⁴³ s⁻¹
Planck basıncı	Basınç (L⁻¹MT⁻²)	$p_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}^{3}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}$	4.63309 × 10¹¹³ Pa
Planck akımı	Elektrik akımı (QT⁻¹)	$I_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \epsilon _{0}}{G}}}$	3.4789 × 10²⁵ A
Planck gerilimi	Gerilim (L²MT⁻²Q⁻¹)	$V_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{q_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}q_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \epsilon _{0}}}}$	1.04295 × 10²⁷ V
Planck empedansı	Direnç (L²MT⁻¹Q⁻²)	$Z_{\text{P}}={\frac {V_{\text{P}}}{I_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{q_{\text{P}}^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}$	29.9792458 Ω

Fiziksel denklemleri basitleştirme

Zaman ve uzunluk gibi farklı boyutlara sahip fiziksel nicelikler, sayılar değerlere sahip olsalar bile eşleştirilemezler. Örneğin 1 saniye ile 1 metre aynı değildir. Fakat bu tereddüt kuramsal fizikte, bir tarafa bırakılır ve bu süreç boyutsuzlaştırma olarak adlandırılır. Tablo 4, temel Planck birimlerinin sayısal değerlerinin nasıl elde edildiğini gösteriyor.

Tablo 4: Planck birimlerinin basitleştiren fiziksel denklemler
	SI biçimi	Boyutsuzlaştırılan biçim
Newton'ın evrensel kütleçekim yasası	$F=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$	$F=-{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$
Genel görelilikteki Einstein alan denklemleri	${G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\$	${G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\$
Özel görelilik E=mc²	${E=mc^{2}}\$	${E=m}\$
Enerji-momentum ilişkisi	$E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}\;$	$E^{2}=m^{2}+p^{2}\;$
Termal enerji bölü parçacık bölü serbestlik derecesi	${E={\tfrac {1}{2}}k_{\text{B}}T}\$	${E={\tfrac {1}{2}}T}\$
Boltzmann entropi formülü	${S=k_{\text{B}}\ln \Omega }\$	${S=\ln \Omega }\$
Enerji ve açısal frekans için Planck sabiti	${E=\hbar \omega }\$	${E=\omega }\$
Kara cisim için T sıcaklığındaki Planck kanunu (yüzey şiddeti bölü birim katı açı bölü birim açısal frekans).	$I(\omega ,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}~{\frac {1}{e^{\frac {\hbar \omega }{k_{\text{B}}T}}-1}}$	$I(\omega ,T)={\frac {\omega ^{3}}{4\pi ^{3}}}~{\frac {1}{e^{\omega /T}-1}}$
Stefan–Boltzmann sabiti (σ) ifadesi	$\sigma ={\frac {\pi ^{2}k_{\text{B}}^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}$	$\ \sigma =\pi ^{2}/60$
Bekenstein–Hawking kara delik entropisi^[12]	$S_{\text{BH}}={\frac {A_{\text{BH}}k_{\text{B}}c^{3}}{4G\hbar }}={\frac {4\pi Gk_{\text{B}}m_{\text{BH}}^{2}}{\hbar c}}$	$S_{\text{BH}}=A_{\text{BH}}/4=4\pi m_{\text{BH}}^{2}$
Schrödinger denklemi	$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\dot {\psi }}(\mathbf {r} ,t)$	$-{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i{\dot {\psi }}(\mathbf {r} ,t)$
Schrödinger denkleminin Hamilton biçimi	$H\left\|\psi _{t}\right\rangle =i\hbar \partial \left\|\psi _{t}\right\rangle /\partial t$	$H\left\|\psi _{t}\right\rangle =i\partial \left\|\psi _{t}\right\rangle /\partial t$
Dirac denkleminin kovaryans biçimi	$\ (i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi =0$	$\ (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0$
Coulomb yasası	$F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$	$F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$
Maxwell denklemleri	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0\$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ $\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {1}{\epsilon _{0}}}\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0\$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ $\nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

İrdeleme

Bazı Planck birimlerinin günlük yaşamda büyüklük ölçümleri için kullanılabilirler: Örneğin

1 Planck kütlesi yaklaşık 22 mikrogram;
1 Planck momentumu yaklaşık 6,5 kg m/s (veya N·s);
1 Planck enerjisi yaklaşık 500 kWh;
1 Planck yükü hemen hemen 11,7 temel yük;
1 Planck empedansı 30 ohma çok yakındır.

Tablo 5: Planck birimlerinde günümüz evreni
Evrenin mevcut özelliği	Planck birimlerinin yaklaşık değeri	Eşdeğerleri
Yaş	8,0 × 10⁶⁰ t_P	4,3 × 10¹⁷ s veya 13,7 × 10⁹ yaş
Çapı	5,4 × 10⁶¹ l_P	8,7 × 10²⁶ m veya 9,2 × 10¹⁰ ışık yılı
Kütle	yaklaşık 10⁶⁰ m_P	3 × 10⁵² kg veya 1,5 × 10²² güneş kütlesi (yalnız sayılan yıldızlar) 10⁸⁰ proton (Eddington sayısı olarak da bilinir)
Sıcaklık	1,9 × 10⁻³² T_P	2,725 K kozmik mikrodalga arka plan ışıması sıcaklığı
Kozmolojik sabit	5,6 × 10⁻¹²² t_P⁻²	1,9 × 10⁻³⁵ s⁻²
Hubble sabiti	1,23 × 10⁻⁶¹ t_P⁻¹	70,4 (km/s)/Mpc

