İçeriğe atla

Periyot (cebirsel geometri)

Cebirsel geometride, bir periyot, bir cebirsel fonksiyonun cebirsel bir tanım kümesi üzerinden integrali olarak ifade edilebilen bir sayıdır. Periyotların toplamları ve çarpımları kapanış prensibi gereği yine periyotlardır, böylece periyotlar bir halka oluştururlar.

Maxim Kontsevich ve Don Zagier, periyotlar üzerine kapsamlı bir inceleme sunmuş ve bu konuyla ilgili birtakım varsayımlara yer vermiştir.[1] Periyotlar, Feynman diyagramılarından elde edilen integrallerin hesaplanması sürecinde de önem kazanmaktadır ve bu alandaki ilişkileri derinlemesine kavramaya yönelik kapsamlı araştırmalar gerçekleştirilmiştir.[2]

Tanım

Bir reel sayı, belirli bir formülasyona göre tanımlanmışsa, bir periyot olarak kabul edilir:

Bu durumda, bir polinom olup, uzayında rasyonel katsayılara sahiptir ve bir rasyonel fonksiyon olarak işlev görür. Eğer bir karmaşık sayının gerçek ve sanal kısımları periyot niteliğindeyse, bu sayı bir periyot olarak değerlendirilir.[3]

Alternatif bir yaklaşımda, ve değerleri cebirsel fonksiyonlar olarak kabul edilebilir;[4] bu, ilk bakışta daha geniş bir tanım gibi görünse de, temelde eşdeğer bir yaklaşımdır. Rasyonel fonksiyonlar ve polinomların katsayıları, cebirsel sayılar olarak daha da genişletilebilir zira irrasyonel cebirsel sayılar, uygun tanım alanlarının alanları aracılığıyla ifade edilebilir.

Diğer bir yaklaşımda, değeri, ek değişkenler içeren polinomlar kullanılarak tanımlanan bir bölge üzerinde 'in integrali alınarak, veya olacak şekilde sabit fonksiyon olarak kısıtlanabilir. Yani, bir (negatif olmayan) periyot, bir polinom eşitsizliği ile tanımlanmış uzayındaki bir bölgenin hacmini temsil eder.

Örnekler

Cebirsel sayılar dışında, aşağıda sıralanan sayılar periyot olarak kabul edilmektedir:

  • Herhangi bir pozitif cebirsel sayının a doğal logaritması, formülü ile ifade edilir.
  • π
  • Rasyonel argümanlara sahip elliptik integraller
  • Tüm zeta sabitleri (Riemann zeta fonksiyonu bir tam sayı için) ve çoklu zeta değerleri
  • Cebirsel argümanlar için hipergeometrik fonksiyonların özel değerleri
  • p ve q doğal sayıları için Γq.

Bir periyot olmayan bir reel sayı örneği olarak Chaitin sabiti gösterilebilir. Hesaplanabilir olmayan diğer herhangi bir sayı da, periyot olmayan bir reel sayının örneğini oluşturur. Halihazırda, periyot olmadığı kanıtlanmış hesaplanabilir sayılara dair doğal örnekler mevcut değildir; ancak, yapay örneklerin oluşturulması mümkündür.[5] Periyot olmayan sayılar için muhtemel adaylar arasında e, 1/π ve Euler-Mascheroni sabiti yer alır.

Özellikler ve motivasyon

Periyotlar, cebirsel sayılar ile aşkın sayılar arasındaki farkı kapatmayı hedeflemektedir. Cebirsel sayılar sınıfının kapsamı, pek çok yaygın matematiksel sabiti barındıracak kadar geniş olmadığı için, aşkın sayılar kümesinin sayılabilir olmaması ve üyelerinin genel olarak hesaplanabilir olmaması gibi sorunlar bulunmaktadır.

Tüm periyotları içeren küme sayılabilirdir ve tüm periyotlar hesaplanabilir niteliktedir,[6] bununla birlikte özel olarak tanımlanabilirdirler.

Varsayımlar

Çoğu bilinen periyotlar aynı zamanda aşkın fonksiyonların integralleriyle ilişkilendirilir. Kontsevich ve Zagier, belirli sonsuz serilerin veya aşkın fonksiyonların integrallerinin neden periyot olarak kabul edildiğini açıklamaya yönelik evrensel bir prensibin "görünüşe göre mevcut olmadığını" ifade etmişlerdir.

Kontsevich ve Zagier, bir periyot eğer iki farklı integralle ifade ediliyorsa, bu integrallerin her birinin yalnızca integrallerin doğrusallığı (integrand ve tanım kümesi açısından), değişken değiştirme işlemleri ve Newton–Leibniz formülü

(veya daha kapsamlı bir şekilde, Stokes formülü) kullanılarak birbirine dönüştürülebileceği hipotezini ileri sürmüşlerdir.

