Pearson ki-kare testi

Pearson ki-kare testi nicel veya nitel değişkenler arasında bağımlılık olup olmadığının, örnek sonuçlarının belirli bir teorik olasılık dağılımına uygun olup olmadığının, iki veya daha fazla örneğin aynı anakütleden gelip gelmediğinin, ikiden fazla anakütle oranının birbirine eşit olup olmadığının ve çeşitli anakütle oranlarının belirli değere eşit olup olmadığının araştırılmasında kullanılır. İstatistik biliminin çıkarımsal istatistik bölümünde ele alınan iki-değişirli parametrik olmayan test analizlerinden olan ve ki-kare dağılımı'nı esas olarak kullanan ki-kare testlerinden en çok kullanılanıdır. İngiliz istatistikçi olan Karl Pearson tarafından 1900'da ortaya çıkartılmıştır.^[1]

Pearson ki-kare testi yönteminin pratik bir problem çözülmesinde kullanılması şu basamaklar kullanılarak yapılır.

1. Araştırma konusu:
Pearson'un ki kare testi her biri iki kategorili olan iki isimsel ölçekle ölçülebilen rassal değişken arasındaki bağımsızlık veya bağımlılık ilişkisinin incelenmesi için kullanılır. Bir iki isimsel ölçekle ölçülebilen rassal değişken

• ${\displaystyle X}$ "satır değişkeni" : ${\displaystyle r}$ kategorili ve ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle (j=1,\dotsc ,r)}$
• ${\displaystyle Y}$ "sütun segiskeni" : ${\displaystyle c}$ kategorili ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k=1,\dotsc ,c)}$.

Araştırma konusu genellikle X ile Y değişkenlerinin birbirinden istatistiksel olarak bağımsız olduğudur. Buna başlıca neden Pearson'ın ki kare yeştinin "bağımlılık" konusunda çok zayıf sonuç vermesidir.

2. Hipotezler:
Pearson'un ki kare test için hipotezler şöyle ifade edilir:

• H_{0</sub) "sıfır hipotez" : iki kategorili olan iki isimsel ölçekle ölçülebilen rassal değişken birbirinden istatistiksel olarak bağımsızdır.}
• H₁ "alternatif hipotez": iki kategorili olan isimsel ölçekle ölçülen iki rassal değişken birbirinden istatistiksel olarak bağımsız değildir.

Bu hipotezlerden açıkça görülmektedir ki sınanma için kullanılan hipotez anakütle parametreler değerleri hakkında değildir ve bir istatistiksel nitelik hakkındadır. Böylece Pearson ki-kare testi bir parametrik olmayan istatistik örneğidir. Bunun yanında, dikkat edilmelidir ki alternatif hipotezin bir "negatif" cümle olarak ifade edilmektedir. yani "istatistiksel olarak bağımsız değildir" ifadesi. Bu ifade pozitif vir cümle yani alternatif hipotezde "iki rassal değişken istatistiksel olarak bağımlıdır." dememektedir. Yapılan çıkarımsal test analizi sonuncu "sıfır hipotez" reddedilirse iki değişkeninin ne kadar birbirine bağımlı olduğu bulunmaz; bağımlılık derecesi çok küçük olması mümkündür.

3. Veri toplanması, her hücresi için "gözlemlenen değerler" bulunan kontenjans tablosu ve marjinal toplamlar:
Pearson ki kare testi "iki-değişirli" istatistiksel analize örnektir; yani her bir "vaka" için iki değişir hakkında veri elde edilir. Değişir için sadece X ve Y olan iki-isimsel ölçekli değişken hakkında cevap olabilir. Örneğin; bir ankete verilen tek kişi cevabı "tek vaka"dır ve araştırmada bu ankete bulunan iki soruya, yani 2 değişire, araştırmacı ilgisi çekilmektedir. Her iki değişir de isimsel ölçekli kategorik değerler alabilir. İki-değişir kategorili gözlem özetlenmesi bir "kontenjans tablosu" halinde olur ve Pearson ki-kare testi için pratikte kullanılan veriler bu karşılıklı olarak sınıflandırılmış iki değişirli "kontenjans tablosu" halindedir.

Kontenjans tablosu verileri şu tip tabloda özetler:

	${\displaystyle Y}$ değişiri						Satır Toplamı Σ
${\displaystyle X}$ değişiri	1	2	…	k	…	c	nj.
1	O11	O12	...	O1k	...	O1r	O1.
2	O21	O22	…	O2k	…	O2c	n2.
…	…	…	…	…	…	…	…
j	…	…	…	Ojk	…	…	nj.
…	…	…	…	…	…	…	…
r	Or1	Or2	…	Ork	…	Orc	nc.
Sütun toplamı Σ	n.1	n.2	…	n.k	…	n.c	n

Bu tabloda bulunan rxc adet ${\displaystyle ''O''_''jk''}$ ifadesi "gözlem değerleri"'dir ve tam sayılıdırlar. Her bir j satırı için l=1,...,r "satır toplamı" = ${\displaystyle n_{\cdot \,j}}$ Her bir k sütunu için k=1,...,c "sütun toplamı" = ${\displaystyle n_{\cdot \,k}}$ olarak bulunur ve bunlar a "marjinal toplamlar" adı da verilir.

Satır toplamları hepsinin toplamı ve sütün toplamları hepsinin toplamı toplam gözlem sayısına, yani örneklem büyüklüğü olan n değerine eşittir.