Tarihçe

1881'de George Johnstone Stoney, uzunluk, zaman ve kütle birimlerinin bağlı olarak elektriksel yükün sayısal olarak ifade edilebileceğini, fark ettiğinde doğal birimler ortaya çıktı. Stoney'e ithafen bunlar şimdi Stoney birimleri olarak adlandırılıyor. Bu birimler G, c ve elektron yükü (e), hepsi 1'e eşittir. 1898'da Max Planck, aksiyonun büyüklük olduğunu keşfetti ve Mayıs 1899'da bunu Prussian Academy of Sciences makalesinde yayımladı.^[1]^[13] Makalenin sonunda, Planck bunun bir keşif olduğunu açığa çıkardı. Böylece Plank'a ithafen birimlere Planck birimleri denildi. Planck birimleri kuantumun temelini oluşturdu. Planck birimlerinin temelini Planck sabiti oluşturuyor. Planck sabiti şimdi her ne kadar $h$ olarak kullanılıyor olsa bile, makalesinde bunu b ile ifade etti. Planck yeni birim sisteminin evrenselliğini altını çizerek şöyle gösterdi: Şablon:Bq Planck makalesinde temel birimler için bir de sayısal değer verdi ve bu değer modern değerlere yakındır.

Doğal Planck birimleri ve değişmez ölçeği

Paul Dirac gibi bazı fizikçiler kozmolojide fiziksel "sabitlerin" zamanla değişebileceğini varsayımını önerdi (örneğin değişken ışık hızı). Eğer bir fizik sabiti, ışık hızı gibi boyutsuz nicelik değilse, durum değişiminde onun tartışmasız fark edebilir miydik veya ölçebilir miydik? "Comment on time-variation of fundamental constants" ^[14] şeklinde bir soru sordu Michael Duff makalesinde.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

^ ^a ^b *Tomilin, K. A., 1999, "Natural Systems of Units: To the Centenary Anniversary of the Planck System 17 Haziran 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.", 287-296.
^ Pavšic, Matej (2001). The Landscape of Theoretical Physics: A Global View. Dordrecht: Kluwer Academic. ss. 347-352. ISBN 0-7923-7006-6. 14 Temmuz 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 25 Şubat 2013.
^ Michael W. Busch, Rachel M. Reddick (2010) "Testing SETI Message Designs, 2 Ekim 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi." Astrobiology Science Conference 2010 22 Şubat 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., April 26–29, 2010, League City, Texas.
^ ^a ^b "Fundamental Physical Constants from NIST". 13 Ağustos 2001 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 25 Şubat 2013.
^ "CODATA — Planck length". 22 Kasım 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Kasım 2017.
^ "CODATA — Planck mass". 13 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Kasım 2017.
^ "CODATA — Planck time". 1 Temmuz 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Kasım 2017.
^ "CODATA — electric constant". 23 Nisan 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Kasım 2017.
^ "CODATA — Planck constant over 2 pi". 11 Haziran 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Kasım 2017.
^ "CODATA — speed of light in vacuum". 25 Haziran 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Kasım 2017.
^ "CODATA — Planck temperature". 13 Mayıs 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Kasım 2017.
^ Also see Roger Penrose (1989) The Road to Reality. Oxford Univ. Press: 714-17. Knopf.
^ Planck (1899), p. 479.
^ Michael Duff (2002). "Comment on time-variation of fundamental constants" 7 Şubat 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Dış bağlantılar

Value of the fundamental constants13 Ağustos 2001 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., including the Planck base units, as reported by the National Institute of Standards and Technology (NIST).
Sections C-E of collection of resources28 Şubat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. bear on Planck units. Good discussion of why 8πG should be normalized to 1 when doing general relativity ve quantum gravity. Many links.
The universe and the parameters that describe it in Planck units 1 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Pulls together various physics concepts into one unifying picture.

[TOM-1] *Tomilin, K. A., 1999, "Natural Systems of Units: To the Centenary Anniversary of the Planck System 17 Haziran 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.", 287-296.

[PAV-2] Pavšic, Matej (2001). The Landscape of Theoretical Physics: A Global View. Dordrecht: Kluwer Academic. ss. 347-352. ISBN 0-7923-7006-6. 14 Temmuz 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 25 Şubat 2013.

[3] Michael W. Busch, Rachel M. Reddick (2010) "Testing SETI Message Designs, 2 Ekim 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi." Astrobiology Science Conference 2010 22 Şubat 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., April 26–29, 2010, League City, Texas.

[CODATA-4] "Fundamental Physical Constants from NIST". 13 Ağustos 2001 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 25 Şubat 2013.

[5] "CODATA — Planck length". 22 Kasım 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Kasım 2017.

[6] "CODATA — Planck mass". 13 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Kasım 2017.

[7] "CODATA — Planck time". 1 Temmuz 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Kasım 2017.

[8] "CODATA — electric constant". 23 Nisan 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Kasım 2017.

[9] "CODATA — Planck constant over 2 pi". 11 Haziran 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Kasım 2017.

[10] "CODATA — speed of light in vacuum". 25 Haziran 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Kasım 2017.

[11] "CODATA — Planck temperature". 13 Mayıs 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Kasım 2017.

[12] Also see Roger Penrose (1989) The Road to Reality. Oxford Univ. Press: 714-17. Knopf.

[13] Planck (1899), p. 479.

[hep-th0208093-14] Michael Duff (2002). "Comment on time-variation of fundamental constants" 7 Şubat 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

Planck'in doğal birimleri
Temel Planck birimleri	Planck zamanı · Planck uzunluğu · Planck kütlesi · Planck yükü · Planck sıcaklığı
Türetilen Planck birimleri	Planck enerjisi · Planck kuvveti · Planck gücü · Planck yoğunluğu · Planck açısal frekansı · Planck basıncı · Planck akımı · Planck gerilimi · Planck empedansı · Planck momentumu