Cebirsel sayılar üzerine tanımlanmış bir algoritmik işlemin, iki cebirsel terimin eşitliğinin belirlenmesinde etkin bir yöntem sunması, bu sayıların önemli bir özelliğidir. Kontsevich ve Zagier tarafından öne sürülen hipoteze göre, periyotların eşitliği de algoritmik bir süreçle çözülebilir bir mesele haline gelir: hesaplanabilir gerçek sayılar arasındaki eşitsizlik bilinen bir şekilde yinelenerek sayılabilir özelliktedir; ve tersi durumda, eğer iki integral birbirine eşitse, bir algoritma bu durumu, integrallerden birini diğerine dönüştürmenin tüm muhtemel yollarını araştırarak teyit edebilir.

Euler sayısı e ve Euler-Mascheroni sabiti γ'nin periyot olmadığına dair bir varsayım bulunmaktadır.

Genellemeler

Periyot kavramı, integrandın , bir cebirsel fonksiyon ile bu cebirsel fonksiyonun üstelinin çarpımı olduğu durumlarda üstel periyotlar şeklinde genişletilebilir. Bu genişleme, e sayısının tüm cebirsel derecelerini, rasyonel argümanlara sahip gama fonksiyonu değerlerini ve Bessel fonksiyonlarının değerlerini kapsar.

Kontsevich ve Zagier'e göre, periyotların, Euler sabiti γ'yı kapsayacak şekilde, daha ileri bir doğal genişletilmesinin mümkün olduğuna dair "belirtiler" mevcuttur. Bu genişletme ile birlikte, "tüm klasik sabitler, uygun bir çerçevede periyotlar olarak kabul edilir".

Ayrıca bakınız

  • Jacobyen varyete
  • Gauss-Manin bağlantısı
  • Karışık güdüler (matematik)
  • Tannakian biçimciliği

Notlar

  1. ^ Kontsevich & Zagier 2001.
  2. ^ Marcolli 2010.
  3. ^ Kontsevich & Zagier 2001, s. 3.
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Periods". WolframMathWorld (Wolfram Research). 28 Aralık 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 19 Haziran 2019. 
  5. ^ Yoshinaga, Masahiko (3 Mayıs 2008). "Periods and elementary real numbers". arXiv:0805.0349 $2. 
  6. ^ Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2010). "Computable functions of reals" (PDF). Münster Journal of Mathematics. Cilt 3. ss. 43-66. 27 Aralık 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 5 Mart 2024. 

Kaynakça

  • Kontsevich, Maxim; Zagier, Don (2001). "Periods" (PDF). Engquist, Björn; Schmid, Wilfried (Ed.). Mathematics unlimited—2001 and beyond. Berlin, New York City: Springer. ss. 771-808. ISBN 9783540669135. MR 1852188. 
  • Marcolli, Matilde (2010). "Feynman integrals and motives". European Congress of Mathematics. Eur. Math. Soc. Zürich. ss. 293-332. arXiv:0907.0321 $2. 

Konuyla ilgili okumalar

Dış bağlantılar

  • Bu makale PlanetMath'deki Period maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.

İlgili Araştırma Makaleleri

Matematikte cebirin temel teoremi karmaşık değişkenli polinomların köklerinin varlığıyla ilgili temel bir sonuçtur. D'Alembert-Gauss teoremi olarak da anılmaktadır.

<span class="mw-page-title-main">İntegral</span> fonksiyon eğrisinin altında kalan alan

İntegral veya tümlev, toplama işleminin sürekli bir aralıkta alınan hâlidir. Türev ile birlikte kalkülüsün temelini oluşturan iki işlemden birisidir. Kalkülüsün temel teoremi sayesinde aynı zamanda türevin ters işlemidir.

<span class="mw-page-title-main">Rasyonel sayılar</span>

Rasyonel sayılar, iki tam sayı arasındaki oranı temsil eden, bir pay p ve sıfırdan farklı bir payda q olmak üzere, bir bölme işlemi veya kesir formunda ifade edilebilen sayıları tanımlar. Örneğin, rasyonel bir sayı olarak kabul edilir, bu kapsamda her tam sayı da rasyonel sayılar kategorisindedir. Rasyonel sayılar kümesi, çoğunlukla kalın harf biçimindeki Q veya karatahta vurgusu kullanılarak şeklinde ifade edilir.

Karekök ortalama; matematikte root mean square ayrıca kuadratik ortalama olarak da bilinir. Değişen miktarların büyüklüğünün ölçülmesinde kullanılan istatistik bir ölçüttür. Değişimin artı ve eksi yönde olduğu dalgalarda özellikle çok faydalıdır.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında bir rassal değişken X için olasılık yoğunluk fonksiyonu bir reel sayılı sürekli fonksiyonu olup f ile ifade edilir ve şu özellikleri olması gereklidir:

<span class="mw-page-title-main">Cebirsel sayılar</span>

Cebirsel sayılar, rasyonel katsayıları olan tek değişkenli sıfırdan farklı bir polinomun kökü olarak ifade edilebilen sayılardır. Mesela, altın oran, , cebirsel bir sayı örneğidir çünkü x2x − 1 polinomunun bir köküdür. Bu durumda, söz konusu polinomun değerinin sıfıra eşitlendiği x değeridir. Diğer bir örnek olarak, biçimindeki karmaşık sayı, x4 + 4 polinomunun bir kökü olduğundan dolayı cebirsel sayı olarak kabul edilir.

