Parseval Teoremi

Matematik dünyasında, Parseval teoremi^[1] Fourier dönüşümünün bir üniter ifade olduğu sonucunu bize açıklar. Basit bir şekilde açıklarsak, bir fonksiyonun karesinin toplamı (ya da integrali) ile Fourier dönüşümün fonksiyonunun karesinin toplamının (ya da integrali) birbirine eşit olduğunu söyler. Teorem, Marc-Antoine Parseval'in 1799 yılındaki seriler hakkındaki bir teoreminin Fourier serilerine uygulanması sonucu ortaya çıkmıştır. Lord Rayleigh ile John William Strutt'tan sonra Rayleigh Enerji Teoremi veya Rayleigh Özdeşliği olarak da bilinir.^[2]

"Parseval Teoremi" terimi, genelde herhangi bir Fourier dönüşümünün üniterliğini tanımlamak için kullanılsa da, özellikle fizikte bu özelliğin en genel biçimi şeklinde daha doğru bir şekilde ifade edersek bu teoremin adı Plancherel Teoremi'dir.^[3]

Varsayalım ki ${\displaystyle A(x)}$ ve ${\displaystyle B(x)}$ fonksiyonları ${\displaystyle \mathbb {R} }$ reel sayılar kümesi içerisinde periyodu ${\displaystyle 2\pi }$ olan karmaşık değerli bir fonksiyondur. Ayrıca Fourier serisi şeklinde periyot uzunluğuna göre integrallenebilir kare fonksiyon olduklarını da göz önüne alırsak aşağıdaki eşitlikler karşımıza çıkar:

${\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}}$

ile

${\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx}}$

şeklinde formüle edilebilir. Daha sonra ise;

Burada ${\displaystyle i}$ sayısı sanal sayıyı ve yatay çizgi ise karmaşık düzlemi ifade etmektedir. ${\displaystyle A(x)}$ ve ${\displaystyle {\overline {B(x)}}}$'yi eşitlikte yerine koyarsak:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}\right)\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\overline {b_{n}}}e^{-inx}\right)\,\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}e^{i1x}+a_{2}e^{i2x}+\cdots \right)\left({\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{1}{\overline {b_{2}}}e^{-ix}+a_{2}{\overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \right)\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

Yukarıda bulunan eşitliğin orta terimlerinde olduğu gibi periyodu ${\displaystyle 2\pi }$ olan birçok terimin integrali ${\displaystyle 0}$ olacaktır. (Ayrıca bakınız: Harmonik Seriler)

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}&={\frac {1}{2\pi }}\left[a_{1}{\overline {b_{1}}}x+ia_{1}{\overline {b_{2}}}e^{-ix}-ia_{2}{\overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{\overline {b_{2}}}x+\cdots \right]_{-\pi }^{+\pi }\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\left(2\pi a_{1}{\overline {b_{1}}}+0+0+2\pi a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \right)\\[6pt]&=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \\[6pt]\end{aligned}}}$

Genel olarak, değişmeli yerel kompakt grup olan G Pontryagin İkiliği olan G^ şeklinde verildiğinde, Parseval Teoremi bize şunu söyler: Pontryagin-Fourier dönüşümü Hilbert uzayları olan L²(G) ve L²(G^) arasında üniter bir operatördür. G, birim çember T olduğunda, G^ tam sayıdır ve yukarıda tartışılan durum tam olarak budur. G reel sayılarda ${\displaystyle \mathbb {R} }$ gerçek doğru ise G^ de aynı zamanda reeldir ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ve üniter dönüşüm gerçek doğru üzerindeki bir Fourier dönüşümdür. G döngüsel grup Z_n olduğunda yine kendine eşittir (self-dual) burada ise Pontryagin-Fourier dönüşümü uygulamada ayrık Fourier dönüşümü olarak adlandırılır.

Parseval Teoremi şu şekilde de ifade edilebilir: ${\displaystyle f(x)}$, Fourier serisi ile ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ arasında integrallenebilir kare bir fonksiyondur (yani hem ${\displaystyle f(x)}$ hem de ${\displaystyle f^{2}(x)}$ de bu aralıkta integrallenebilir)

${\displaystyle f(x)\simeq {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)).}$

Daha sonra aşağıdaki formülü elde ederiz:^[4][5][6] ${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right).}$

Elektrik mühendisliğinde, Parseval Teoremi genellikle şu şekilde formüle edilir:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|X(\omega )|^{2}\,\mathrm {d} \omega =\int _{-\infty }^{\infty }|X(2\pi f)|^{2}\,\mathrm {d} f}$

Burada ${\displaystyle X(\omega )={\mathcal {F}}_{\omega }\{x(t)\}}$ fonksiyonu ${\displaystyle x(t)}$ fonksiyonunun sürekli Fourier dönüşümünü (normalleştirilmiş ve üniter formda) temsil eder. Açısal frekans ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ise birim zamandaki radyan sayısıdır.

Bu teorem, bir sinyalin toplam enerjisinin, zamana göre örnek başına güç toplamının veya frekansa göre spektral gücün toplanması yoluyla hesaplanabileceğini ifade eder.

Ayrık zaman sinyalleri için teorem şöyle aşağıdaki şekilde yazılır:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|X_{2\pi }({\phi })|^{2}\mathrm {d} \phi }$

Burada ${\displaystyle X_{2\pi }}$, ${\displaystyle x}$ fonksiyonunun ayrık zamanlı Fourier dönüşümüdür (DTFT) ayrıca ${\displaystyle \phi }$ ise ${\displaystyle x}$'in açısal frekansını (radyan cinsinden) temsil eder.

Alternatif olarak ayrık Fourier dönüşümü (DFT) şeklinde ifade etmek istersek eşitlik şu hale gelir:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2}}$

Burada ${\displaystyle X[k]}$, ${\displaystyle x[n]}$'in DFT'sini ifade eder.

Aşağıda DFT'nin durumunu gösteriliyor. Diğer durumlar için de aynı ispat yolu izlenebilir. ${\displaystyle X[k]}$'in ters DFT'sini kullanarak aşağıdaki eşitliği türetebiliriz.

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot X^{*}[k]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\left[\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right)\right]\,X^{*}[k]={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\left[\sum _{k=0}^{N-1}X^{*}[k]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right)\right]={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n](N\cdot x^{*}[n])=\sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2},}$

Bırada ${\displaystyle *}$ ifadesi Karmaşık Sayının Eşleniği'ni temsil eder.

• Parseval 1 Kasım 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., MacTutor History of Mathematics archive.
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001).
• Hubert Kennedy, Eight Mathematical Biographies 23 Ocak 2022 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
• Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing 2nd Edition (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
• William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), pp. 410–411.
• David W. Kammler, A First Course in Fourier Analysis (Prentice–Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2000) p. 74.
• Mathworld Üzerine Parseval Teoremi 5 Eylül 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.