İçeriğe atla

Pascal üçgeni

Pascal üçgeninin ilk altı satırı

Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Fransız matematikçi Blaise Pascal'ın soyadıyla anılsa da Pascal'dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya'da matematikçiler tarafından çalışılmıştır.

Genellikle Pascal üçgeninin satırları üstten n=0'dan başlayarak numaralandırılır ve her satırdaki sayılar ise soldan itibaren k=0'dan başlayarak numaralandırılırlar. Satırdaki sayılar komşu sütunlarının boşluklarına gelir ve bu basit yapı tüm üçgen boyunca sürer. 0. satıra yalnızca 1 değeri yazılır. Sonraki satırlar oluşturulurken, hesaplanan noktanın sol üstünde ve sağ üstünde bulunan değerler çıkarılır. Eğer sağ ve sol üstünde sayı yoksa buradaki değer 1 olarak alınır. Örneğin, ilk satırın ilk sayısı 0 + 1 = 1'dir üçüncü satırda ise 4 ve 3 toplanarak 4. satırdaki 7 sayısını oluşturur.

Pascal kuralındaki binom katsayılarıyla ilişkili yapı aşağıdaki şekildeyse,

buradan

olur.

Burada n negatif olmayan tam sayı ve k 0 ile n arasında bir tam sayıdır.

Pascal üçgeninin çok boyutlu şekilleri de vardır. 3 boyutlu olan şekli Pascal piramidi veya Paskal dörtyüzlüsü olarak anılırken diğer genel şekilli olanları Pascal basitleştirilmişleri olarak anılır.

Üçgendeki her sayı üst taraftaki iki sayının toplanmasıyla elde ediliyor.

Pascal'ın bu üçgeni, olasılıklar kuramında da ustalıkla kullanılır. Bu üçgen, biyolojideki uygulamalar, matematik, istatistik ve pek çok modern fizik konularında uygulama alanı bulur. (Bazı kaynaklara göre eski Çinliler de üçgeni tanımışlar; bazıları da Pascal üçgeni diye aslında bir Hayyam üçgeninden bahsetmişlerdir.)

Olasılıklar kuramının çıkış nedeni, Pascal'a kumarbaz Chevalier de Mere tarafından önerilmesiydi. En önemli görevi de elli iki kâğıt oyunu oynuyordu. Bu ara tavla zarlarının, şekilleri aynı olan ayrı renkli bilyelerin önemi büyüktür. Buna bağlı olarak, ünlü Pascal üçgeni doğdu. Pascal'ın bu üçgeni, daha sonraki yıllarda çok kullanıldı. Özellikle seri açılımları ve binom açılımı bu yöntemle kolaylıkla bulunur.

Formül
, olmak üzere
Örneğin
Üçgen sayılar

ikinci sıradan itibaren sağdan ya da soldan üçüncü sayı üçgen sayılardır

İkinin üsleri

pascal üçgeninin her satırı ikinin 0 dan itibaren üslerini verir

Binom açılımı

(a-b) veya (a+b) parantezlerinin açılımının katsayılarını verir örnek:

Yazı tura

Kaç parayla yazı tura attıysak o satırla ilgileneceğiz iki parayla yazı tura attık ikinci sıradaki sayıları toplayalım 4 çıktı ikinci sıra 1-2-1 dir birinci sıradan 2 tura 0 yazı diye sayalım iki paranın ikisinin de tura gelme şansı 1tura 1yazı gelme şansı 2yazı gelme şansı

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Üçgen</span> üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimi

Bir üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir. Üçgene müselles ve üçbucak da denir.

Matematikte cebirin temel teoremi karmaşık değişkenli polinomların köklerinin varlığıyla ilgili temel bir sonuçtur. D'Alembert-Gauss teoremi olarak da anılmaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Rasyonel sayılar</span>

Rasyonel sayılar, iki tam sayı arasındaki oranı temsil eden, bir pay p ve sıfırdan farklı bir payda q olmak üzere, bir bölme işlemi veya kesir formunda ifade edilebilen sayıları tanımlar. Örneğin, rasyonel bir sayı olarak kabul edilir, bu kapsamda her tam sayı da rasyonel sayılar kategorisindedir. Rasyonel sayılar kümesi, çoğunlukla kalın harf biçimindeki Q veya karatahta vurgusu kullanılarak şeklinde ifade edilir.

Matematikte binom açılımı, iki sayının toplamının üslü ifadesinin cebirsel açılımıdır. Teoreme göre, (x + y)n formatında yazılmış bir polinom, b,c 0, b +c = n, axbyc formatındaki terimlerin toplamı şeklinde yazılabilir. Bu ifadede b,c,n N, b 0, c 0, b+c=n, a> 0 koşulları sağlanmalıdır.

<span class="mw-page-title-main">Fibonacci dizisi</span> ardışık 2 teriminin toplamı bir sonraki terimi veren doğal sayı dizisi

Fibonacci dizisi, her sayının kendinden önceki ile toplanması sonucu oluşan bir sayı dizisidir. Ayrıca ardışık her iki sayının bölümü altın orana yakın bir değer vermektedir değer ne kadar büyük olursa altın orana o kadar yakın olur örneğin:55:34=1,617... 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... şeklinde devam eden bu dizide sayılar birbirleriyle oranlandığında altın oran ortaya çıkar, yani bir sayı kendisinden önceki sayıya bölündüğünde altın orana gittikçe yaklaşan bir dizi elde edilir. Bu durumda genel olarak n'inci Fibonacci sayısı F(n) şu şekilde ifade edilir:

<span class="mw-page-title-main">Üs</span> matematik terimi

Üs, bazen kuvvet, b taban, n üs veya kuvvet olmak üzere, bn olarak gösterilen ve "b üssü n", "b üzeri n" veya "b'nin n'inci kuvveti" olarak telaffuz edilen matematiksel işlem. Eğer n pozitif bir tam sayıysa, tabanın tekrarlanan çarpımına karşılık gelir:

<span class="mw-page-title-main">Binom dağılımı</span>

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, binom dağılımı n sayıda iki kategori (yani başarı/başarısızlık, evet / hayır, 1/0 vb) sonucu veren denemelere uygulanır. Araştırıcının ilgi gösterdiği kategori başarı olarak adlandırılır. Bu türlü her bir deneyde, bağımsız olarak, başarı (=evet=1) olasılığının p olduğu (ve yalnızca iki kategori sonuç mümkün olduğu için başarısızlık olasılığının 1 - p olduğu) bilinir. Bu türlü bağımsız n sayıda denemeler serisi içinde elde edilen başarı sayısının ayrık olasılık dağılımı binom dağılım olarak tanımlanır. Bir binom dağılım sadece iki parametre ile, yani n ve p ile tam olarak tanımlanır. Matematik notasyon olarak bir rassal değişken X binom dağılım gösterirse şöyle ifade edilir:

X ~ B(n,p)
<span class="mw-page-title-main">Negatif binom dağılımı</span>

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında negatif binom dağılım bir ayrık olasılık dağılım tipi olup Pascal dağılımı ve Polya dağılımı bu dağılımın özel halleridir.

Tümleşik matematikte binom dönüşümü bir dizinin ileri farklarını hesaplamaya yarayan bir dizi dönüşümüdür. Kavram, binom dönüşümünün Euler dizisine uygulanması sonucu oluşan Euler dönüşümüyle yakından ilintilidir.

Matematikte fark işleci bir ƒ(x) işlevini farklı bir ƒ(x + b) - ƒ(x + a) işlevine eşler.

<span class="mw-page-title-main">Dörtyüzlüsel sayı</span>

Dörtyüzlüsel sayı, üçgen tabanlı ve bir piramidi temsil eden biçimli sayıdır. n. dörtyüzlüsel sayı ilk n üçgensel sayının toplamına eşittir.

<span class="mw-page-title-main">Kerecî</span> İranlı matematikçi

El-Kereci veya Ebu Bekir bin Muhammed bin el Hüseyin el-Kereci Cebir'i geometrik işlemlerin sınırlarından kurtararak, günümüz matematiğinde kullanılan cebirin çekirdek yapısını oluşturan 10. yüzyıl İranlı Müslüman matematikçi ve mühendisdir. Üç büyük çalışması Al-Badi' fi'l-hisab, Al-Fakhri fi'l-jabr wa'l-muqabala ve Al-Kafi fi'l-hisab 'tır.

Katalan sayıları, kombinatorik matematikte birçok problemin çözümünde kullanılabilen özel bir sayı dizisi. Adını Belçikalı matematikçi Eugène Charles Catalan(1814-1894)’dan alan bu dizinin terimleri,

Matematikte katsayı, polinomun bazı terimlerinde, herhangi bir ifadenin bir serisindeki çarpma faktörüdür. Genellikle bir sayıdır fakat ifadede herhangi bir değişken de olabilir. Örneğin;

<span class="mw-page-title-main">Heron formülü</span> bir üçgenin alanını hesaplamak için formül

Heron formülü, kenar uzunlukları bilinen bir üçgenin alanını hesaplamaya yarayan geometri formülüdür. Yunan matematikçi Heron tarafından bulunmuştur.

Matematikte, Pascal özdeşliği binom katsayılarıyla ilgili kombinasyonel bir özdeşliktir. Bu özdeşliğe göre her n doğal sayısı için,

<span class="mw-page-title-main">Rastgele yürüyüş</span>

Rastgele yürüyüş (ya da rassal yürüyüş) matematiksel bir nesne olup, bir stokastik veya rastgele süreç olarak bilinir. Bu süreç, herhangi bir matematiksel uzayda –örneğin tamsayılar uzayı–atılan rastgele adımların toplamından oluşan patikayı tanımlamaya yöneliktir. Örneğin, bir molekülün sıvı veya gaz içerisinde izlediği yol, hayvanların yem arayışında takip ettiği patika, değişkenlik gösteren hisse fiyatları ve de bir borsa oyuncusunun finansal durumu rastgele yürüyüş modelleri ile tahmin edilebilir; ancak gerçekte tamamen rastlantısal olmama ihtimalleri de vardır. Bu örneklerin de gösterdiği gibi, rastgele yürüyüş modelinin birçok bilim dalında uygulama alanı mevcuttur; ekoloji, psikoloji, bilgisayar bilimleri, fizik, kimya, biyoloji ve ekonomi bunlara örnektir.

Thales teoremi veya temel orantı teoremi olarak da bilinen kesişme teoremi, kesişen iki çizginin bir çift paralelle kesilmesi durumunda oluşturulan çeşitli çizgi parçalarının oranları hakkındaki temel geometride önemli bir teoremdir. Benzer üçgenlerdeki oranlarla ilgili teoreme eşdeğerdir. Geleneksel olarak Yunan matematikçi Thales'e atfedilir.

Matematikte Euler sayıları, Taylor serisi açılımıyla tanımlanan bir En tam sayı dizisidir..

Matematik alanında, toplam veya genel toplam olarak sonuçlanan, toplananlar ya da toplamalar diye adlandırılan bir sayı dizisinin eklenme sürecine toplam/toplama denir. Sayıların yanı sıra, fonksiyonlar, vektörler, matrisler, polinomlar ve genelde "+" işareti ile tanımlanmış işleme sahip diğer tüm matematiksel nesne türleri de toplanabilir.