<span class="mw-page-title-main">Karmaşık analiz</span>

Karmaşık analiz ya da başka bir deyişle kompleks analiz, bir karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır. Bir değişkenli karmaşık analize ya da çok değişkenli karmaşık analizle beraber tümüne karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi de denilir.

Integral hesapla Eliptik integralin bağlantısı elipsin yay uzunluğu ile ilgilidir. Bunu ilk gösteren Leonhard Euler'in öğrencisi Giulio Fagnano olmuştur. Modern Matematikte eliptik integral'in en geniş şekilde bir f fonksiyonu olarak tanımlanmış formu:

şeklindedir.

Matematikte, birkaç fonksiyon ya da fonksiyon gruplarının kendi isimleri yeterli öneme layıktır. Bu makaleler fonksiyonları açıklamak için olan daha ayrıntılı olarak gösteren bir listedir. İstatistik dışı ve matematiksel fizik gelişmeleri sonucu özel fonksiyonlar büyük bir teori olmuştur. Modern bir, soyut incelik fonksiyon uzayıları geniş karşılaştırma görünümü, sonsuz-boyutlu ve 'isimsiz' fonksiyonlar içindeki ve simetri ya da ilişki harmonik analiz ve grup temsilileri gibi özellikler ile özel fonksiyonlar ile seçilmiştir.

<span class="mw-page-title-main">Digama fonksiyonu</span>

Matematik'te, digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:

<span class="mw-page-title-main">Trigama fonksiyonu</span> Poligama fonksiyonu

Matematik'te, trigama fonksiyonu, ψ1(z), olarak gösterilen ikincil poligama fonksiyonu'dur ve tanımı

.

Matematikte, Euler integral 'inin iki tipi vardır:

  1. Euler integral'inin ilk türü: Beta fonksiyonu
  2. Euler integral 'inin ikinci türü: Gama fonksiyonudur

Matematiksel analizin sayı teorisinde Euler–Mascheroni sabiti matematiksel sabit'tir. Yunan harfi Yunanca: γ (gama) ile gösterilir.

<span class="mw-page-title-main">Beta fonksiyonu</span>

Matematik'te, beta fonksiyonu, Euler integrali'nin ilk türüdür,

Matematik'te, Hurwitz zeta fonksiyonu, adını Adolf Hurwitz'ten almıştır, çoğunlukla zeta fonksiyonu denir. Formel tanımı için kompleks değişken s 'in Re(s)>1 ve q 'nun Re(q)>0 yardımıyla

Matematikte cebirsel ifade, sabitler ve değişkenlerden oluşan bir ifadedir ve toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve bir rasyonel sayının üssünü alma gibi sonlu sayıda cebirsel işlemlerden oluşur. Örneğin, ifadesi bir cebirsel ifadedir. Karekök alma kuvveti oranında yükseltir. Cebirsel ifadeye başka bir örnek aşağıdaki kareköklü ifade verilebilir:

Matematikte doğrusal fonksiyon, her ne kadar bu terimle ile ifade edilse bile aslında şu iki farklı terimle ilgilidir:

<span class="mw-page-title-main">Bézout teoremi</span> aciklama

Bézout teoremi, cebirsel geometride n değişkenli n polinomun ortak sıfırlarının sayısı ile ilgili bir ifadedir. Orijinal biçiminde teorem, genel olarak ortak sıfırların sayısının, polinomların derecelerinin çarpımına eşit olduğunu belirtir. Adını Fransız matematikçi Étienne Bézout'dan almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Mihail Ostrogradski</span> Rus matematikçi

Mihail Vasilyeviç Ostrogradski, Ukraynalı Kazak kökenli bir Rus İmparatorluk matematikçisi, mekanikçisi ve fizikçisiydi. Ostrogradski, İmparatorluk Rusyası'nın önde gelen matematikçilerinden biri olarak bilinen Leonhard Euler'in öğrencisi olarak kabul edilen Timofei Osipovsky'nin öğrencisiydi.

<span class="mw-page-title-main">Hesaplanabilir sayı</span>

Matematikte, hesaplanabilir sayılar, belirlenen herhangi bir doğruluk seviyesine ulaşacak şekilde sonlu ve sona eren bir algoritma ile hesaplanabilen reel sayıları ifade eder. Bu sayılar, yinelemeli sayılar, etkili sayılar ya da hesaplanabilir reel sayılarolarak da adlandırılır. Hesaplanabilir reel sayılar kavramı, o dönemde mevcut olan sezgisel hesaplanabilirlik kavramı üzerinden Emile Borel tarafından 1912'de ortaya konmuştur.