
Karmaşık analiz ya da başka bir deyişle kompleks analiz, bir karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır. Bir değişkenli karmaşık analize ya da çok değişkenli karmaşık analizle beraber tümüne karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi de denilir.
Ana başlıklarına göre karmaşık analiz konuları:
Matematiğin bir alanı olan karmaşık analizde, karmaşık değişkenli ve karmaşık değerler alan bir f fonksiyonu
- bir a noktasında holomorfsa, a noktası etrafındaki açık bir komşuluk içindeki her noktada türevlenebilirdir. Aynı zamanda ters ifade de doğrudur: fonksiyon a noktası etrafındaki bir açık komşuluk içindeki her noktada türevlenebilir ise, fonksiyon a noktasında holomorftur.
- bir a noktası etrafında yakınsak bir kuvvet serisi olan

Karmaşık analizde holomorf fonksiyonlar için özdeşlik teoremi, bağlantılı açık bir D kümesi üzerinde verilmiş olan f ve g gibi iki holomorf fonksiyon D içindeki bir z noktasının komşuluğunun üzerinde eşit olursa, o zaman bu iki fonksiyonun D üzerinde eşit olduklarını ifade eder. Bu yüzden, holomorf bir fonksiyon tamamıyla, D içinde muhtemelen çok küçük bir komşuluktaki değerleriyle belirlenir. Bu durum, gerçel türevlenebilir fonksiyonlar için doğru değildir. Karşılaştırıldığında, holomorfluk veya karmaşık türevlenebilirlik, daha esnek olmayan bir fikirdir.
Karmaşık analizde, tam fonksiyon veya başka bir deyişle integral fonksiyonu, karmaşık düzlemin tümünde holomorf olan karmaşık değerli bir fonksiyondur. Tam fonksiyonların tipik örnekleri polinomlar, üstel fonksiyon ve bunların toplamları, çarpımları ve bileşkeleridir. Her tam fonksiyon tıkız kümeler üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayan kuvvet serileri ile temsil edilebilir. Doğal logaritma ya da karekök fonksiyonu tam bir fonksiyona uzatılamaz.

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Giacinto Morera'nın ardından adlandırılan Morera teoremi, bir fonksiyonun holomorf olduğunu kanıtlamak için kullanılan temel bir sonuçtur. İtalyan matematikçi Giacinto Morera'nın adını taşımaktadır.

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Augustin Louis Cauchy'nin ismine atfedilen Cauchy integral teoremi, karmaşık düzlemdeki holomorf fonksiyonların çizgi integralleri hakkında önemli bir teoremdir.

Karmaşık analizde kutup ya da doğru bir söylemle bir meromorf fonksiyonun kutbu, 1/zn 'nin z = 0 noktasındaki tekilliği gibi davranan matematiksel bir tekilliktir. Bu özellikle şu anlama gelir: Bir f(z) fonksiyonun z = a noktasındaki kutbu, z noktası a noktasına yaklaştıkça f(z)'yi sonsuza düzgün bir şekilde yaklaştıran noktadır.

Karmaşık analizde, esaslı tekillik veya daha düzgün bir söylenişle bir fonksiyonun esaslı tekilliği, fonksiyonun çok uç bir davranış gösterdiği katı bir tekilliktir.

Matematikte, Augustin Louis Cauchy'nin adıyla adlandırılan Cauchy integral formülü karmaşık analizde merkezi bir ifadedir. Bir disk üzerinde tanımlanmış holomorf bir fonksiyonun tamamen, fonksiyonun disk sınırındaki değerleri tarafından belirlendiğini ifade eder. Ayrıca, holomorf bir fonksiyonun tüm türevleri için formül elde etmekte de kullanılabilir. Cauchy formülünün analitik önemi karmaşık analizde "türev alma integral almaya denktir" ifade etmesidir: Bu yüzden karmaşık türevlilik, integral alma gibi, gerçel analizde olmayan düzgün limitler altında iyi davranma özelliğine sahiptir.

Matematikte karmaşık düzlem, gerçel eksen ve ona dik olan sanal eksen tarafından oluşturulmuş, karmaşık sayıların geometrik bir gösterimidir. Karmaşık sayının gerçel kısmının x-ekseni boyuncaki yer değiştirmeyle, sanal kısmının ise y-eksenindeki yer değiştirmeyle temsil edildiği değiştirilmiş bir Kartezyen düzlem olarak düşünülebilir.
Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Liouville teoremi tam fonksiyonların sınırlılığıyla ilgili temel bir teoremdir.
Karmaşık analizde açık gönderim teoremi, U, karmaşık düzlem C 'nin bağlantılı açık bir altkümesiyse ve f : U → C sabit olmayan holomorf bir fonksiyonsa, o zaman f 'nin açık gönderim olduğunu ifade eder.
Karmaşık analizde, bir kaldırılabilir tekillik veya daha düzgün bir söylemle, bir holomorf fonksiyonun kaldırılabilir tekilliği, fonksiyonun görünüşte holomorf olmadığı; ancak daha yakın bir incelemeden sonra fonksiyonun tanım kümesinin bu tekilliği de içerecek şekilde genişletilebileceği bir noktadır.
Matematikte, Hartogs teoremi, çok değişkenli karmaşık analizde birden fazla karmaşık değişkene sahip holomorf fonksiyonların analitik devamlarıyla ilgili olan ve karmaşık analizin bir değişkenli fonksiyonlar teorisinde varolmayan bir sonuçtur.
Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Hurwitz teoremi, matematikçi Adolf Hurwitz'in ispatladığı ve bu yüzden onun ismini almış önemli bir sonuçtur. Genel bir şekilde ifade etmek gerekirse, Hurwitz teoremi karmaşık düzlemdeki bir bölge üzerinde tanımlı bir holomorf fonksiyonlar dizisinin sıfırları ile bu dizinin limiti olan fonksiyonun sıfırlarını ilişkilendirir.
Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorf bir f fonksiyonunun sıfırı veya kökü f(a) = 0 eşitliğini sayılan karmaşık a sayısına verilen bir addır. Başka bir deyişle, holomorf fonksiyonların sıfır değerini aldığı karmaşık sayılara o fonksiyonun sıfırları adı verilir.
Holomorf fonksiyonlar karmaşık analizin temel çalışma araçlarından biridir. Bu fonksiyonlar karmaşık düzlemin yani C'nin açık bir altkümesinde tanımlı, bu altkümedeki her noktada karmaşık anlamda türevli ve aldığı değerler yine C içinde olan fonksiyonlardır.

Karmaşık analizde Casorati-Weierstrass teoremi, holomorf fonksiyonların esaslı tekillikler civarındaki olağanüstü davranışlarını açıklayan bir ifadedir. Teorem, Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ve Felice Casorati'ye atfen isimlendirilmiştir.