4. Teorik "beklenen değerler":
Her bir hücre üçün bur "beklenen değer" yani E_jk l-1,...r ve k=1,...c bulunur. Bu "beklenen değer" olasılık teoeiasinde bulunan iki bağımsız rassal değişken olan A ve B için "çarpım savı"na dayanır. Bu "bağımsız iki rassal değişken için çarpım savı" şöyle ifade edilir:

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}$

Bu savı kullanarak ve olasılığın asımtotik olarak "relatif çokluluk"'a eşit olduğu kabul edilip, eğer X ve Y değişirleri sıfır hipoteze uygun olarak bağımsızlarsa, her bir (jk) hücresi için olasılık şöyle ifade edilebilir:

${\displaystyle p_{jk}\approx p_{j\,\cdot }\cdot p_{\cdot \,k},}$

Bu olasılık ifadesinin her iki tarafını da ${\displaystyle n}$ ile çarpılırsa her bir hücre için "beklenen değer" şöyle bulunur:

${\displaystyle E_{jk}\approx {\frac {n_{j\,\cdot }\cdot n_{\cdot \,k}}{n}}}$

5: Hesaplanan ki-kare değeri. Serbestlik derecesi
Hesaplanan ki-kare değeri

${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{r}{\frac {(O_{jk}-E_{jk})^{2}}{E_{jk}}}.}$

Serbestlik derecesi : ${\displaystyle (r-1)(c-1)}$

6. Anlamlılık seviyesi ve bu seviye için teorik test istatistik ki-kare değeri

Anlamlılık seviyesi ve p-değeri.

${\displaystyle \alpha }$ wird ${\displaystyle H_{0}}$ abgelehnt, wenn ${\displaystyle \chi ^{2}>\chi ^{2}(1-\alpha ;(r-1)(c-1))}$, dem ${\displaystyle (1-\alpha )}$-Quantil der ${\displaystyle \chi ^{2}}$-Verteilüng mit ${\displaystyle (m-1)(r-1)}$

7. Test sonucu ve araştırma konusu

"Tekdüze ayrık dağılım'a uygunluk", binom dağılım'a uygunluk", Poisson dağılım'a uygunluk" ve eğer normal değerler sınıflandırılıp sınıf ortalaması kategori değeri gibi kullanılırsa "normal dağılım'a uygunluk" testleri olabilirler.

Bu tip problemde ${\displaystyle N}$ n tane sayısal olarak belirtilmiş kategorisi bulunan isimsel ölçekli bir değişken bulunur. Elde edilen N sayıda örneklem de bu kategorilerin frekansları çokluğudur yani Veriler nx1 tipli (yani n satırlı ve 1 sütunlu) bir özel "kontenjans tablosu" halindedir ve bu tabloda n tane hücre bulunup her hücrede o hücrenin kategorisinde olan tam sayı ile ifade edilen "çokluluk (frekans)", ${\displaystyle O_{i}}$ ı=1..n) vardır. Her bir hücre çokluğu o kategoriye isabet eden "gözlemlenen değer" olarak alınır.

"Sıfır hipotez" bu veri dağılımının teorik olarak ayrık tekdüze dağılım'ina uyacağıdır ve alternatif hipotez bu dağılıma uymayacağıdır. Bu çok basit sıfır hipotezleri ve teorik olarak her bir hücrenin birbirine eşit sayıda "beklenen değer" alacağını önerir. Tekrar dikkat edilmelidir ki "ki-kare dağılım iyiliği" testi de (diğer Pearson ki-kare testi" gibi) eğer sıfır hipotez reddelerse "zayıf" sonuç verir; yani eldeki veriler "ayrık tekdüze dağılım"'a uymaz ama hangi dağılım uyduğu bu test ile açığa çıkmaz.

Teorik "ayrık tekdüze dağılımı"'na göre rassal değişkende her bir veri kategorisi aynı olasılık gösterir. Bu nedenle N tane veri için her bir i kategorisi için aynı değer taşıyan "beklenen değer", E, yani

${\displaystyle E={\frac {N}{n}}\,,}$

olarak hesaplanır.

"Hesaplanan ki-kare değeri" her hücre için "gözlemlenen değer" eksi "beklenen değer" farkının karesinin "beklenen değer"'e bölünmesinin tüm hücreler için toplanmasıdır: Yani

${\displaystyle \mathrm {X} ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(O_{i}-E)^{2}}{E}}}$

Uygunluk iyiliği sınaması için test istatistiği su formüle göre hesaplanmış:

${\displaystyle \mathrm {X} ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}}$

Bu formülde

${\displaystyle \mathrm {X} ^{2}}$ = Pearson'un kümülatif test istatistiği olup, bu "hesaplanmış ${\displaystyle \chi ^{2}}$" değeri asimtotik olarak bir ki-kare dagilimi'na yakınlaşmaktadır.

${\displaystyle O_{i}}$ = gözlenen cokluluk değeri;

${\displaystyle E_{i}}$ = sıfır hipotez önerisinin gerçek olduğu kabul edilerek bir teorik beklenmekte olan çokluluk değerdir ;

${\displaystyle n}$ = tabloda bulunan hücre sayısı

• Ki-kare dağılımı
• Ki-kare testi

• Eric W. Weisstein, Chi-Squared Test (MathWorld)
• Greenwood, P.E., Nıkulin, M.S.(1996). A guide to chi-squared testing, New York: J.Wiley, ISBN 0-471-55779-X.